2024屆湖北省荊州市沙市中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat18頁(yè)2024屆湖北省荊州市沙市中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性可得，又根據(jù)，而，從而可判斷.【詳解】因?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，所以，即，又，而，則，所以.故選：D.2．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的單調(diào)性為（

）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先增后減 D．先減后增【答案】B【分析】先根據(jù)求出在上的解析式，進(jìn)而可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選：B3．已知數(shù)列為遞增數(shù)列，前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可求，要使為遞增數(shù)列只需滿(mǎn)足即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故為遞增數(shù)列只需滿(mǎn)足，即故選：B4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．9 B．10 C．24 D．25【答案】B【分析】首先求出的通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)求解即可.【詳解】的通項(xiàng)，令，，令，，令，，展開(kāi)式中的系數(shù)為.所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為10.故選：B5．已知隨機(jī)變量，則概率最大時(shí)，的取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值的概率公式建立不等關(guān)系，可得最大值時(shí)的．【詳解】依題意，由，即，解得或.故選：C.6．已知為的邊所在直線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量基本定理的推論求解．【詳解】，而三點(diǎn)共線，故，即，故選：A7．已知正方體的棱長(zhǎng)為，分別為和的中點(diǎn),為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為上底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，下列判斷正確的是（

）①三棱錐的體積是定值；②若恒成立，則線段的最大值為；③當(dāng)與所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分；A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，得出點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離的一半，錐體的體積公式求得三棱錐的體積為，可判定①正確；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，再設(shè)，得到，結(jié)合，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得線段取得最大值為，可判定②正確；由與的所成的角為，結(jié)合向量的夾角公式，求得軌跡方程為可判定③錯(cuò)誤.【詳解】如圖（1）所示，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，又由是的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到的距離，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離的一半，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，可得，因?yàn)槊?，且面，所以，可得點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，由，且，平面，所以平面，且，所以三棱錐的體積為（定值），所以①正確；

如圖（2）所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由設(shè)，則，因?yàn)?，所以，可得，所以，又因?yàn)榍遥傻?，所以?dāng)時(shí)，線段取得最大值，最大值為，所以②正確；因?yàn)?，又因?yàn)榕c的所成的角為，所以，整理得且，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，所以③錯(cuò)誤.故選：A.

【點(diǎn)睛】8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點(diǎn)P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由給定條件及橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再借助斜率坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求解作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，中，，而點(diǎn)P，Q均在橢圓上，由橢圓對(duì)稱(chēng)性得，令橢圓半焦距為c，，由得：，解得，而，因此，即，又，則，整理得，而，則有，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)求法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、多選題9．設(shè)，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，已知，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．若A，B是相互獨(dú)立事件，則D．若A，B是互斥事件，則【答案】AC【分析】計(jì)算得AC正確；當(dāng)A，B是相互獨(dú)立事件時(shí)，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)锳，B是互斥事件，得，而，故D錯(cuò)誤．【詳解】解：，故A正確；當(dāng)A，B是相互獨(dú)立事件時(shí)，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)锳，B是相互獨(dú)立事件，則，所以，故C正確；因?yàn)锳，B是互斥事件，，則根據(jù)條件概率公式，而，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．函數(shù)有最小值C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的零點(diǎn)為【答案】ABC【分析】對(duì)于A，利用對(duì)稱(chēng)性結(jié)論進(jìn)行證明；對(duì)于B，根據(jù)正弦函數(shù)值域以及二次函數(shù)值域的求解方法進(jìn)行求解；對(duì)于C，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的討論方法進(jìn)行求解；對(duì)于D，直接求函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的周期為.對(duì)于A，，所以函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以只考慮，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為0，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于D，令，即，則，即或，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．如果一個(gè)人爬樓梯的方式只有兩種，一次上一級(jí)臺(tái)階或一次上兩級(jí)臺(tái)階，設(shè)爬上級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)為，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】到第級(jí)階梯有兩種方法：方法一：從第級(jí)階梯上一級(jí)臺(tái)階即可；或者方法二：從第級(jí)階梯上兩級(jí)臺(tái)階；所以由題意有，再結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于B選項(xiàng)：由于到第級(jí)階梯有兩種方法：從第級(jí)階梯上一級(jí)臺(tái)階或者從第級(jí)階梯上兩級(jí)臺(tái)階，因此由題意有，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于A選項(xiàng)：顯然，又結(jié)合B選項(xiàng)分析可知，所以，，，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：由A、B選項(xiàng)分析可知，，，，，，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)：由B選項(xiàng)分析可知，再裂項(xiàng)求和，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.12．若對(duì)任給恒成立，則實(shí)數(shù)的取值集合的子集可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞增，且，再由，得到，求得，得出實(shí)數(shù)的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由，可得，則不等式等價(jià)于不等式，因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，令，即在上恒成立，又由，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以，可得在上單調(diào)遞增，且，再令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，又由，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)，AB符合題意.故選：AB.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)或不等式的恒成立（有解）問(wèn)題的求解策略:形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；形如的有解的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.三、填空題13．函數(shù)的最小正周期為.【答案】/【分析】由函數(shù)周期性與誘導(dǎo)公式求解，【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，，當(dāng)時(shí)，與不恒相等，故的最小正周期為，故答案為：14．若圓錐的底面直徑為6，母線長(zhǎng)為5，則其內(nèi)切球的表面積為．【答案】【分析】畫(huà)出剖面圖后進(jìn)行分析，注意利用三角形面積公式與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，即.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，則圓錐的高，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，根據(jù)面積相等，可得圓錐軸截面的面積為，得到，所以?xún)?nèi)切球的表面積為．故答案為：15．若正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為其內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，，則的取值范圍是.【答案】【分析】以正方體的中心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】以正方體的中心為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，可得，又由正方形的內(nèi)切圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)?，可得，所以，可得，因?yàn)?，所?故答案為：

16．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為.【答案】【分析】由換元法構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解最值．【詳解】由條件知令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：四、解答題17．已知的三邊滿(mǎn)足：．(1)求角；(2)若，，當(dāng)面積最大時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得，即可求出角C；（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式可得，可求出當(dāng)?shù)拿娣e最大值時(shí)，再由余弦定理即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）由，則根據(jù)正弦定理可得，所以，即，得，由，則，所以，又，所以．（2）由余弦定理得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，若的面積取到最大，則，為等邊三角形，又，則，所以，則由余弦定理得，所以．18．已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足，(1)求的通項(xiàng)公式.(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由與的關(guān)系化簡(jiǎn)與累加法求解，（2）由裂項(xiàng)相消法求和后證明．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，由累加法得，，故，也滿(mǎn)足該式綜上，（2）19．在梯形中，,，,且.

(1)若點(diǎn)在線段上滑動(dòng)，設(shè)與面所成的角為，試求的最大值(2)求點(diǎn)到面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，求出各邊長(zhǎng)，證明線線垂直，進(jìn)而得到線線垂直，得到兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表達(dá)出，求出最大值；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，因?yàn)樘菪沃校?，所以，，因?yàn)?，所以，由勾股定理得，因?yàn)?，所以，，由勾股定理得，在中，，由余弦定理可得，又，故，所以⊥，因?yàn)椤?，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，所以⊥，在中，，由勾股定理得，故，在中，由勾股定理得，因?yàn)?，由勾股定理逆定理可得⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，平面的法向量為，則，解得，令，則，故，，

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故的最大值為；（2）設(shè)平面的法向量為，，解得，令得，故，所以點(diǎn)到面的距離為.20．在正三棱柱中，點(diǎn)處有一只小螞蟻，每次隨機(jī)等可能地沿各條棱或側(cè)面對(duì)角線向另一頂點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)小螞蟻移動(dòng)次后仍在底面的頂點(diǎn)處的概率為.

(1)求，的值.(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解；（2）設(shè)表示第次在平面的頂點(diǎn)上的概率，表示第次在平面的頂點(diǎn)上的概率，根據(jù)底面走到底面的概率為和上底面走到底面的概率為，得到，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，共有5種不同的移動(dòng)方式，其中仍在底面的頂點(diǎn)處，包含2種移動(dòng)方式，所以；若第1次移動(dòng)到，第2次移動(dòng)仍在底面的頂點(diǎn)處，概率為；若第1次移動(dòng)到，第2次移動(dòng)仍在底面的頂點(diǎn)處，概率為；若第1次移動(dòng)到，第2次移動(dòng)仍在底面的頂點(diǎn)處，概率為；若第1次移動(dòng)到，第2次移動(dòng)仍在底面的頂點(diǎn)處，概率為；若第1次移動(dòng)到，第2次移動(dòng)仍在底面的頂點(diǎn)處，概率為；根據(jù)互斥事件的概率加法公司，可得，（2）解：當(dāng)時(shí)，表示第次在平面的頂點(diǎn)上的概率，表示第次在平面的頂點(diǎn)上的概率，由底面走到底面的概率為，由上底面走到底面的概率為，所以，可得，因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，可得.21．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，且在軸上方，當(dāng)軸時(shí)，.(1)求雙曲線方程.(2)求證：直線的斜率之比為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的通徑及實(shí)軸計(jì)算即可；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程利用韋達(dá)定理及斜率公式作比計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可得，當(dāng)軸時(shí)，直線，則，又