反常積分的斂散性判定方法

內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)本科年論文反常積分?jǐn)可⑿缘蔫b定辦法作者陳志強(qiáng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級級學(xué)號指導(dǎo)教師魏運(yùn)導(dǎo)師職稱專家最后成績75分目錄摘要………………..……?！?……………..1核心詞………………。.……。….…………。.1引言-—--—-———-———--——----—---————-------——-—--———-—-—-—--—---—--—-—-—-----————-—--————--—--—2一、預(yù)備知識…………..……。…?！?21.無窮限反常積分…………。.…….…。…………….。22.瑕積分……。?！?…?！?3。反常積分的性質(zhì)……。.…….…?！?二、反常積分的收斂鑒別法……………….。…….….………41無窮積分的收斂鑒別……..…….….……………4（1)。定義鑒別法….?！?。….……………。?！?（2）。比較鑒別法…。.…….….…………….?！?（3）?？挛麒b別法…。.…….….……………..……5(4)阿貝爾鑒別法?！?.……?！??！?（5)。狄利克雷鑒別法…..……?！?……………72瑕積分的收斂鑒別….?！?….…………….…?！?（1）.定義鑒別法…。。……?！?……………。.……8（2）。定理鑒別法……………。?！?…?！?.9（3).比較鑒別法…………………。.…….….…………9(4）?？挛麒b別法…………….。…….….……………9(5).阿貝爾鑒別法…………….?！?。….……….10（6）。狄利克雷鑒別法……。。…….…?！?。10參考文獻(xiàn)………………。。……?！?………11摘要在諸多實(shí)際問題中,要突破積分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性，由此得到了定積分的兩種形式的推廣：無窮限反常積分和瑕積分。我們將這兩種積分統(tǒng)稱為反常積分。由于反常積分涉及到一種收斂問題，因此反常積分的斂散性鑒定就顯得非常重要了。本文將對反常積分的斂散性鑒定進(jìn)行歸納總結(jié),并給出了有關(guān)定理的證明,舉例闡明其應(yīng)用，這樣將有助于我們靈活的運(yùn)用多個等價(jià)定理判斷反常積分的斂散性。核心詞:反常積分瑕積分極限斂散性引言近些年以來，某些數(shù)學(xué)工作者對反常積分?jǐn)可⑿缘蔫b別辦法做了研究并獲得了許多重要的進(jìn)展.如華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上冊)，對反常積分積分的定義，性質(zhì)的運(yùn)用及講義其鑒別收斂性的辦法.華中科技大學(xué)出版的數(shù)學(xué)分析理論辦法與技巧，也對反常積分?jǐn)可⑿澡b別做了具體的解說,還用圖形的辦法闡明其意義.引申出反常積分?jǐn)可⑿缘牡葍r(jià)定義，并通過例題闡明其應(yīng)用.眾多學(xué)者研究的內(nèi)容全而廣,實(shí)用性很高，特別是在研究斂散性的鑒別很明顯，這對我現(xiàn)所研究的論文題目提供了大量的理論根據(jù)和參考文獻(xiàn),對我完畢本次論文有很大的協(xié)助，但絕大多數(shù)文獻(xiàn)只是對其一種辦法進(jìn)行研究，而本文將對其進(jìn)行歸納總結(jié)，舉例闡明其應(yīng)用。一、預(yù)備知識1.無窮限反常積分定義1。1設(shè)函數(shù)在［ａ,＋∞）有定義，若在［ａ，A］上可積（A>a)且當(dāng)A→＋∞時，存在，稱反常積分收斂，否則稱反常積分與發(fā)散.對反常積分與注意:只有當(dāng)和都收斂時，才認(rèn)為是收斂的.2．.瑕積分定義1：設(shè)f（x）在a的任何鄰域內(nèi)均無界，則稱a為f(x)的一種瑕點(diǎn)定義2：設(shè)f（x）在內(nèi)有定義,且b為唯一瑕點(diǎn)，若存在,稱瑕積分收斂定義3:設(shè)C且為f(x)的一種瑕點(diǎn)，若和均收斂，則稱瑕積分3。反常積分的性質(zhì)(1)Cauchy收斂原理：收斂〉0,〉a，當(dāng)>>時，有〈(2)線性性質(zhì):若與都收斂，則對任意常數(shù)，也收斂,且有=(3)積分區(qū)間可加性,若收斂，則b，=。(4）若收斂,則≤.反常積分的斂散性鑒別法1。無窮積分的斂散性鑒別（1)定義鑒別法設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積.如果存在極限，則稱收斂，否則發(fā)散，即對應(yīng)定積分的極限存在廣義積分收斂，定積分的極限不存在廣義積分發(fā)散例1.1計(jì)算無窮積分(是常數(shù)，且)解：式中（2）.比較鑒別法的普通形式：在有定義，且(a）〈<（b）=+=+例1。2討論的收斂性解:由于，由于為收斂，因此根據(jù)比較鑒別法為絕對收斂。(3).比較鑒別法的極限形式:在有定義，且非負(fù)，且則：（a）當(dāng)<〈（b）=（c)<<時，，含有相似點(diǎn)斂散性。證：（1）若，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A(A〉a）使得當(dāng)時成立即于是由比較鑒別法，當(dāng)收斂時也收斂（2）若，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A（A），使得當(dāng)時成立其中0于是由比較鑒別法,當(dāng)發(fā)散時也發(fā)散例1。3討論的斂散性解：,而收斂，因此收斂總結(jié):使用比較鑒別法，需要一種斂散性鑒別結(jié)論明確，同時又形成簡樸的函數(shù)作為比較對象,在上面的例子中我們都是取為比較對象的,由于它們正好能滿足這倆個條件(4)?？挛麒b別法:設(shè)在有定義,在任何有限區(qū)間上可積，且則有:當(dāng)時，收斂當(dāng),時，發(fā)散(5)。阿貝爾鑒別法:滿足：（a）單調(diào)有界（b）收斂則收斂證：由于存在M>0，使再由（2）可知，>0,,當(dāng)時，有<又=（+）=2再次由柯西準(zhǔn)則知Abel定理成立.例1.4證（0<）收斂運(yùn)用阿貝爾鑒別法，由于收斂，又在上單調(diào)有界，故是收斂的（6）.Dirichlet鑒別法：滿足（1）f（x）單調(diào)且趨于0（x0）(2）有界(a>A)則收斂。證:由于存在M〉0，有界，因此有又由于f(x)0（x)故對〉0，,當(dāng)時,有即，，因此同理有,故當(dāng)時，有例1。5證積分收斂,但不絕對收斂證：，而單調(diào)且當(dāng)時趨于0，故由Dirichlet鑒別法知收斂；但=而，單調(diào)趨于0，故收斂，而發(fā)散，故發(fā)散例1。6積分的斂散性當(dāng)時是可積的;當(dāng)時,它是不可積的，由于這時被積函數(shù)在上無界。但作為反常積分，當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散；由于當(dāng)時有而當(dāng)時有例1。7積分作為反常積分，當(dāng)時它收斂；當(dāng)時它發(fā)散。這是由于當(dāng)時有而當(dāng)p=-1時有2.瑕積分的收斂鑒別（1）定義鑒別法設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，在點(diǎn)a的任一右鄰域上無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間有限區(qū)間上有界且可積.如果存在極限，則稱反常積分收斂.，否則發(fā)散例2.1計(jì)算瑕積分的值解：被積函數(shù)在上持續(xù),從而在任何上可積，為其瑕點(diǎn).依定義求得（2)定理鑒別法(柯西收斂原理)瑕積分（瑕點(diǎn)為a）收斂的充要條件是：任給,存在，只要總有=0<（3）。比較法則設(shè)f（x）定義于,a為其瑕點(diǎn),且在任何上可積，如果當(dāng)時，收斂當(dāng)，時，發(fā)散（4）?？挛麒b別法設(shè)x=a是f（x）的瑕點(diǎn)，如果那么絕對收斂；如果那么發(fā)散例2.2討論的斂散性(）解：x=0是其唯一奇點(diǎn).當(dāng)時，取,則，由柯西鑒別法知,收斂類似的，當(dāng)時,取,則由柯西鑒別法知，發(fā)散當(dāng)時,能夠直接用Newton-leibniz公式得到因此，當(dāng)時，反常積分收當(dāng)斂；當(dāng)時，反常積分發(fā)散(5)。阿貝爾鑒別法設(shè)f（x）在x=a有奇點(diǎn),收斂，g（x）單調(diào)有界,那么積分收斂(6).狄利克雷鑒別法設(shè)f(x）在x=a有奇點(diǎn)，是的有界函數(shù)，g(x)單調(diào)且當(dāng)xa時趨于零，那么積分例2。3討論積分的收斂情形當(dāng)時，，積分絕對收斂，又當(dāng)即時，由狄利克雷鑒