現(xiàn)代通信原理課件

現(xiàn)代通信原理ModernCommunicationPrinciples10/14/20231信息與通信工程系現(xiàn)代通信原理ModernCommunicationPr第三章隨機信號和噪聲分析10/14/20232信息與通信工程系第三章10/8/20232信息與通信工程本章安排隨機信號和噪聲分析隨機過程的基本概念隨機過程的統(tǒng)計描述平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)與功率譜密度的關系兩個隨機過程之間的統(tǒng)計聯(lián)系正態(tài)隨機過程平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲白色隨機過程通過窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性10/14/20233信息與通信工程系本章安排隨機信號和噪聲分析隨機過程的基本概念10/8/203.1隨機過程的基本概念隨機信號：具有隨機特性（某個參數(shù)或幾個參數(shù)不能預知或不能完全預知）的信號。確定信號是隨機信號的一種特定形式。隨機信號種類：包含信息的信號、各種干擾（人為干擾、天電干擾）、噪聲（熱噪聲、散彈噪聲）隨機信號和噪聲分析方法：統(tǒng)計學隨機過程理論。10/14/20234信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念隨機信號：具有隨機特性（某個參數(shù)3.1隨機過程的基本概念

簡單地說，隨機過程是一種取值隨機變化的時間函數(shù)，它不能用確切的時間函數(shù)來表示。隨機過程兩層含意：“隨機”（指取值不確定，僅有取某個值的可能性）；“過程”（為時間的函數(shù)）。隨機過程是隨時間變化的隨機變量的集合，在任意時刻考察隨機過程的值是一個隨機變量。

隨機過程是一個由全部可能的實現(xiàn)（或樣本函數(shù)）構成的集合，每個實現(xiàn)都是一個確定的時間函數(shù)，而隨機性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個實現(xiàn)是不確定的。用或表示。10/14/20235信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念簡單地說，隨機3.1隨機過程的基本概念

典型隨機過程---接收機噪聲

數(shù)學上可用隨機實驗和樣本空間的概念定義隨機過程：設進行某一隨機實驗E，是它的樣本空間。如果對每一個樣本來說，總可以按某一規(guī)則確定一個時間函數(shù)與之對應，那么，對所有的樣本，就得到一簇時間函數(shù)，并稱此簇時間函數(shù)為隨機過程，其中每個時間函數(shù)稱為該隨機過程的樣本函數(shù)。10/14/20236信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念典型隨機過程---接收機噪聲3.1隨機過程的基本概念

典型隨機過程---噪聲10/14/20237信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念典型隨機過程---噪聲10/8/3.1隨機過程的基本概念

歸納起來，隨機過程具有如下特性：（1）取值的隨機性；（2）樣本的確定性。舉例：是一個隨機變量（在t1時刻觀察隨機過程的值）隨機過程的某一個樣本函數(shù)為時間的確定函數(shù)。為隨機過程。其中，A為常數(shù)，為內均勻分布的隨機變量。10/14/20238信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念歸納起來，隨機過程具有如下特性：3.1隨機過程的基本概念

（1）取值的隨機性t1=0時，（2）樣本的確定性是一個隨機變量;為時間的確定函數(shù)。時，10/14/20239信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念（1）取值的隨機性t1=0時3.1隨機過程的基本概念

隨機過程包含有空間與時間雙重概念。它一方面是各次實現(xiàn)的集合（并列的空間概念），另一方面又是時間的函數(shù)（時間的概念）。不過實踐中，不可能得到空間上并列的各樣本函數(shù)，而只能得到時間很長的一次實現(xiàn)。因此，可從實踐中容易獲得的一次實現(xiàn)來定義隨機過程，如圖所示。隨機過程的實際定義：10/14/202310信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念隨機過程包含有空間與時間3.1隨機過程的基本概念

圖中信號是隨機過程的一次實現(xiàn)，它是隨機取值的時間函數(shù)，在已經過去的時間上取值已經確定，隨機性消失；在未來的時間點上，取值隨機，是一個隨機變量。該隨機變量取值的分布規(guī)律就是隨機過程在該時間上的分布規(guī)律。10/14/202311信息與通信工程系3.1隨機過程的基本概念圖中信號是隨機過程3.2隨機過程的統(tǒng)計描述

3.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)3.2.2隨機過程的數(shù)字特征10/14/202312信息與通信工程系3.2隨機過程的統(tǒng)計描述33.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

對隨機變量的性質：

（1）為不減函數(shù)

（2）

a.概率分布函數(shù)

b.概率密度函數(shù)10/14/202313信息與通信工程系3.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)對隨機變量

（2）；正態(tài)隨機變量標準正態(tài)隨機變量3.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的性質：（1）為非負函數(shù)；（3）時，；

（4）若在處連續(xù)，則。10/14/202314信息與通信工程系（2）

1.一維概率分布函數(shù)2.一維概率密度函數(shù)3.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)對隨機過程時，為隨機變量。

如果存在，則稱為隨機的一維概率密度函數(shù)。10/14/202315信息與通信工程系1.一維概率分布函數(shù)2.一維概率密度函

一維概率分布函數(shù)及一維概率密度函數(shù)描述了隨機過程在固定時刻上的統(tǒng)計特性。解：（其中X

為標準正態(tài)分布的隨機變量）故有,隨機過程的一維概率密度函數(shù)為：3.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

舉例：求隨機過程的一維概率密度函數(shù)。

時，為服從正態(tài)分布隨機變量，

其均值為零，方差為。10/14/202316信息與通信工程系一維概率分布函數(shù)及一維概率密

3.二維概率分布函數(shù)

4.二維概率密度函數(shù)

二維概率分布函數(shù)及二維概率密度函數(shù)描述了隨機過程在任意兩個時刻上的統(tǒng)計特性。3.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

如果存在，則稱為隨機過程的二維概率密度函數(shù)。10/14/202317信息與通信工程系3.二維概率分布函數(shù)4.二維

5.n維概率分布函數(shù)

6.

n維概率密度函數(shù)3.2.1隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)存在，則稱為隨機過程的n維概率密度函數(shù)。如果10/14/202318信息與通信工程系5.n維概率分布函數(shù)6.n維概率密度函數(shù)

對隨機變量a.

均值（數(shù)學期望、一階原點矩）b.

方差（二階原點矩）c.協(xié)方差（對隨機變量X、Y）3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

10/14/202319信息與通信工程系對隨機變量a.均值（數(shù)學期望、一階原點矩）b對隨機過程3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

1.隨機過程的數(shù)學期望（均值）時，為隨機變量。上式中，t取任意值時，得到隨機過程的數(shù)學期望。

為X(t)在t

時刻的一維概率密度函數(shù)。數(shù)學期望X(t

)在t

時刻的隨機變量的均值,它表示了隨機過程在各個孤立時刻上的隨機變量的概率分布中心，由一維概率密度函數(shù)所決定。10/14/202320信息與通信工程系對隨機過程3.2.2隨機過程的數(shù)字特征1.隨機過程的數(shù)

3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

2.隨機過程的方差時，為隨機變量。上式中，t

取任意值時，得到隨機過程的方差。為X(t)在

t時刻的一維概率密度函數(shù)。

方差表示了隨機過程在各個孤立時刻上的隨機變量對均值的偏離程度。由一維概率密度函數(shù)所決定。10/14/202321信息與通信工程系3.2.2隨機過程的數(shù)字特征2.隨機過

3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

J進一步分析，當時，有（平均功率）

隨機過程的均值和方差的含義10/14/202322信息與通信工程系3.2.2隨機過程的數(shù)字特征J進一步分析，

3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

3.隨機過程的自相關函數(shù)

均值和方差，僅描述了隨機過程在孤立時刻上的統(tǒng)計特性，它們不能反映出過程內部任意兩個時刻之間的內在聯(lián)系，如圖所示。

圖中X(t))和Y(t)具有相同的均值和方差，但統(tǒng)計特性明顯不同。X(t)變化快，Y(t)變化慢，即過程內部任意兩個時刻之間的內在聯(lián)系不同或者說過程的自相關函數(shù)不同。

X(t)變化快，表明過程內部任意兩個時刻之間波及小，互相依賴弱，即自相關性弱。而Y(t)變化慢，表明隨機過程內部任意兩個時刻之間波及大，互相依賴強，即自相關性強。10/14/202323信息與通信工程系3.2.2隨機過程的數(shù)字特征3.隨機過程

3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

相關：指隨機過程在某時刻的取值對下一時刻的取值的影響。影響越大，相關性越強，反之，相關性越弱。隨機過程的協(xié)方差函數(shù)隨機過程的自相關函數(shù)10/14/202324信息與通信工程系3.2.2隨機過程的數(shù)字特征相關：指隨機

3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

與的關系隨機過程的協(xié)方差函數(shù)與自相關函數(shù)常記為以下形式：其中，t為考察的起始時刻，為考察的時間間隔。

綜上所述，隨機過程可以用均值、方差及自相關函數(shù)等數(shù)字特征來描述。在實際系統(tǒng)中遇到的隨機過程，其數(shù)字特征的表達往往十分簡潔，因此，用數(shù)字特征來描述隨機過程是行之有效的方法。10/14/202325信息與通信工程系3.2.2隨機過程的數(shù)字特征3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

例3.1設隨機過程為，試求隨機過程的均值、方差及自相關函數(shù)。式中，是一個隨機變量，它在范圍內服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為

10/14/202326信息與通信工程系3.2.2隨機過程的數(shù)字特征例3.1設隨機過程為

3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

解：均值為方差為10/14/202327信息與通信工程系3.2.2隨機過程的數(shù)字特征解：均值為方差自相關函數(shù)為

3.2.2隨機過程的數(shù)字特征

10/14/202328信息與通信工程系自相關函數(shù)為3.2.2隨機3.3平穩(wěn)隨機過程

隨機過程類型：獨立隨機過程馬爾可夫（Markov）過程獨立增量過程平穩(wěn)隨機過程等其中平穩(wěn)隨機過程是應用廣泛的一類隨機過程。10/14/202329信息與通信工程系3.3平穩(wěn)隨機過程隨機過程

1.定義3.3.1平穩(wěn)隨機過程的定義及其含義

平穩(wěn)隨機過程是指過程的任意維概率密度函數(shù)與時間的起點無關的隨機過程。即滿足實際中，判斷隨機過程是否平穩(wěn)，通常不是去找過程的高維分布，而是通過產生的環(huán)境條件來判斷。如環(huán)境條件不隨時間的變化而改變，則該過程就認為是平穩(wěn)的。一般地說，通信系統(tǒng)中遇到的隨機信號和噪聲都是平穩(wěn)隨機過程。2.含義平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的變化而改變。10/14/202330信息與通信工程系1.定義3.3.1平穩(wěn)隨機過程

1.一維概率密度函數(shù)3.3.2平穩(wěn)隨機過程的一維及二維概率密度函數(shù)上式中，令，有

由上式可見，平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度函數(shù)與考察時刻無關。即平穩(wěn)隨機過程在各個孤立時刻服從相同的概率分布。10/14/202331信息與通信工程系1.一維概率密度函數(shù)3.3.2

2.二維概率密度函數(shù)上式中，令，有

式中，，為兩個考察時刻之間的時間間隔。

由上可見，平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度函數(shù)與時間的起點無關，而僅與時間間隔有關，是的函數(shù)。3.3.2平穩(wěn)隨機過程的一維及二維概率密度函數(shù)10/14/202332信息與通信工程系2.二維概率密度函數(shù)上式中，令

3.3.3平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征1.平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學期望（均值）2.平穩(wěn)隨機過程的方差

（常數(shù)）

（常數(shù)）10/14/202333信息與通信工程系3.3.3平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征1.平穩(wěn)隨機過程

3.平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)式中，為考察隨機過程的時間間隔。

3.3.3平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征

由上式可知，平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)僅與時間間隔有關，是的函數(shù)，而與考察時間起點無關。10/14/202334信息與通信工程系3.平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)式中，

3.3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)主要性質（一）

（1）是的偶函數(shù)，即（2）自相關函數(shù)具有遞減特性。且當時，有最大值。證明：由于，令，有對平穩(wěn)隨機過程來說，故，有10/14/202335信息與通信工程系3.3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質

平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)主要性質（二）

（3），即為平穩(wěn)隨機過程的平均功率。（4），即為平穩(wěn)隨機過程的直流功率。

由于證明：

，與之間的相關性消失，即它們互相獨立。

所以

（5），即為平穩(wěn)隨機過程的方差。由方差表示式，有：3.3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質10/14/202336信息與通信工程系平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)主要性質（二）（

隨機過程的數(shù)學期望及方差與時間無關，自相關函數(shù)僅與時間間隔有關。隨機過程滿足任意維概率密度函數(shù)與時間的起點無關。

狹義平穩(wěn)隨機過程一定是廣義平穩(wěn)隨機過程，但反之不一定成立。（正態(tài)隨機過程例外）3.3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質狹義平穩(wěn)隨機過程（窄平穩(wěn)隨機過程）：廣義平穩(wěn)隨機過程（寬平穩(wěn)隨機過程）：10/14/202337信息與通信工程系隨機過程的數(shù)學期望及方

1.隨機過程的時間平均3.3.5平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經性（遍歷性）集合平均（統(tǒng)計平均）：對隨機過程所有的樣本函數(shù)求統(tǒng)計平均。時間平均：對隨機過程的一個樣本函數(shù)求平均。時間均值，記為或，定義為時間方差，記為或，定義為10/14/202338信息與通信工程系1.隨機過程的時間平均3.3.5

3.3.5平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經性（遍歷性）時間自相關函數(shù)，記為或，定義為對一般平穩(wěn)隨機過程，其數(shù)字特征往往可以用過程的一個樣本函數(shù)的時間平均來代替，即滿足以下關系：2.平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經性

10/14/202339信息與通信工程系3.3.5平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經性（遍

3.3.5平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經性（遍歷性）對隨機過程中的任意一實現(xiàn)（樣本函數(shù)）來說，它好像經歷了隨機過程中所有可能的狀態(tài)一樣。

“各態(tài)歷經性”將求隨機過程數(shù)字特征時的集合平均（統(tǒng)計平均簡化為一個樣本函數(shù)的時間平均了。例如，對各態(tài)歷經過程來說，由于“各態(tài)歷經性”（或“遍歷性”）的含義：故樣本函數(shù)的平均功率即為隨機過程的平均功率。10/14/202340信息與通信工程系3.3.5平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)

滿足各態(tài)歷經性條件：注意：具有各態(tài)歷經性的隨機過程一定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定都具有各態(tài)歷經性。一般來說，通信系統(tǒng)中遇到的隨機信號或噪聲均能滿足該條件，因此以后將它們都視為各態(tài)歷經平穩(wěn)隨機過程。3.3.5平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經性（遍歷性）10/14/202341信息與通信工程系滿足各態(tài)歷經性條件：注意：具有

3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系----維納—欣欽定理維納—欣欽(Wiener-Khintchine)定理平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即它們之間有以下關系：

式中，，為隨機過程的功率譜密度函數(shù)。注:NorbertWiener(1894-1964),AmericanMathematicianA.I.Khintchine(1894-1959),GermanMathematician10/14/202342信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系-

試求該隨機過程的功率譜密度及平均功率。例3.2已知平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)為，解：由維納—欣欽定理，隨機過程功率譜密度為3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系----維納—欣欽定理平均功率為10/14/202343信息與通信工程系試求該隨機過程的功率譜密度及

3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系----維納—欣欽定理為定量描述平穩(wěn)隨機過程的相關性與頻帶之間的關系，常使用自相關時間和等效帶寬的概念。它們的含義如下：1.自相關時間由于，故因而的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時，對應的矩形寬度值的一半。10/14/202344信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密

3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系----維納—欣欽定理2.等效帶寬由于，故因而的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時，對應的矩形寬度值的一半。10/14/202345信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系---

3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系----維納—欣欽定理3.自相關時間與等效帶寬之間的關系這說明在相同的情況下，自相關時間越小，過程占有頻帶越寬；相反，自相關時間越大，過程占有頻帶越窄。對不同的隨機過程，可通過它們各自的自相關時間及等效帶寬來比較它們的相關性。10/14/202346信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密

3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密度的關系----維納—欣欽定理極端情況1：非自相關過程。即自相關性最弱，占有帶寬最大（無窮寬），包含有自零至無窮大的所有頻譜分量，這如同白光中包含所有可見光譜一樣，所以，非自相關過程又稱為白色隨機過程。自相關函數(shù)為功率譜密度為自相關函數(shù)為極端情況2：直流信號。功率譜密度為10/14/202347信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)與功率譜密

3.5兩個隨機過程之間的統(tǒng)計聯(lián)系

實際中，常需要研究兩個或多個隨機過程同時出現(xiàn)的情況。例如，在信號接收時，接收到的信號往往是有用信號與噪聲的混合信號，即

這里，有用信號x(t)與噪聲n(t)都是隨機過程。因此有必要研究多個隨機過程之間的聯(lián)合統(tǒng)計特性。這里僅討論兩個隨機過程之間的統(tǒng)計聯(lián)系。10/14/202348信息與通信工程系3.5兩個隨機過程之間的統(tǒng)計聯(lián)系

3.5.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)

則稱為X(t)、Y(t)的

n+m維聯(lián)合概率密度函數(shù)。X(t)

和Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)X(t)

和Y(t)

的n+m

維聯(lián)合概率密度函數(shù)如果10/14/202349信息與通信工程系3.5.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)

X(t)

和Y(t)統(tǒng)計獨立X(t)

和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)若隨機過程X(t)

和Y(t)任意n+m

維聯(lián)合概率密度函數(shù)與時間的起點無關，則稱隨機過程X(t)

和Y(t)是平穩(wěn)相聯(lián)系的。若隨機過程X(t)

和Y(t)的各時間平均值等于各自的統(tǒng)計平均值，則稱隨機過程X(t)

和Y(t)具有聯(lián)合各態(tài)歷經性。X(t)

和Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經性3.5.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)10/14/202350信息與通信工程系X(t)和Y(t)統(tǒng)計獨立X(t)

3.5.2互相關函數(shù)隨機過程X(t)

和Y(t)的互相關函數(shù)如果X(t)

和Y(t)都是平穩(wěn)隨機過程，且是平穩(wěn)相聯(lián)系的，則

如果X(t)

和Y(t)是統(tǒng)計獨立的，則有10/14/202351信息與通信工程系3.5.2互相關函數(shù)隨機過程X(t)

X(t)

和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)

由X(t)

和Y(t)統(tǒng)計獨立的條件，可知如果X(t)

和Y(t)統(tǒng)計獨立，則它們一定是互不相關的。X(t)

和Y(t)互不相關互不相關與統(tǒng)計獨立的關系：兩個隨機過程如果統(tǒng)計獨立，則它們一定互不相關。但互不相關的兩個隨機過程，不一定統(tǒng)計獨立。（正態(tài)隨機過程例外）3.5.2互相關函數(shù)10/14/202352信息與通信工程系X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)

X(t)

和Y(t)互相關函數(shù)的性質（對平穩(wěn)相聯(lián)系的隨機過程X(t)

和Y(t)

來說）3.5.2互相關函數(shù)互譜密度函數(shù)10/14/202353信息與通信工程系X(t)和Y(t)互相關函數(shù)的性質（對

x(t)和n(t)均為平穩(wěn)隨機過程，且平穩(wěn)相聯(lián)系。例：考慮有用信號與噪聲之和S(t)自相關函數(shù)為于是3.5.2互相關函數(shù)通常認為x(t)與n(t)之間是統(tǒng)計獨立的，且故有10/14/202354信息與通信工程系x(t)和n(t)均為平穩(wěn)隨機過程，

正態(tài)隨機過程又稱為高斯(Gaussian)隨機過程，是一種常見而又重要的隨機過程。3.6正態(tài)隨機過程典型的正態(tài)隨機過程：通信系統(tǒng)中的噪聲。3.6.1正態(tài)隨機過程的定義3.6.2正態(tài)隨機過程的性質10/14/202355信息與通信工程系正態(tài)隨機過程又稱為高斯

3.6.1正態(tài)隨機過程的定義

如果隨機過程任意維概率密度函數(shù)都服從正態(tài)分布，則稱此隨機過程為正態(tài)隨機過程。其n維概率密度函數(shù)為式中，為在時刻的均值；為在時刻的方差；為歸一化協(xié)方差矩陣行列式，即10/14/202356信息與通信工程系3.6.1正態(tài)隨機過程的定義如

3.6.1正態(tài)隨機過程的定義其中，為歸一化協(xié)方差系數(shù)；為

為行列式中元素的代數(shù)余子式。10/14/202357信息與通信工程系3.6.1正態(tài)隨機過程的定義其中，

3.6.1正態(tài)隨機過程的定義

標準正態(tài)分布：，正態(tài)隨機過程一維概率密度函數(shù)：10/14/202358信息與通信工程系3.6.1正態(tài)隨機過程的定義標準正態(tài)分布

3.6.2正態(tài)隨機過程的性質1.正態(tài)隨機過程如果是廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的。2.正態(tài)隨機過程的線性變換仍是正態(tài)隨機過程。參考下式參考下式中心極限定理為正態(tài)隨機過程。10/14/202359信息與通信工程系3.6.2正態(tài)隨機過程的性質1.正態(tài)隨機

3.6.2正態(tài)隨機過程的性質3.如果兩個正態(tài)隨機過程互不相關，則它們也統(tǒng)計獨立。以X(t)、Y(t)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為例（互不相關）歸一化協(xié)方差系數(shù)10/14/202360信息與通信工程系3.6.2正態(tài)隨機過程的性質3.如果兩

3.6.2正態(tài)隨機過程的性質

由于10/14/202361信息與通信工程系3.6.2正態(tài)隨機過程的性質由于10/8

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)對確定信號

對隨機過程

設輸入隨機過程是平穩(wěn)的，輸出隨機過程是否也平穩(wěn)？數(shù)字特征又怎樣？問題：10/14/202362信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)1.輸出隨機過程數(shù)學期望

由于是平穩(wěn)的，所以，故2.輸出隨機過程的自相關函數(shù)（）10/14/202363信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)1.輸出隨機過程數(shù)

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)式中，

為輸入平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)。于是有

上式表明，輸出隨機過程自相關函數(shù)僅為時間間隔的函數(shù)，而與時間起點無關。因此，輸出隨機過程是平穩(wěn)隨機過程，至少是廣義平穩(wěn)的。10/14/202364信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)式中，

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)3.輸出隨機過程的功率譜密度由維納—欣欽定理令10/14/202365信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)3.輸出

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)例3.3設功率譜密度為（常數(shù)）的白色隨機過程（白噪聲）通過帶寬為B的理想低通濾波器，如圖所示。試求輸出隨機過程的功率譜密度、自相關函數(shù)及噪聲功率。解：理想低通濾波器的傳輸特性為

故，輸出隨機過程的功率譜密度為10/14/202366信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)例3.3設功率譜密

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出隨機過程的自相關函數(shù)為10/14/202367信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出隨機

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出噪聲的功率為輸出隨機過程的等效帶寬為：自相關時間為：10/14/202368信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出噪聲

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)例3.4設均值為零，功率譜密度為的高斯（正態(tài)）白噪聲通過如圖所示的RC低通濾波器，試求輸出隨機過程的一維概率密度函數(shù)。解：由性質可知，高斯白噪聲通過線性系統(tǒng)后輸出過程仍然是高斯分布的隨機過程。RC低通濾波器的傳輸特性為輸出隨機過程的均值為10/14/202369信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)例3.4

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出隨機過程的功率譜密度輸出隨機過程的自相關函數(shù)輸出隨機過程的方差（或功率）故，輸出隨機過程的一維概率密度函數(shù)為10/14/202370信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)輸出隨機

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)例3.5

設平穩(wěn)隨機過程通過如圖所示的乘法器，若已知隨機過程的功率譜，試求乘法器輸出響應的功率譜。解：乘法運算是非線性變換過程，因此，為得到輸出功率譜，可先求輸出響應自相關函數(shù)，再進行傅立葉變換。10/14/202371信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)例3.5

3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)由上式可見，輸出隨機過程自相關函數(shù)與時間有關，因此不是平穩(wěn)隨機過程。式中，為輸入隨機過程自相關函數(shù)。對非平穩(wěn)隨機過程求功率譜時，應先將其自相關函數(shù)求時間平均，再進行傅立葉變換。對求時間平均，輸出隨機過程功率譜為結果為10/14/202372信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲加性噪聲（獨立于信號而存在，它始終干擾著有用信號的傳輸。）噪聲乘性噪聲（與信號本身密切相關，它可以通過合理地設計信號及系統(tǒng)特性等措施來消除）加性噪聲外部噪聲（由信道引入，包括人為噪聲、工業(yè)干擾和天電噪聲。）內部噪聲（由通信設備內部產生，它對信號的影響最為嚴重，是研究的重點。）

內部噪聲通常認為是白噪聲，是一種平穩(wěn)隨機過程。理想的白噪聲服從高斯分布，一般稱為加性高斯白噪聲（AWGN）。10/14/202373信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲加性

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲

理想白噪聲可認為是由大量寬度為無窮窄的脈沖隨機疊加而成的，如圖所示。如前所述，白噪聲是一個非自相關的隨機過程，它包含有自零至無窮大的所有頻譜分量，這類似于光學中包括有全部可見光譜的白光。白噪聲功率譜密度是一個常數(shù)，為10/14/202374信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲由維納—欣欽定理，可得白噪聲自相關函數(shù)為

理想白噪聲是不存在的。通常在工程實踐中遇到的噪聲是帶限的，帶限噪聲或帶內功率譜分布不均勻的噪聲稱為有色噪聲。但當帶限噪聲功率譜均勻分布的頻帶范圍遠遠大于系統(tǒng)的工作帶寬時，就可以認為該噪聲具有白噪聲特性。10/14/202375信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲由維納—

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲通信系統(tǒng)中典型的白噪聲：散彈噪聲、熱噪聲散彈噪聲：由通信設備中有源器件內部的載流子或電子發(fā)射的不均勻性引起的一種起伏過程。散彈噪聲功率譜密度10/14/202376信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲通信系統(tǒng)

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲熱噪聲（電阻熱噪聲）：由通信設備中電阻類器件（如天線）內部的電子熱運動（布朗運動）引起的一種起伏過程。熱噪聲的電壓功率譜密度為

式中，

為波爾茲曼常數(shù)；T為環(huán)境的絕對溫度。10/14/202377信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲熱噪聲（電阻熱

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲等效電流功率譜密度為電壓源的噪聲功率為噪聲電壓源的均方根電壓值為同理，電流源的噪聲功率為噪聲電流源的均方根電流值為10/14/202378信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲等效電流

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲線性網絡中包含電阻類元件時熱噪聲功率譜計算圖中a、b點之間的電壓熱噪聲的功率譜為式中，為電阻的電壓功率譜密度。10/14/202379信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲線性網絡

3.9白色隨機過程通過窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲窄帶線性系統(tǒng)傳輸特性白噪聲窄帶線性系統(tǒng)窄帶噪聲功率譜密度窄帶噪聲

10/14/202380信息與通信工程系3.9白色隨機過程通過窄帶線性系統(tǒng)-

例：理想窄帶系統(tǒng)輸出功率譜密及自相關函數(shù)。0，其它功率譜密度窄帶噪聲自相關函數(shù)3.9白色隨機過程通過窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲自相關函數(shù)10/14/202381信息與通信工程系例：理想窄帶系統(tǒng)輸出功率譜密0，其

3.9.1窄帶噪聲的波形特征

白噪聲具有無窮的帶寬，而窄帶線性系統(tǒng)僅在中心頻率附近允許白噪聲通過。因此，白噪聲通過窄帶線性系統(tǒng)時，實際上是窄帶線性系統(tǒng)對輸入白噪聲的選頻過程。其結果是輸出噪聲中僅有中心頻率附近的頻率分量，因此窄帶噪聲波形是一個頻率近似為f0

，包絡和相位緩慢變化的正弦波。窄帶噪聲波形的“準正弦波”特性10/14/202382信息與通信工程系3.9.1窄帶噪聲的波形特征

窄帶噪聲時域表示式（1）3.9.1窄帶噪聲的波形特征顯然，由于噪聲的窄帶特性，包絡和相位的變化一定比載波的變化要緩慢得多。式中，和分別為窄帶噪聲的包絡和相位，它們都是隨機過程。窄帶噪聲時域表示式（2）（包絡和相位形式）10/14/202383信息與通信工程系窄帶噪聲時域表示式（1）3.9.1窄帶

式中，同相分量和正交分量在性質上都是具有低通特性的隨機過程。---同相分量---正交分量（同相、正交分量形式）由上可知：窄帶噪聲的統(tǒng)計特性可以由包絡和相位或同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性確定。反之，當已知了窄帶噪聲的統(tǒng)計特性時，其包絡和相位或同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性也可以確定下來。3.9.1窄帶噪聲的波形特征10/14/202384信息與通信工程系式中，同相分量和正交分量在性質上都是具有

分析前提：假設輸入白噪聲是均值為零的平穩(wěn)高斯隨機過程，由3.7節(jié)知，窄帶噪聲也是均值為零的平穩(wěn)高斯過程。3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性一、同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性同相、正交分量形式：1.均值由窄帶噪聲的均值為零及平穩(wěn)特性，對任意的時間，都有上式成立，因此得同相分量和正交分量是均值為零的隨機過程。10/14/202385信息與通信工程系分析前提：假設輸入白噪聲是均值為零的平

在t1及t2時刻，同相分量和正交分量是服從高斯分布的隨機變量。令及，得由于是高斯隨機過程，因此，在任意時刻，都是高斯隨機變量。2.自相關函數(shù)

3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性10/14/202386信息與通信工程系在t1及t2時刻，同相分量和正交分

3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性10/14/202387信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)

由窄帶噪聲的平穩(wěn)特性，有故同相分量和正交分量都是平穩(wěn)隨機過程。結論：同相分量和正交分量都是均值為零服從高斯分布

的平穩(wěn)隨機過程。3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性10/14/202388信息與通信工程系由窄帶噪聲的平穩(wěn)特性，有故同相分量和正交

重寫自相關函數(shù)式為上式在及時，可寫為以下形式3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性10/14/202389信息與通信工程系重寫自相關函數(shù)式為上式在

上式表明，窄帶噪聲和它的同相分量及正交分量具有相同的方差或功率，即上式中，當時，可得由互相關函數(shù)的性質，有3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性10/14/202390信息與通信工程系上式表明，窄帶噪聲和它的

同理可得由上可知，和是奇函數(shù)，因此有上式表明，同相分量及正交分量在同一時刻是互不相關的隨機過程，因而，由正態(tài)（高斯）隨機過程的性質可知，它們也是統(tǒng)計獨立的隨機過程。

綜上所述，窄帶噪聲的同相分量及正交分量是均值為零，統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差或功率相同，且等于窄帶噪聲的方差或功率。3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性10/14/202391信息與通信工程系同理可得由上可知，

3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性二、包絡和相位的統(tǒng)計特性同相和正交分量一維概率密度函數(shù)它們的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中，為窄帶噪聲的方差（功率）。10/14/202392信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)

利用概率論中的雅可比行列式，可以由導出包絡和相位的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中，為雅可比(Jacobi)行列式，且

（）3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性10/14/202393信息與通信工程系利用概率論中的雅可比行列式，可以由導出包絡和相

3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性代入雅可比(Jacobi)行列式，得利用概率論中求邊際分布的方法，可分別得到包絡和相位的一維概率密度函數(shù)上式表明，窄帶噪聲的包絡服從瑞利（Rayleigh）分布。10/14/202394信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)

3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性上式表明，窄帶噪聲的相位服從均勻分布。包絡和相位分布特性10/14/202395信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)

3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性由于，因此，包絡和相位是統(tǒng)計獨立的（一維分布）。服從瑞利分布的窄帶噪聲的包絡特點：（1）時，出現(xiàn)最大值。

（2）包絡的期望值為;中位值：累積分布概率為50%時的包絡值，即滿足下式的值：（3）包絡的中位值為。10/14/202396信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)

3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性（4）包絡的均方值為;

（5）包絡的方差為。關鍵參數(shù)：（方差）=窄帶噪聲的功率10/14/202397信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡和相位統(tǒng)計特性（4）包