平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示OxyijaA(x,y)a兩者相同3．兩個向量相等的充要條件，利用坐標如何表示？坐標（x，y）一一對應向量a1．以原點O為起點作OA=a，點A的位置由誰確定?2．點A的坐標與向量a的坐標有什么關系？由a唯一確定a=bx1=x2且y1=y2?平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a

+b，a

-b，λa的坐標嗎？兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）．解：a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）a+b=（x1+x2，y1+y2）即同理可得a-b=（x1-x2，y1-y2）=（x1+x2）i+（y1+y2）j平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標．λa=（λx1，λy1）．即λa=λ（x1i+y1j）=λx1i+λy1j平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

例1如圖，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB的坐標．OxyA(x1，y1)B(x2，y2)=(x2，y2)-(x1-

y1)=(x2-x1，y2-y1)解：AB=OB-OA一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標．平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

例2已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標.

解：=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．a(chǎn)-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

例3如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，試求頂點D的坐標.

yxO11ABCD

解法1：設頂點D的坐標為（x，y）．(1，2)=(3-x，4-y)．1=3-x2=4-y∴x=2y=2∴∴頂點D的坐標為（2，2）．∵AB=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，

DC=(3-x，4-y)，由AB=DC，得平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

解法2：如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知∴頂點D的坐標為（2，2）．=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)

BD=BA+AD=BA+BC=(2，2)．而OD=OB+BD=(-1，3)+(3，-1)yxO11ABCD=(3，-1)，平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示如何用坐標表示兩個共線向量？a=λb．向量a與非零向量b平行(共線)的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示(x1，y1)=λ(x2，y2)即x1=λx2，y1=λy2．消去λ后得：x1y2-x2y1=0．這就是說，當且僅當x1y2-x2y1=0設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．則由a=λb，有時，向量a、b（b≠0）共線．平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

例4已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.

解：∵a∥b，∴4y-2×6=0.

∴y=3.

平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

例5已知A(-1，-1)、B(1，3)、C(2，5)，試判斷A、B、C三點之間的位置關系．

解：在平面直角坐標系中作出A、B、C三點（如下圖），觀察圖形，猜想A、B、C三點共線．yxO1ABC又2×6-3×4=0.

∵直線AB、直線AC有公共點A，∴A、B、C三點共線．∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，AC=(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)，∴AB∥AC，平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

例6設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)、(x2，y2)．

（1）當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；yxOPP1P2

解：如圖，由向量的線性運算可知所以，點P的坐標是(，)．x1+x22y1+y22OP=

(OP1+OP2)=(，)12x1+x22y1+y22平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示

（2）當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．

如圖，當點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，即P1P=

PP2或P1P=2PP2．12xyOPP1P2yxOPP1P2平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示xyOPP1P2

如果P1P=

PP2(如圖)，那么12

OP=OP1+P1P=OP1+P1P213=OP1+(OP2-OP1)13=OP1+OP22313=(，)．2x1+x232y1+y23即點P的坐標是(，)．2x1+x232y1+y23同理，如果P1P=2PP2，那么點P的坐標是(，)．x1+2x23y1+2y23

（2）當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示如圖，當P1P=λPP2時，點P的坐標是什么？yxOPP1P2點P的坐標是：(，)．x1+λx21+λy1+λy21+λ平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示練習1.已知向量a、b的坐標，求a+b，a-b的坐標：a+b=（3，6）a-b=（-7，2）a-b=（7，-5）a+b=（1，11）a+b=（0，0）a-b=（4，6）a-b=（3，-4）a+b=（3，4）（1）a=（-2，4），b=（5，2）；（2）a=（4，3），b=（-3，8）；（3）a=（2，3），b=（-2，-3）；（4）a=（3，0），b=（0，4）.平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示練習2.已知平行四邊形ABCD的頂點A(-1，-2)、B(3，-1)、C(5，6)，求頂點D的坐標．頂點D的坐標為（1，5）．所以2x3-6=解得x=-4．練習3.

x為何值時，a=(2，3)與b=(x，-6)共線？解：由向量a，b共線得(2，3)

=λ(x，-6)，平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示如果存在，求出x、y、z的值；如果不存在，說明理由．(2，3)=x(3，1)+y(2，2)+z(-1，5)=(3x+2y-z，x+2y+5z)．則3x+2y-z=2x+2y+5z=3x+y+z=1消z得4x+3y=34x+3y=2方程組顯然