中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：專題(七)　反比例函數(shù)綜合題

專題(七)反比例函數(shù)綜合題1．(2021·百色)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l⊥y軸，垂足為M，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象與l交于點(diǎn)A(m，3)，△AOM的面積為6.(1)求m，k的值；(2)在x軸正半軸上取一點(diǎn)B，使OB＝OA，求直線AB的函數(shù)表達(dá)式．解：(1)由題意可得：eq\f(1,2)AM·OM＝6，∴eq\f(1,2)m·3＝6，即m＝4，∴A(4，3)，∴k＝xy＝12(2)∵l⊥y軸，∴OB＝OA＝eq\r(OM2＋AM2)＝5，∴B(5，0).設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝ax＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝3，,5a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝15，))∴y＝－3x＋152．(2021·鄂爾多斯)如圖，矩形ABCD的兩邊AB，BC的長分別為3，8，C，D在y軸上，E是AD的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F，且CF－BE＝1.(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在y軸上找一點(diǎn)P，使得S△CEP＝eq\f(2,3)S矩形ABCD，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：(1)∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝4，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝eq\r(32＋42)＝5，∵CF－BE＝1，∴CF＝6，∴F的橫坐標(biāo)為－6，設(shè)F(－6，m)，則E(－4，m＋3)，∵E，F(xiàn)都在反比例函數(shù)圖象上，∴－6m＝－4(m＋3)，解得m＝6，∴F(－6，6)，∴k＝－36，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－eq\f(36,x)(2)∵S△CEP＝eq\f(2,3)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)×CP×4＝eq\f(2,3)×8×3，∴CP＝8，∴P(0，14)或(0，－2)3．(2021·德陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，6)，將點(diǎn)A向右平移2個單位，再向下平移a個單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象上，過A，B兩點(diǎn)的直線與y軸交于點(diǎn)C.(1)求k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)在y軸上有一點(diǎn)D(0，5)，連接AD，BD，求△ABD的面積．解：(1)把點(diǎn)A(2，6)代入y＝eq\f(k,x)中，得k＝2×6＝12，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(12,x)，由題意可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，∴當(dāng)x＝4時，y＝eq\f(12,4)＝3，∴B(4，3)，設(shè)直線AB的解析式為y＝mx＋n，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝2m＋n，,3＝4m＋n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(3,2)，,n＝9，))∴y＝－eq\f(3,2)x＋9，當(dāng)x＝0時，y＝9，∴C(0，9)(2)由(1)知CD＝9－5＝4，∴S△ABD＝S△BCD－S△ACD＝eq\f(1,2)CD·|xB|－eq\f(1,2)CD·|xA|＝eq\f(1,2)×4×4－eq\f(1,2)×4×2＝44．(2021·盤錦)如圖，直線y＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)交x軸于點(diǎn)M，四邊形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，EA的延長線交直線y＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)于點(diǎn)D.(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)B在x軸上，且AB＝AD，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．解：(1)令y＝0，即0＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)，解得x＝1，∴點(diǎn)M(1，0)，即OM＝1，又∵S矩形OMAE＝OM·AE＝4，∴AM＝OE＝4，∴A(1，4)，把A(1，4)代入反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)，得k＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(4,x)(2)當(dāng)y＝4時，即4＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)，解得x＝6，即D(6，4)，而A(1，4)，∴AD＝DE－AE＝6－1＝5，∵AB＝AD＝5，AM＝4，點(diǎn)B在x軸上，∴在Rt△AMB中，由勾股定理，得MB＝eq\r(52－42)＝3，①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)M的左側(cè)時，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1－3＝－2，∴點(diǎn)B(－2，0)，②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)M的右側(cè)時，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1＋3＝4，∴點(diǎn)B(4，0)，綜上可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，0)或(4，0)5．(2021·鎮(zhèn)江)如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E(2，1)是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝eq\f(6,x)(x＜0)的圖象上，分別過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點(diǎn)F.(1)求k的值；(2)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：am＝－2；(3)連接CE，DE，當(dāng)∠CED＝90°時，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：(eq\f(6,5)，eq\f(5,3))．解：(1)∵點(diǎn)E(2，1)是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)圖象上的點(diǎn)，∴eq\f(k,2)＝1，解得k＝2(2)在△ACF和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACF＝∠BDF，,∠CFA＝∠BFD，,AC＝BD，))∴△ACF≌△BDF(AAS)，∴S△BDF＝S△ACF，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(a，eq\f(2,a))，F(xiàn)(0，m)，AC＝BD，則可得C(0，eq\f(2,a))，B(－a，－eq\f(6,a))，∴AC＝BD＝a，CF＝eq\f(2,a)－m，F(xiàn)D＝m－(－eq\f(6,a))＝m＋eq\f(6,a)，即eq\f(1,2)a×(eq\f(2,a)－m)＝eq\f(1,2)a×(m＋eq\f(6,a))，整理，得am＝－2(3)設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a，eq\f(2,a))，則C(0，eq\f(2,a))，D(0，－eq\f(6,a))，∵E(2，1)，∴在Rt△CED中，由勾股定理，得CE2＋DE2＝CD2，即22＋(1－eq\f(2,a))2＋22＋(1＋eq\f(6,a))2＝(eq\f(2,a)＋eq\f(6,a))2，解得a＝－2(舍去)或a＝eq\f(6,5)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq\f(6,5)，eq\f(5,3))6．(2021·瀘州)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象相交于A(2，3)，B(6，n)兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)將直線AB沿y軸向下平移8個單位后得到直線l，l與兩坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)P，Q，求eq\f(PQ,MN)的值．解：(1)∵反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象過點(diǎn)A(2，3)，∴m＝2×3＝6，∴y＝eq\f(6,x)，把點(diǎn)B(6，n)代入，得n＝eq\f(6,6)＝1，∴B(6，1).∵一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過點(diǎn)A(2，3)，點(diǎn)B(6，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,6k＋b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝4，))∴一次函數(shù)的解析式為：y＝－eq\f(1,2)x＋4(2)∵直線AB沿y軸向下平移8個單位后得到直線l，∴直線l的解析式為：y＝－eq\f(1,2)x＋4－8＝－eq\f(1,2)x－4，當(dāng)x＝0時，y＝－4，當(dāng)y＝0時，x＝－8，∴M(－8，0)，N(0，－4)，∴OM＝8，ON＝4，∴MN＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，聯(lián)立方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x－4，,y＝\f(6,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－1，))∴P(－6，－1)，Q(－2，－3)，如圖，過點(diǎn)P作x軸的平行線，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，兩條平行線交于點(diǎn)C，則∠C＝90°，C(－2，－1)，∴PC＝4，CQ＝2，∴PQ＝eq\r(PC2＋CQ2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴eq\f(PQ,MN)＝eq\f(2\r(5),4\r(5))＝eq\f(1,2)7．(2021·東營)如圖所示，直線y＝k1x＋b與雙曲線y＝eq\f(k2,x)交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－3，直線AB與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D(0，－2)，OA＝eq\r(5)，tan∠AOC＝eq\f(1,2).(1)求直線AB的解析式；(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△OCP的面積是△ODB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)直接寫出不等式k1x＋b≤eq\f(k2,x)的解集．解：(1)如圖①，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，∴∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，tan∠AOC＝eq\f(AE,OE)＝eq\f(1,2)，設(shè)AE＝m，則OE＝2m，根據(jù)勾股定理，得AE2＋OE2＝OA2，∴m2＋(2m)2＝(eq\r(5))2，∴m＝1或m＝－1(舍去)，∴OE＝2，AE＝1，∴A(－2，1)，∵點(diǎn)A在雙曲線y＝eq\f(k2,x)上，∴k2＝－2×1＝－2，∴雙曲線的解析式為y＝－eq\f(2,x)，∵點(diǎn)B在雙曲線上，且縱坐標(biāo)為－3，∴－3＝－eq\f(2,x)，∴x＝eq\f(2,3)，∴B(eq\f(2,3)，－3)，將點(diǎn)A(－2，1)，B(eq\f(2,3)，－3)代入直線y＝k1x＋b中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k1＋b＝1，,\f(2,3)k1＋b＝－3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(3,2)，,b＝－2，))∴直線AB的解析式為y＝－eq\f(3,2)x－2(2)如圖②，連接OB，PO，PC.由(1)知，直線AB的解析式為y＝－eq\f(3,2)x－2，∴D(0，－2)，∴OD＝2，由(1)知，B(eq\f(2,3)，－3)，∴S△ODB＝eq\f(1,2)OD·xB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，∵△OCP的面積是△ODB的面積的2倍，∴S△OCP＝2S△ODE＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，由(1)知，直線AB的解析式為y＝－eq\f(3,2)x－2，令y＝0，則－eq\f(3,2)x－2＝0，∴x＝－eq\f(4,3)，∴OC＝eq