數(shù)學(xué)建模競賽 鉆井布局

暑期培訓(xùn)數(shù)學(xué)建模競賽精選ppt

一.問題提出勘探部門在某地區(qū)找礦。初步勘探時期已零散地在若干位置上鉆井，取得了地質(zhì)資料。進(jìn)入系統(tǒng)勘探時期后，要在一個區(qū)域內(nèi)按縱橫等距的網(wǎng)格點(diǎn)來布置井位，進(jìn)行“撒網(wǎng)式”全面鉆探。由于鉆一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計的井位與原有井位重合（或相當(dāng)接近），便可利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井。

(1999)鉆井布局精選ppt因此，應(yīng)該盡量利用舊井，少打新井，以節(jié)約鉆探費(fèi)用。比如:鉆一口新井的費(fèi)用為500萬元

設(shè)平面上有n個點(diǎn)Pi，其坐標(biāo)為（ai,bi）i=1，2，…,n,表示已有的個井位。新布置的井位是一個正方形網(wǎng)格N的所有結(jié)點(diǎn)（所謂“正方形網(wǎng)格”是指每個格子都是正方形的網(wǎng)格；結(jié)點(diǎn)是指縱線和橫線的交點(diǎn)）。,利用舊井資料的費(fèi)用為10萬元，則利用一口舊井就節(jié)約費(fèi)用490萬元。精選ppt假定每個格子的邊長（井位的縱橫間距）都是1單位（比如100米）。整個網(wǎng)格是可以在平面上任意移動的。若一個已知點(diǎn)Pi點(diǎn)與某個網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)Xi的距離不超過給定誤差ε（=0.05單位），則認(rèn)為Pi處的舊井資料可以利用，不必在結(jié)點(diǎn)Xi處打新井。為進(jìn)行輔助決策，勘探部門要求我們研究如下問題：

1.假定網(wǎng)格的橫向和縱向是固定的（比如東西向和南北向），精選ppt

并假定距離誤差是沿橫向和縱向計算的;即要求可利用Pi點(diǎn)與相應(yīng)結(jié)點(diǎn)Xi的橫坐標(biāo)之差(取絕對值)及縱坐標(biāo)之差(取絕對值)均不超過ε.在平面上平行移動網(wǎng)格N，使可利用的舊井?dāng)?shù)盡可能大。試提供一種數(shù)值計算方法，并對下面的數(shù)值例子用計算機(jī)進(jìn)行計算。

2.在問題1.)的基礎(chǔ)上，考慮網(wǎng)格的橫向和縱向不固定（可以旋轉(zhuǎn)）的情形，給出算法及計算結(jié)果。精選ppt

I123456789101112

aI0.501.413.003.373.404.724.725.437.578.388.989.50bI2.003.501.503.515.502.006.244.102.014.503.410.80

二.名詞和符號說明

1.取整運(yùn)算.[x]=不大于x的最大整數(shù).[x]=INT(X)r(x)=[x+].(x按4舍5入規(guī)則取整)數(shù)值例子:n=12個點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示精選ppt

按4舍5入取整的小數(shù)部分

2.)距離概念.

①縱橫距離:給定兩點(diǎn)P(a,b)及X(x,y)d(P,X)=max

②歐氏距離:

3.)記號:

x的小數(shù)部分.精選ppt

①代表題設(shè)誤差,即0.05單位②第i口舊井所在的點(diǎn).其坐標(biāo).

為③代表附近的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn),其坐標(biāo)為.

④(s,t)網(wǎng)格離原點(diǎn)最近的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo).

⑤網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)的角度.精選ppt

三.問題分析與要求

①如果一個已知點(diǎn)與某個網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)距離不超過給定誤差

(0.05)單位,則認(rèn)為處的舊井資料可以利用.因此,在縱橫(或歐氏)距離定義下,可采用以下兩種處理方法:

ⅰ)以為中心,2單位為邊長作一精選ppt

個正方形(或半徑為的圓).若網(wǎng)格在平移過程中,網(wǎng)格中的某個結(jié)點(diǎn)落在以為中心的正方形(或圓)的閉區(qū)域上,則可以認(rèn)為可以利用舊井的相應(yīng)資料.

ⅱ)以為中心,2單位為邊長作一個正方形(或半徑為的圓).若網(wǎng)格在平移過程中,落在以為中心的精選ppt正方形(或圓)的閉區(qū)域上,則可以認(rèn)為可以利用舊井的相應(yīng)資料.

注:

這兩種方法分別對應(yīng)于網(wǎng)格移動和坐標(biāo)平移,顯然它們是等價的.

②對問題1.由于精度要求為0.01(=0.05)且網(wǎng)格可上下、左右平行移動.因此:可按縱橫坐標(biāo)方向分別平移

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100次.對區(qū)域中的所有12個舊井點(diǎn)進(jìn)行搜索,記錄可利用的舊井?dāng)?shù).最后比較這100×100次平移中哪一次可利用的舊井?dāng)?shù)最大,則該網(wǎng)格位置為最優(yōu).③對問題2.以某一角度為步長轉(zhuǎn)動網(wǎng)格,在每一角度下,固定網(wǎng)格方向,按問題1.的方法檢驗(yàn)最多有多少舊精選ppt

井可以利用.再比較所有搜索過的角度下可利用的舊井?dāng)?shù),即可得允許轉(zhuǎn)動時可利用最多的舊井?dāng)?shù).

注:ⅰ)由于兩點(diǎn)間的縱橫距離會因轉(zhuǎn)動而改變,故問題2采用歐氏距離.

ⅱ)由于方格的對稱性,只需從轉(zhuǎn)到即可.精選pptⅲ)為保證旋轉(zhuǎn)小角度后,點(diǎn)的變動不超過精度=0.01,取步長.R為距離最遠(yuǎn)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離.本題中求出.需要將[0,]分為2,000份,因此,本題要進(jìn)行2000次問題一的計算.

④題目要求就網(wǎng)格的方向固定或不固定兩種情況,計算可利用的最大精選ppt

舊井?dāng)?shù),并給出相應(yīng)的算法.

四.假設(shè).①.地形對誤差無影響,無須考慮地形這一因素.②.網(wǎng)格充分大,給出的舊井均在所定勘探區(qū)域內(nèi),舊井位點(diǎn)的坐標(biāo)可記為.③網(wǎng)格N的鉛垂網(wǎng)線,水平網(wǎng)線分別與兩坐標(biāo)軸平行.

精選ppt即:網(wǎng)格N可由該網(wǎng)格中的任何一個

結(jié)點(diǎn)所唯一確定.

五.模型的建立與求解.設(shè)對給定的直角坐標(biāo)系oxy,已知點(diǎn)pi的坐標(biāo)為(ai,bi),(1≤i≤n)在網(wǎng)格N中離原點(diǎn)o最近的結(jié)點(diǎn)為(s,t),則|S|≤1/2,|t|≤1/2,且網(wǎng)格N的任一結(jié)點(diǎn)可表示為(s+m,t+n),其m,n均為整數(shù).精選ppt

結(jié)點(diǎn)(s,t)可看作網(wǎng)格N上的一個參照點(diǎn),它可以在單位正方形內(nèi)移動.于是網(wǎng)格N的設(shè)計參數(shù)為s,t.精選ppt

1.問題1的求解.我們要弄清楚,對給定的s及t,如何計算可利用的舊井?dāng)?shù)目f(s,t).由于只有兩個變量,我們可以用數(shù)值計算方法,并借助計算機(jī),用列表法把二元函數(shù)f(s,t)的值計算出來,然后求其最大值.下面是一種計算方案.精選ppt

已知點(diǎn)pi與結(jié)點(diǎn)xi的距離誤差是沿坐標(biāo)軸方向的，即要求pi與xi的橫（縱）坐標(biāo)之差的絕對值≤ε.精選ppt網(wǎng)格移動坐標(biāo)平移精選ppt

即:當(dāng)且僅當(dāng)正方形鄰域中存在結(jié)點(diǎn)(s+m,t+n)時,是可利用的.精選ppt

當(dāng)(1)時布爾變量否則可利用的舊井?dāng)?shù):

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問題1可歸結(jié)為如下的最優(yōu)化問題:目標(biāo)函數(shù):=s.t.精選ppt

以上模型可用計算機(jī)求其數(shù)值解.比如取0.01為步長,將s及t的取值范圍各自等分為100份,然后在100×100個點(diǎn)中求出f(s,t)的值,并從中直接比較求出最優(yōu)解來.在計算f(s,t)時只要對滿足不等式的i進(jìn)行計數(shù).

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對給出的數(shù)值例子,其計算結(jié)果為:maxf(s,t)=4,其中:s=0.4,t=0.5,可利用的井號為2,4,5,10.

2.問題2的求解.

①首先考慮用歐氏距離表示誤差而網(wǎng)格N不旋轉(zhuǎn)的情形.顯然,當(dāng)且僅當(dāng)園形鄰域精選ppt

內(nèi)存在結(jié)點(diǎn)(s+m,t+n)時,已知點(diǎn)是可利用的.此時,記布爾變量由于網(wǎng)格N不旋轉(zhuǎn),且正方形鄰域包含了園形鄰域即:否則精選ppt..精選ppt

我們可以進(jìn)一步檢驗(yàn)該結(jié)點(diǎn)是否落入園形鄰域中.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,布爾變量即:當(dāng)且僅當(dāng)

(2)否則精選ppt

是可利用的.

注:用這種方法計算出所有的().(此例:n=12)由f(s,t)=得到s,t給定時的函數(shù)值f(s,t).由此可得以上問題的數(shù)學(xué)模型:目標(biāo)函數(shù)=max精選ppt

s.t.結(jié)點(diǎn):精選ppt

②考慮用歐氏距離表示誤差而網(wǎng)格N可以旋轉(zhuǎn)的情形.欲求的網(wǎng)格N的橫向和縱向可用新坐標(biāo)系0x’y’的橫軸和縱軸表示,其中ox’軸與ox軸的夾角為,

精選ppt根據(jù)坐標(biāo)變換公式,點(diǎn)pi在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為………(3)

注:坐標(biāo)原點(diǎn)o不一定是網(wǎng)格N的結(jié)點(diǎn).我們設(shè)計在坐標(biāo)系ox’y’中,網(wǎng)格N中離原點(diǎn)最近的結(jié)點(diǎn)為(s,t),精選ppt其中:|s|≤,|t|≤這樣一來,網(wǎng)格N的設(shè)計參數(shù)為φ,s,t.由于方格的對稱性，φ只需從即可，