第三章平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性模型

第三章平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性模型

主要研究平穩(wěn)隨機(jī)信號經(jīng)過線性系統(tǒng)的統(tǒng)計模型及平穩(wěn)時間序列的幾種基本的線性模型。3.1隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)

3.1.1基本概念連續(xù)時間系統(tǒng)

離散時間系統(tǒng)

描述一個線性系統(tǒng)特征的基本工具是單位沖擊函數(shù)，或傳遞函數(shù)，或頻率響應(yīng)函數(shù)。連續(xù)時間系統(tǒng)：1.h(t)—單位沖擊響應(yīng)2.H(s)—傳遞函數(shù)，

h(t)的拉氏變換

3.H(w)—頻率響應(yīng)（幅度、相位）,h(t)的傅立葉變換

離散時間系統(tǒng)：1.h(n)—單位取樣響應(yīng)2.H(z)—傳遞函數(shù)，

h(n)的z變換

3.—頻率響應(yīng),h(n)的傅立葉變換

3.1.2線性系統(tǒng)輸入輸出信號之間數(shù)字特征的關(guān)系一、二階統(tǒng)計特性：均值、相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、功率譜等的相互關(guān)系

1.連續(xù)時間系統(tǒng)

（1）均值

設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)輸入信號x(t)的均值為mx，輸出y(t)的均值為my

其中與t無關(guān)的常數(shù)（2）自相關(guān)函數(shù)

（3）功率譜密度

對做傅立葉變換，得：（4）互相關(guān)函數(shù)

證：（5）互譜密度

對做傅立葉變換，得：從輸入、輸出信號的互相關(guān)函數(shù)、互譜關(guān)系中包含了系統(tǒng)的頻率特性的全部信息。（6）自協(xié)方差函數(shù)

（7）互協(xié)方差函數(shù)

例4-1已知x(t)是零均值的白噪聲，其功率譜為。如下圖所示，求

CR解：

一、二階統(tǒng)計特性：均值、相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、功率譜等的相互關(guān)系

2.離散時間線性系統(tǒng)

（1）均值

（2）均方值

（3）功率譜

（4）自相關(guān)函數(shù)

（5）互相關(guān)函數(shù)

（6）互譜密度

3.2離散時間序列的ARMA模型3.2.1譜因子分解只要是ω的連續(xù)函數(shù)，則有稱為功率譜的譜分解。證明如下：設(shè)為寬平穩(wěn)隨機(jī)信號X(n)的自相關(guān)函數(shù)，功率譜為且為ω的連續(xù)函數(shù)。由維納—辛欽定理，有：設(shè)在包含單位圓的圓環(huán)域內(nèi)解析，意味著及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微，則有羅倫級數(shù)展開：c(k)實(shí)際上就是的倒譜（引自語音信號處理的倒譜分析）進(jìn)一步單位圓上取值有頻譜：由于為正實(shí)數(shù)，必為實(shí)數(shù)。則有，即共軛對稱。又有：則進(jìn)一步有：有能進(jìn)行這樣分解的隨機(jī)信號（過程）稱為規(guī)則過程，可有如下性質(zhì)：1）任何規(guī)則過程都可看作是因果穩(wěn)定濾波器。

在方差為的白噪聲u(n)激勵下的輸出?！Q為隨機(jī)過程的新息表示。反之:2）逆濾波器1/H(z)是一個白化濾波器。即X(n)通過1/H(n)的濾波器輸出便是的白噪聲。這種白噪聲過程（白化過程）又稱為新息過程。下圖分別為隨機(jī)過程的新息表示和隨機(jī)過程的白化過程（新息過程）。3）由于u(n)和x(n)是一對可逆變換，兩者可相互導(dǎo)出，它們會有相同的信息。隨機(jī)信號的新息表示隨機(jī)信號的白化3.2離散時間序列的ARMA模型3.2.2離散時間隨機(jī)序列的線性模型1.ARMA模型（AutoRegressiveMovingAverage）時間序列x(n)，其中(p,q)階ARMA模型的數(shù)字表達(dá)式如下：

即：u(n)為零均值的高斯白噪聲，分布

即：電路原理圖如下：由一白噪聲u(n)通過線性系統(tǒng)得到隨機(jī)序列x(n)

3.2.2離散時間隨機(jī)序列的線性模型2.AR模型（AutoRegressive）即：即的ARMA

電路原理圖如下：3.2.2離散時間隨機(jī)序列的線性模型3.MA模型即的ARMA

3.2.3ARMA模型的傳遞函數(shù)即對ARMA(p,q)作z變換

式中

有傳遞函數(shù)對AR(p)模型——全極點(diǎn)模型:對MA(q)模型——全零點(diǎn)模型:對H(z)做逆變換，得沖擊響應(yīng)h(n):稱h(n)為格林函數(shù)，記為G(n)或Gn由于信號為因果信號。故Gn取值n=0,1,2,…例4-2對ARMA(1,1):求格林函數(shù)Gn解：方法一，由有：令：由等式兩邊同次的系數(shù)相等，可導(dǎo)出：所以有：解：方法二：3.2.4ARMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.格林函數(shù)及其性質(zhì)(2)若有

則稱系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.(3)若存在兩個常數(shù)C1>0，C2>0，對所有G(i)

，有顯然：（3）成立，則（2）也成立；（2）成立，則（1）也成立。反之不成立。(1)若存在常數(shù)C>0，有

則此ARMA系統(tǒng)是穩(wěn)定的.則稱系統(tǒng)是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的.例3-3對ARMA(1,1)模型，所以當(dāng)時，ARMA(1,1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。2.對一般情況ARMA(p,q)可由G(z)從z域分析，即由A(z)因式分解可得：穩(wěn)定臨界穩(wěn)定3.3ARMA模型的數(shù)字特征3.3.1互相關(guān)函數(shù)證：

只有K<n時，G(n-k)才不為0，所以有

3.3.2自相關(guān)函數(shù)1、ARMA的自相關(guān)函數(shù)由格林函數(shù)

代入上式(△式)由于i<0時，G(i)=0，所以：

（1）當(dāng)m>q時，上式第二項(xiàng)為0

（2）當(dāng)0≤m≤q時，——ARMA模型的Yule-Walker方程（尤拉-沃克方程）2、AR模型的自相關(guān)函數(shù)相比ARMA模型中的前向部分(△式第二項(xiàng))，q=0

則有：由于m>0，G(-m)=0,所以只有一項(xiàng)G(0)=1：所以有：——AR模型的尤拉-沃克方程：寫成矩陣形式：其中利用了性質(zhì)：3、MA模型的自相關(guān)函數(shù)因?yàn)閕<0和i>q時,所以有：MA模型的尤拉-沃克方程模型已知時，可根據(jù)尤拉-沃克方程組求出隨機(jī)時間序列的自相關(guān)函數(shù)；模型未知時，可由觀察數(shù)據(jù)估計自相關(guān)函數(shù)，再由尤拉-沃克方程組求模型參數(shù)，進(jìn)一步對模型做z域變換可得功率譜估計。研究ARMA、AR、MA模型自相關(guān)函數(shù)的意義是：例3-3求AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù):解：由尤拉-沃克方程可知有：令：由等式兩邊同次的系數(shù)相等，可導(dǎo)出：所以有：3.3.3功率譜密度所以系統(tǒng)的輸入為強(qiáng)度為的信號，

則輸出實(shí)際上為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)乘，其功率譜為——為的有理函數(shù)

例4-6求AR(2)模型的功率譜:解：3.4ARMA、AR

、MA模型之間的關(guān)系一個無限階的AR模型可以表示任意階MA，ARMA模型一個無限階的MA模型可以表示任意階AR，ARMA模型1、Wold分解定理任何廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程都可以分解為完全隨機(jī)的分量和一個完全確定分量之和（卡爾曼濾波就是一例）

表示信號為完全隨機(jī)的白噪聲，其自相關(guān)函數(shù)為沖激函數(shù)表示信號當(dāng)前值可由無限個過去值表示由分解定理可以有這樣的推論：任意

或

序列均可用無限階的

唯一來表示從前面格林函數(shù)討論舉例4-2（書上例4-4，例4-5）可知ARMA

、AR序列均可用格林函數(shù)表示為：例4-7（書上4-15）AR(1)模型…………依次迭代加入得一個序列—確知加隨機(jī)例4-8（書上4-16）序列2.柯爾莫可洛夫定理（）

任何ARMA或MA序列都可以用無限階的AR序列來表示用表示解：H(z)=(ARMA)AR()：=令H(z)==次冪次冪…………例4-9（書上例4-17）次冪

X(n)+x(n-1)+x(n-2)………=u(n)ARMA（1，1）即可表示為AR()模型（序列）例4-10（書例4-18）用AR()表示MA（1）解：MA(1)：H（Z）=1+AR()為上式

令H(z)=（）（）=1，由上題易知道=0得

==

……………….=即X(n)x(n-1)x(n-2)………+x(n-m)=u(n)AR()模型（序列）3.5一類非平穩(wěn)隨機(jī)序列信號模型—ARIMA模型

ARIMA——AutoregressiveIntegratedMovingAverage

隨機(jī)序列{x(n)}并不是平穩(wěn)的。但如果對其進(jìn)行有限次差分處理，其所得的差分序列{s(n)}可近似看做平穩(wěn)，可用平穩(wěn)序列信號模型描述。——這種非平穩(wěn)隨機(jī)序列的模型稱為ARIMA模型。例如：下列序列信號模型u(n)-白噪聲（4.5.1)由于模型Z變換后，其系數(shù)多項(xiàng)式的根z1=1,z2=1/2,有一個根在單位圓上，故其均方值DX不滿足小于。不滿足平穩(wěn)性，為非平穩(wěn)序列，若將（4.5.1)做差分處理（4.5.2)令則上式可寫為（4.5.3)（4.5.1)便是一階平穩(wěn)AR（1）模型，推廣到一般情形。設(shè){X(n)}為一非平穩(wěn)隨機(jī)序列，其一次，二次…(d-1)次的差分，，非平穩(wěn)，但=s(n).n>0{s(n)}是平穩(wěn)的ARMA（p,q),即(4.5.4)則稱為{x(n)}的d階求和ARMA（p,q)模型記作ARIMA（p,d,q).3.6諧波過程（諧波模型）在陣列處理等應(yīng)用中，信號含有周期分量，常用諧波過程表示1）隨機(jī)相位正弦信號是一個寬平穩(wěn)諧波過程它的自相序列為其功率譜為2）若幅度A也是隨機(jī)變量，且與不相關(guān)，則即形式與上相同，只是用E{A2}代替A2

3）多個隨機(jī)相位正弦信號相加，可得高階諧波過程且各隨機(jī)變量和Al不相關(guān)，則4）對負(fù)數(shù)信號.一階形式為L個不相關(guān)復(fù)諧波過程相加有其自相關(guān)序列為功率譜為例題例1已知信號樣值為，用Burg算法求二階格型預(yù)測誤差濾波器的各級反射系數(shù)K1和K2。例2有一基于MMSE準(zhǔn)則的格型濾波器，已知其各級反射系數(shù)為，試求AR(2)的參

數(shù)a21和a22，以及AR(2)的兩個極點(diǎn)位置，并判斷

AR(2)的因果穩(wěn)定性。例3已知某序列滿足AR(1)模型，模型參數(shù)為

a1=-0.2，又設(shè)白噪聲過程均值為0，方差，求：

(1)x(n)的自相關(guān)序列