第三章平穩(wěn)隨機信號的線性模型

第三章平穩(wěn)隨機信號的線性模型

主要研究平穩(wěn)隨機信號經(jīng)過線性系統(tǒng)的統(tǒng)計模型及平穩(wěn)時間序列的幾種基本的線性模型。3.1隨機信號通過線性系統(tǒng)

3.1.1基本概念連續(xù)時間系統(tǒng)

離散時間系統(tǒng)

描述一個線性系統(tǒng)特征的基本工具是單位沖擊函數(shù)，或傳遞函數(shù)，或頻率響應(yīng)函數(shù)。連續(xù)時間系統(tǒng)：1.h(t)—單位沖擊響應(yīng)2.H(s)—傳遞函數(shù)，

h(t)的拉氏變換

3.H(w)—頻率響應(yīng)（幅度、相位）,h(t)的傅立葉變換

離散時間系統(tǒng)：1.h(n)—單位取樣響應(yīng)2.H(z)—傳遞函數(shù)，

h(n)的z變換

3.—頻率響應(yīng),h(n)的傅立葉變換

3.1.2線性系統(tǒng)輸入輸出信號之間數(shù)字特征的關(guān)系一、二階統(tǒng)計特性：均值、相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、功率譜等的相互關(guān)系

1.連續(xù)時間系統(tǒng)

（1）均值

設(shè)平穩(wěn)隨機輸入信號x(t)的均值為mx，輸出y(t)的均值為my

其中與t無關(guān)的常數(shù)（2）自相關(guān)函數(shù)

（3）功率譜密度

對做傅立葉變換，得：（4）互相關(guān)函數(shù)

證：（5）互譜密度

對做傅立葉變換，得：從輸入、輸出信號的互相關(guān)函數(shù)、互譜關(guān)系中包含了系統(tǒng)的頻率特性的全部信息。（6）自協(xié)方差函數(shù)

（7）互協(xié)方差函數(shù)

例4-1已知x(t)是零均值的白噪聲，其功率譜為。如下圖所示，求

CR解：

一、二階統(tǒng)計特性：均值、相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、功率譜等的相互關(guān)系

2.離散時間線性系統(tǒng)

（1）均值

（2）均方值

（3）功率譜

（4）自相關(guān)函數(shù)

（5）互相關(guān)函數(shù)

（6）互譜密度

3.2離散時間序列的ARMA模型3.2.1譜因子分解只要是ω的連續(xù)函數(shù)，則有稱為功率譜的譜分解。證明如下：設(shè)為寬平穩(wěn)隨機信號X(n)的自相關(guān)函數(shù)，功率譜為且為ω的連續(xù)函數(shù)。由維納—辛欽定理，有：設(shè)在包含單位圓的圓環(huán)域內(nèi)解析，意味著及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微，則有羅倫級數(shù)展開：c(k)實際上就是的倒譜（引自語音信號處理的倒譜分析）進一步單位圓上取值有頻譜：由于為正實數(shù)，必為實數(shù)。則有，即共軛對稱。又有：則進一步有：有能進行這樣分解的隨機信號（過程）稱為規(guī)則過程，可有如下性質(zhì)：1）任何規(guī)則過程都可看作是因果穩(wěn)定濾波器。

在方差為的白噪聲u(n)激勵下的輸出?！Q為隨機過程的新息表示。反之:2）逆濾波器1/H(z)是一個白化濾波器。即X(n)通過1/H(n)的濾波器輸出便是的白噪聲。這種白噪聲過程（白化過程）又稱為新息過程。下圖分別為隨機過程的新息表示和隨機過程的白化過程（新息過程）。3）由于u(n)和x(n)是一對可逆變換，兩者可相互導(dǎo)出，它們會有相同的信息。隨機信號的新息表示隨機信號的白化3.2離散時間序列的ARMA模型3.2.2離散時間隨機序列的線性模型1.ARMA模型（AutoRegressiveMovingAverage）時間序列x(n)，其中(p,q)階ARMA模型的數(shù)字表達式如下：

即：u(n)為零均值的高斯白噪聲，分布

即：電路原理圖如下：由一白噪聲u(n)通過線性系統(tǒng)得到隨機序列x(n)

3.2.2離散時間隨機序列的線性模型2.AR模型（AutoRegressive）即：即的ARMA

電路原理圖如下：3.2.2離散時間隨機序列的線性模型3.MA模型即的ARMA

3.2.3ARMA模型的傳遞函數(shù)即對ARMA(p,q)作z變換

式中

有傳遞函數(shù)對AR(p)模型——全極點模型:對MA(q)模型——全零點模型:對H(z)做逆變換，得沖擊響應(yīng)h(n):稱h(n)為格林函數(shù)，記為G(n)或Gn由于信號為因果信號。故Gn取值n=0,1,2,…例4-2對ARMA(1,1):求格林函數(shù)Gn解：方法一，由有：令：由等式兩邊同次的系數(shù)相等，可導(dǎo)出：所以有：解：方法二：3.2.4ARMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.格林函數(shù)及其性質(zhì)(2)若有

則稱系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.(3)若存在兩個常數(shù)C1>0，C2>0，對所有G(i)

，有顯然：（3）成立，則（2）也成立；（2）成立，則（1）也成立。反之不成立。(1)若存在常數(shù)C>0，有

則此ARMA系統(tǒng)是穩(wěn)定的.則稱系統(tǒng)是一致漸進穩(wěn)定的.例3-3對ARMA(1,1)模型，所以當時，ARMA(1,1)是漸進穩(wěn)定的。2.對一般情況ARMA(p,q)可由G(z)從z域分析，即由A(z)因式分解可得：穩(wěn)定臨界穩(wěn)定3.3ARMA模型的數(shù)字特征3.3.1互相關(guān)函數(shù)證：

只有K<n時，G(n-k)才不為0，所以有

3.3.2自相關(guān)函數(shù)1、ARMA的自相關(guān)函數(shù)由格林函數(shù)

代入上式(△式)由于i<0時，G(i)=0，所以：

（1）當m>q時，上式第二項為0

（2）當0≤m≤q時，——ARMA模型的Yule-Walker方程（尤拉-沃克方程）2、AR模型的自相關(guān)函數(shù)相比ARMA模型中的前向部分(△式第二項)，q=0

則有：由于m>0，G(-m)=0,所以只有一項G(0)=1：所以有：——AR模型的尤拉-沃克方程：寫成矩陣形式：其中利用了性質(zhì)：3、MA模型的自相關(guān)函數(shù)因為i<0和i>q時,所以有：MA模型的尤拉-沃克方程模型已知時，可根據(jù)尤拉-沃克方程組求出隨機時間序列的自相關(guān)函數(shù)；模型未知時，可由觀察數(shù)據(jù)估計自相關(guān)函數(shù)，再由尤拉-沃克方程組求模型參數(shù)，進一步對模型做z域變換可得功率譜估計。研究ARMA、AR、MA模型自相關(guān)函數(shù)的意義是：例3-3求AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù):解：由尤拉-沃克方程可知有：令：由等式兩邊同次的系數(shù)相等，可導(dǎo)出：所以有：3.3.3功率譜密度所以系統(tǒng)的輸入為強度為的信號，

則輸出實際上為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)乘，其功率譜為——為的有理函數(shù)

例4-6求AR(2)模型的功率譜:解：3.4ARMA、AR

、MA模型之間的關(guān)系一個無限階的AR模型可以表示任意階MA，ARMA模型一個無限階的MA模型可以表示任意階AR，ARMA模型1、Wold分解定理任何廣義平穩(wěn)隨機過程都可以分解為完全隨機的分量和一個完全確定分量之和（卡爾曼濾波就是一例）

表示信號為完全隨機的白噪聲，其自相關(guān)函數(shù)為沖激函數(shù)表示信號當前值可由無限個過去值表示由分解定理可以有這樣的推論：任意

或

序列均可用無限階的

唯一來表示從前面格林函數(shù)討論舉例4-2（書上例4-4，例4-5）可知ARMA

、AR序列均可用格林函數(shù)表示為：例4-7（書上4-15）AR(1)模型…………依次迭代加入得一個序列—確知加隨機例4-8（書上4-16）序列2.柯爾莫可洛夫定理（）

任何ARMA或MA序列都可以用無限階的AR序列來表示用表示解：H(z)=(ARMA)AR()：=令H(z)==次冪次冪…………例4-9（書上例4-17）次冪

X(n)+x(n-1)+x(n-2)………=u(n)ARMA（1，1）即可表示為AR()模型（序列）例4-10（書例4-18）用AR()表示MA（1）解：MA(1)：H（Z）=1+AR()為上式

令H(z)=（）（）=1，由上題易知道=0得

==

……………….=即X(n)x(n-1)x(n-2)………+x(n-m)=u(n)AR()模型（序列）3.5一類非平穩(wěn)隨機序列信號模型—ARIMA模型

ARIMA——AutoregressiveIntegratedMovingAverage

隨機序列{x(n)}并不是平穩(wěn)的。但如果對其進行有限次差分處理，其所得的差分序列{s(n)}可近似看做平穩(wěn)，可用平穩(wěn)序列信號模型描述。——這種非平穩(wěn)隨機序列的模型稱為ARIMA模型。例如：下列序列信號模型u(n)-白噪聲（4.5.1)由于模型Z變換后，其系數(shù)多項式的根z1=1,z2=1/2,有一個根在單位圓上，故其均方值DX不滿足小于。不滿足平穩(wěn)性，為非平穩(wěn)序列，若將（4.5.1)做差分處理（4.5.2)令則上式可寫為（4.5.3)（4.5.1)便是一階平穩(wěn)AR（1）模型，推廣到一般情形。設(shè){X(n)}為一非平穩(wěn)隨機序列，其一次，二次…(d-1)次的差分，，非平穩(wěn)，但=s(n).n>0{s(n)}是平穩(wěn)的ARMA（p,q),即(4.5.4)則稱為{x(n)}的d階求和ARMA（p,q)模型記作ARIMA（p,d,q).3.6諧波過程（諧波模型）在陣列處理等應(yīng)用中，信號含有周期分量，常用諧波過程表示1）隨機相位正弦信號是一個寬平穩(wěn)諧波過程它的自相序列為其功率譜為2）若幅度A也是隨機變量，且與不相關(guān)，則即形式與上相同，只是用E{A2}代替A2

3）多個隨機相位正弦信號相加，可得高階諧波過程且各隨機變量和Al不相關(guān)，則4）對負數(shù)信號.一階形式為L個不相關(guān)復(fù)諧波過程相加有其自相關(guān)序列為功率譜為例題例1已知信號樣值為，用Burg算法求二階格型預(yù)測誤差濾波器的各級反射系數(shù)K1和K2。例2有一基于MMSE準則的格型濾波器，已知其各級反射系數(shù)為，試求AR(2)的參

數(shù)a21和a22，以及AR(2)的兩個極點位置，并判斷

AR(2)的因果穩(wěn)定性。例3已知某序列滿足AR(1)模型，模型參數(shù)為

a1=-0.2，又設(shè)白噪聲過程均值為0，方差，求：

(1)x(n)的自相關(guān)序列