第一類曲線積分的計算_第1頁
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PAGEPAGE4第一類曲線積分的計算1、定義定義1：設(shè)為平面上可求長度的曲線段，為定義在上的函數(shù)．對曲線作分割T，它把分成n個可求長度的小曲線段，的弧長記為，分割T的細度為，在上任取一點(,若存在極限且的值與分割T及點的取法無關(guān)，則稱此極限為在上的第一型曲線積分，記作（1）定義2：若為空間可求長曲線段，為定義在上的函數(shù)，則可類似地定義在空間曲線上的第一型曲線積分為，(此處為的弧長,,為一常數(shù)),并且記作（2）2、物理意義（1）設(shè)某物體的密度函數(shù)f（P）是定義在上的連續(xù)函數(shù)．當是直線段時，應(yīng)用定積分就能計算得該物體的質(zhì)量?，F(xiàn)在研究當是平面上某一可求長度的曲線段時物體的質(zhì)量的計算問題．首先對作分割,把分成n個可求長度的小曲線段（i=1，2，…，n)，并在每一個上任取一點P由于f（P）為上的連續(xù)函數(shù),故當?shù)幕￠L都很小時，每一小段的質(zhì)量可近似地等于f（P）,其中為小曲線段的長度.于是在整個上的質(zhì)量就近似地等于和式當對的分割越來越細密時,上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量。（2）空間曲線L的重心坐標為,,（3）曲線L的繞z軸(x,y軸)的轉(zhuǎn)動慣量是 3、幾何意義1）當被積函數(shù)為1時,積分的值恰為曲線的長度。（2）當表示以L為準線，以平行于z軸的線為母線的曲柱面的面積。4、性質(zhì)第一型曲線積分具有下述一些重要性質(zhì):（1）若存在，為常數(shù)，則也存在，且（2）若曲線段由曲線首尾相接而成，且都存在，則也存在，且。（3）若與都存在，且在上則。（4）若存在，則也存在，且。（5）若存在，的弧長為s，則存在常數(shù)c,使得【解析】將積分曲線方程即代入被積函數(shù)，得5、設(shè)為橢圓，其周長為，則(1998，數(shù)一，3分)【

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