開方公式的推導(dǎo)

開方公式的推導(dǎo)一、 問題的提出在數(shù)學(xué)中，再也沒有比開方更加自然的事了，當(dāng)人類產(chǎn)生了自然數(shù)概念并且規(guī)定了四則運(yùn)算之后，人們發(fā)現(xiàn)，如果按照乘法性質(zhì)，一個(gè)數(shù)自身相乘的逆行運(yùn)算是一件不太容易的事情。一個(gè)整數(shù)自身相乘以后是比較容易找到原來那個(gè)整數(shù)的，例如2自身相乘5次是32，從32我們也容易找到2,但是，如果是31，30，呢，開5次方就不太容易了。自從牛頓發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理以后，人們知道開方是依據(jù)二項(xiàng)式定理展開的。但是，畢竟太麻煩。有沒有一個(gè)簡(jiǎn)單的方式或者公式來開方呢？二、 一個(gè)意外設(shè)A=Xn,X=nA，我們想求X，即開方n次，當(dāng)：,A:Xn-l=X。（1）我們把右下角標(biāo)打上了（@）的X@表示我們預(yù)設(shè)的那個(gè)X，把右下角沒有@的X視作A+X@-1以后得出的商。有三種情況：一，我們?nèi)〉某跏贾礨@-1,與等式右邊的X，一致時(shí)，問題就解決了，例如功2』；二，我們?nèi)〉某跏贾礨@-1偏小，A/X@-1>X@，例如45/24=2.8125>2。（1）式，，，，NX@-1頊。,，于是、<%，%一X@,=E，例如28125-2=0.8125,是一個(gè)正值，我們把這個(gè)正值分解E/n再加回去就可以調(diào)節(jié)原來取了偏小的初始值，使之變大；（因?yàn)锳開n次方，就是將X自乘n次的數(shù)值分解n次，所以也就自然而然地想到其誤差E也要分解n份,即E/n）。三，我們?nèi)〉某跏贾礨n-l偏大，A/Xn-l<X例如30/24=1.875<2,（1）式，，，，A/Xn-1,=X。,，于是，X@,>X。，，X。,-X@,=—E。例如1-875-2=-0-125，我們把這個(gè)負(fù)值-E分解-E/n再加回去，就可以調(diào)節(jié)原來取得偏大的初始值，使之變小。四，于是我們得到：Xk/X.+（A/Xk-1-X^）1.，（2）（K=0，1，2，3，4，???..。.）五，我們用（2）式來開方。例如我們開平方，即n=2。X=*A，公式：Xk+1=X*+（A/Xk-1-X^）|.，（3）

設(shè)A=5。\5介于22至32之間，我們可以取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,， ，2.8,2.9.。隨便取一個(gè)值輸入，得出來的都是正確的，一般要求取中間值2.5.第一步：2.5+(5/2.5-2.5)/2=2.2;(用其它值也一樣，例如2.8；2.8+(5/2.8-2.8)/2=2.2。第二部：2.2+(5/2.2-2.2)/2=2.23。每一次多取一位數(shù)。第三步：2.23+(5/2.23-2.23)/2=2.236.。即2.236=拓。計(jì)算次數(shù)與計(jì)算精確度成為正比。開3次方也一樣，即n=3，X=3A，公式:Xk+i=Xk+（A/X2-X^）3“（4）設(shè)a=5，5介于I3至23之間，我們可以取初始值1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7,1.8，1.9,都是一樣。例如取1.9。第一步：1.9+(5/1.92-1.9)/3=1.7。取其它值也是一樣，例如取1.5；1.5+(5/1.52-1.5)/3=1.7.。輸入值大于輸出值，負(fù)反饋；第二步：1.7+(5/1.72-1.7)/3=1.71;輸入值小于輸出值，正反饋;J第三步：1.71+(5/1.712-1.71)/3=1.709;輸入值大于輸出值，負(fù)反饋;第四步;1.709+(5/1.7092-1.709)/3=1.7099.每一步多取一位數(shù)。要多精確都可以。如果輸入值與輸出值一致：289開平方，v菠介如10的平方至20平方之間，我們?nèi)?0為初始值，于是：第一步20+(289/20-20)/2=17；第二步17+(289/17-17)/2=17.說明17是個(gè)精確值。覺得以上方法是作者1980年發(fā)現(xiàn)的，找到江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，一位教授看過之后，覺得面熟，將這個(gè)公式反推回去，原來是牛頓切線法。但是，他不知道是怎么得出來的。原來這可以用二項(xiàng)式定理推出。牛頓先生可以用二項(xiàng)式定理推出。牛頓先生三，二項(xiàng)式定理與(2)式巧合設(shè)A=（X土Y）n =C0Xn土 C0 Xn-1Y+ C2 X〃-2 Y2 土…土Cn Yn （5）,n, ,n, , ,n, ,, n,X是假定值，Y是誤差值。Xk+]=（X土Y））=X^+（A/Xn-1-Xk）1.0（6）由（6）式得：±Y=（A/Xki-Xk）1.0（7）我們把（5）式等號(hào)右邊按照（7）式程序進(jìn)行：（一）（7）式右端第一步是A/Xn-1，相當(dāng)于（5）式中的：K,CoXn+C1Xn-1Y+C2Xn-2Y2土...土C^Yn" nX3 n=X±1y+(C：Xn-2Y2土…土C：Yn)/Xn-1。(8)（二） ，（7）式右端第二步是減去X,即A/XKK-1-Xk。（8） 式右端減去X得：土^丫+（C2Xn-2Y2土…土CnYn）/Xn-1。（9）n n， , , n, ,（三） ，（7）式右端第三步是除以n,即：（A/XK-1-Xk）—。（9） 式除以n得：±Y+（C2Xn-2Y2土…土CnYn）/nXn-1。（10）",，，"，，（10）式是由（5）式得來的，現(xiàn)在（7）式左端只剩下一個(gè)Y,而（10）式卻是多出來一個(gè)：（C2Xn-2Y2土…土CnYn）/nXn-10（11）（11）式就是我們碰到的誤差。我們?cè)趯?shí)際計(jì)算中把（11）式不要了。當(dāng)我們?nèi)值偏大，A=（X-Y）；當(dāng)我們?nèi)≈灯∈茿=X+Yo四，為什么(2)式是牛頓切線法我們把(2)式展開：X=X+(A/Xn-1-X)L.=X-(Xn-A)/(nXn-1).，k+1, k, K, k, nk,K, K,注意：f(x)=X修-A；f”(x)=nXn-1。即X=X- ~--(牛頓切線法，求X=n