拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程+課件【知識(shí)專講精研】高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程理解并掌握拋物線的定義，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的層次。掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，達(dá)到邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二的層次。能根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，并會(huì)畫出圖形，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二的層次。溫故知新1、求曲線方程的步驟建系——設(shè)點(diǎn)——列式——化簡(jiǎn)2、橢圓的定義3、橢圓的基本方程到平面上兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和（大于|F1F2|）為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡

溫故知新4、雙曲線的定義5、雙曲線的基本方程

環(huán)節(jié)一拋物線的定義思考1：橢圓和雙曲線都是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之間的關(guān)系，如果現(xiàn)在有一個(gè)定點(diǎn)和一條直線，如一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)定點(diǎn)和這條直線的距離相等，會(huì)形成什么圖形嗎?1、拋物線的定義如圖，在黑板上固定直尺，然后找一根跟三角板直角邊相同長(zhǎng)度的拉鏈，將一邊固定貼緊直角邊，另一邊的一端固定在定點(diǎn)上，在拉鏈頭處放一只筆，拉動(dòng)拉鏈，觀察拉鏈頭形成的軌跡。思考2：這個(gè)圖形跟我們之前學(xué)的哪個(gè)函數(shù)圖像比較像?1、拋物線的定義二次函數(shù)的拋物線思考3：在上面的作圖過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)什么是固定不變的？點(diǎn)到定點(diǎn)和到直線的距離一直都相等思考4：你認(rèn)為可以怎樣定義拋物線呢？拋物線：設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過(guò)點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線1、拋物線的定義思考5：為什么要求定直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)呢？形成的圖像為過(guò)定點(diǎn)F且垂直定直線的直線。1、拋物線的定義思考6：如圖D、E、F、G分別為四個(gè)圓的圓心，這四個(gè)點(diǎn)的軌跡是個(gè)什么圖形呢?拋物線。在平面內(nèi)，到直線x＝－2與到定點(diǎn)P（2，0）的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？例1拋物線例2解析：若點(diǎn)P的軌跡為拋物線，則點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距離，但若點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距離，且該定點(diǎn)在該定直線上，則點(diǎn)P的軌跡就不是拋物線.故應(yīng)為必要條件但不是充分條件.在平面內(nèi)，“點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距離”是“點(diǎn)P的軌跡為拋物線”的（B）A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充要條件D.既不是充分條件，也不是必要條件B

環(huán)節(jié)二拋物線的方程思考1：如何求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢?2、拋物線的方程建系——設(shè)點(diǎn)——列式——化簡(jiǎn)思考2：橢圓、雙曲線如何建系的，拋物線可以這樣建立坐標(biāo)系嗎?利用對(duì)稱性建立坐標(biāo)系追問(wèn)1：拋物線一個(gè)軸對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱軸是什么呢？拋物線是關(guān)于經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且垂直于定直線的直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形。追問(wèn)2：拋物線是一個(gè)中心對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱中心是什么呢？拋物線不是中心對(duì)稱圖形。思考3：利用拋物線的對(duì)稱性進(jìn)行建系，應(yīng)該怎么建系？2、拋物線的方程思考4：如果我把定點(diǎn)到定直線的距離定義為p,以下圖為例，你能寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)和定直線的方程？

思考5：取拋物線上任意一點(diǎn)為P，定點(diǎn)為F，作P到定直線的垂線，垂足為C，你能列出等量關(guān)系嗎？PF=PC2、拋物線的方程2、拋物線的方程

兩邊同時(shí)平方后化簡(jiǎn)為y2=2px(p>0)思考7：那么其他三種建系方法，拋物線的方程是什么呢？思考6：如何表示出上述的式子？2、拋物線的方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）

思考7：如何確定圖像的開口？y2＝2px（p＞0）2、拋物線的方程思考7：如何確定圖像的開口？焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．例：寫出下列圖像的開口（1）y2=4x（2）y=4x2（3）-y=4x2（4）y2=-4x

x正

y正

y負(fù)

x負(fù)2、拋物線的方程思考8：一次項(xiàng)系數(shù)和焦點(diǎn)非零坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？一次項(xiàng)系數(shù)是準(zhǔn)線方程中數(shù)字的-4倍思考9：一次項(xiàng)系數(shù)和準(zhǔn)線方程中數(shù)字之間有什么關(guān)系？一次項(xiàng)系數(shù)是焦點(diǎn)坐標(biāo)的4倍思考10：橢圓和雙曲線都有統(tǒng)一格式，拋物線有統(tǒng)一格式嗎？y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）y2＝2px（p＞0）y2＝mxx2＝ny標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程x2＝4yx2＝－6y

y2＝

4xy2＝－2x例1拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（C）A.1B.2C.4D.8解析：由y2＝8x得p＝4，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選C.拋物線x＝4y2的準(zhǔn)線方程是（C）A.y＝B.y＝－1C.x＝－D.x＝

CC例2環(huán)節(jié)三求拋物線的方程例

1分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)為（－2，0）；（2）準(zhǔn)線為y＝－1；

例

1分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（3）過(guò)點(diǎn)A（2，3）；

例

1

解析：（5）令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點(diǎn)為（0，－5）或（－15，0）.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x.

例

2環(huán)節(jié)四拋物線的軌跡方程

平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解答

方法一（直接法）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.例

1

平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.例

1方法二（定義法）由題意，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，由于點(diǎn)F（1，0）到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x＜0時(shí)，直線y＝0上的點(diǎn)都符合題意；當(dāng)x≥0時(shí)，題中條件等價(jià)于點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y2＝4x.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.拋物線的定義拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的統(tǒng)一格式拋物線：設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過(guò)點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等