平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示OxyijaA(x,y)a兩者相同3．兩個(gè)向量相等的充要條件，利用坐標(biāo)如何表示？坐標(biāo)（x，y）一一對(duì)應(yīng)向量a1．以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，點(diǎn)A的位置由誰(shuí)確定?2．點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)有什么關(guān)系？由a唯一確定a=bx1=x2且y1=y2?平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a

+b，a

-b，λa的坐標(biāo)嗎？?jī)蓚€(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）．解：a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）a+b=（x1+x2，y1+y2）即同理可得a-b=（x1-x2，y1-y2）=（x1+x2）i+（y1+y2）j平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．λa=（λx1，λy1）．即λa=λ（x1i+y1j）=λx1i+λy1j平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

例1如圖，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB的坐標(biāo)．OxyA(x1，y1)B(x2，y2)=(x2，y2)-(x1-

y1)=(x2-x1，y2-y1)解：AB=OB-OA一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

例2已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo).

解：=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．a(chǎn)-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

例3如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

yxO11ABCD

解法1：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．(1，2)=(3-x，4-y)．1=3-x2=4-y∴x=2y=2∴∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．∵AB=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，

DC=(3-x，4-y)，由AB=DC，得平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

解法2：如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)

BD=BA+AD=BA+BC=(2，2)．而OD=OB+BD=(-1，3)+(3，-1)yxO11ABCD=(3，-1)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量？a=λb．向量a與非零向量b平行(共線)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示(x1，y1)=λ(x2，y2)即x1=λx2，y1=λy2．消去λ后得：x1y2-x2y1=0．這就是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．則由a=λb，有時(shí)，向量a、b（b≠0）共線．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

例4已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.

解：∵a∥b，∴4y-2×6=0.

∴y=3.

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

例5已知A(-1，-1)、B(1，3)、C(2，5)，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系．

解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn)（如下圖），觀察圖形，猜想A、B、C三點(diǎn)共線．yxO1ABC又2×6-3×4=0.

∵直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A，∴A、B、C三點(diǎn)共線．∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，AC=(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)，∴AB∥AC，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

例6設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)、(x2，y2)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；yxOPP1P2

解：如圖，由向量的線性運(yùn)算可知所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)．x1+x22y1+y22OP=

(OP1+OP2)=(，)12x1+x22y1+y22平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示

（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

如圖，當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即P1P=

PP2或P1P=2PP2．12xyOPP1P2yxOPP1P2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示xyOPP1P2

如果P1P=

PP2(如圖)，那么12

OP=OP1+P1P=OP1+P1P213=OP1+(OP2-OP1)13=OP1+OP22313=(，)．2x1+x232y1+y23即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)．2x1+x232y1+y23同理，如果P1P=2PP2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)．x1+2x23y1+2y23

（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示如圖，當(dāng)P1P=λPP2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？yxOPP1P2點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(，)．x1+λx21+λy1+λy21+λ平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示練習(xí)1.已知向量a、b的坐標(biāo)，求a+b，a-b的坐標(biāo)：a+b=（3，6）a-b=（-7，2）a-b=（7，-5）a+b=（1，11）a+b=（0，0）a-b=（4，6）a-b=（3，-4）a+b=（3，4）（1）a=（-2，4），b=（5，2）；（2）a=（4，3），b=（-3，8）；（3）a=（2，3），b=（-2，-3）；（4）a=（3，0），b=（0，4）.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示練習(xí)2.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(-1，-2)、B(3，-1)、C(5，6)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，5）．所以2x3-6=解得x=-4．練習(xí)3.

x為何值時(shí)，a=(2，3)與b=(x，-6)共線？解：由向量a，b共線得(2，3)

=λ(x，-6)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示如果存在，求出x、y、z的值；如果不存在，說(shuō)明理由．(2，3)=x(3，1)+y(2，2)+z(-1，5)=(3x+2y-z，x+2y+5z)．則3x+2y-z=2x+2y+5z=3x+y+z=1消z得4x+3y=34x+3y=2方程組顯然