材料力學(xué)《第三章》扭曲

§9-1引言§9-2動力傳遞與扭矩§9-3切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律§9-4圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力§9-5極慣性矩與抗扭截面系數(shù)§9-6圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件§9-7圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件*§9-8非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介第九章扭轉(zhuǎn)一、

工程實例§9-1引言汽車傳動軸、轉(zhuǎn)向盤軸；機床傳動軸；攻螺紋絲錐；行車傳動軸；船舶推進軸等。O軸：工程中以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件。AOBgBAf二、特點受力：兩端受一對大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作

用平面與桿軸線垂直；變形：各橫截面繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。扭轉(zhuǎn)角f：任意兩橫截面轉(zhuǎn)過的角度。如：fABMM一、軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系式中：P—功率，千瓦(kW)

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分(r/min)

M—外力偶矩，牛頓·米(N·m)§9-2動力傳遞與扭矩可知：P一定時，n

，

M

工程實際中常已知軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速，需換算成作用在軸上的外力偶矩：如：一萬噸輪，P=7060

kW，n=119

r/min，則：mmx二、扭矩及扭矩圖T1.扭矩Mmm規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的符號：截面法：MM設(shè)橫截面上的內(nèi)力偶矩為T：SMx=0T–M=0∴

T=M稱T為扭矩

，為橫截面上內(nèi)力的合力偶矩。

2.扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化情況的圖線。BCAD例1已知一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入PA=500kW，

從動輪輸出PB=150kW，PC=150kW，PD=200kW，試繪

制軸的扭矩圖。nMB

MC

MA

MD解：(1)計算外力偶矩BCADMB

MC

MA

MD(2)各段扭矩n112233BC段：截面1-1B11MBT1SMx=0T1

+MB

=0∴

T1

=–MB=–4.775kN·m

CA段：截面2-2SMx=0T2

+MB

+MC

=0∴

T2

=–MB–MC=–9.55kN·m

AD段：截面3-3SMx=0T3

–MD

=0∴

T3

=MD=6.336kN·m

BC22T2MBMCD33T3MD(3)繪制扭矩圖∴CA段為危險截面：xT4.7759.556.336BCADMB

MC

MA

MDBACD|T|max

=9.55kN·m

+--T1

=–4.775kN·m

T2

=–9.55kN·m

T3

=6.336kN·m

薄壁圓筒：R0：為圓筒平均半徑。一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力薄壁圓筒表面作圓周線，縱向線，形成小矩形。§9-3切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實驗：壁厚d≤R0/10兩端加外力偶矩M，使薄壁圓筒產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。(1)圓周線形狀、大小、

間距不變，僅繞軸線

相對轉(zhuǎn)動；推知：實驗現(xiàn)象：(2)縱向線傾斜了

角；(3)矩形abcd變成了平行

四邊形a'b'c'd'。(1)過半徑的縱向截面上無正應(yīng)力；(2)橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。abcda'b'c'd'截面法：取橫截面m-m分析

A0：為平均半徑處圓的面積?！邎A周各點對稱于圓心，沿圓周各點

切應(yīng)力

相等，方向與半徑垂直?！遜<<R0，切應(yīng)力

沿壁厚均布。

∴橫截面上各點切應(yīng)力

相等，方

向與半徑垂直。取微面積：dA=

d·R0dqdq微內(nèi)力：

dA=

d·R0dq對圓心微力矩：dT=

dA·R0=

d·R02dq合力偶矩即為橫截面上的扭矩：

dAacdbdxdy

'

'二、純剪切與切應(yīng)力互等定理取微小單元體abcd：左、右側(cè)面(橫截面)：

合力：ddy其力偶矩：(ddy)dx上、下底面(縱向截面)：

'合力：

'ddx其力偶矩：(

'ddx)dySMz=0(

'ddx)dy

–(ddy)dx

=0∴

'

=

切應(yīng)力互等定理：物體內(nèi)通過任意一點的兩相互垂直截面上切

應(yīng)力必成對存在，且數(shù)值相等，方向相反，

兩者都垂直于兩截面的交線，方向同時指向

或背離這一交線。純剪切應(yīng)力狀態(tài)：單元體無正應(yīng)力，只受切應(yīng)力作用。acdbdxdy三、剪切胡克定律切應(yīng)變

g：單元體直角的改變量。單位：rad(弧度)由試驗可得-g

曲線?？芍寒?dāng)

≤

p

時，有

'

'

=Gg稱為剪切胡克定律。

p：材料的剪切比例極限；

G：材料的切變模量，單位：GPa鋼：G=80GPa對各向同性材料，有

O

p在材料的三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，就可以確定第三個。一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式§9-4圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力1.扭轉(zhuǎn)試驗研究——變形幾何關(guān)系目的：確定橫截面上各點應(yīng)變

分布規(guī)律。圓軸扭轉(zhuǎn)試驗：薄壁圓筒表面作圓周線，縱向線，形成小矩形。實驗現(xiàn)象：(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動，但

形狀、大小、間距不變；(2)縱向線仍為直線，但傾斜了

角；(3)矩形abcd變成了平行四邊形a'b'c'd'。(1)橫截面上無正應(yīng)力；假設(shè)：軸的圓形橫截面扭轉(zhuǎn)變形后仍為同樣的圓形平面，其半

徑仍為直線?？芍?2)橫截面上切應(yīng)力方向與半徑垂直。取截面1、截面2之間的微段dx分析：橫截面2相對截面1轉(zhuǎn)過df；半徑O2c轉(zhuǎn)到O2c'；縱向線ac傾斜了g角至ac'；表層單元體abcd發(fā)生剪切變形；abcda'b'c'd'變形幾何關(guān)系：cc'=Rdf=gdx表層切應(yīng)變：在橫截面上半徑r處e點：同樣有：ee'=r

df=grdx∴e點切應(yīng)變：(a)扭轉(zhuǎn)角f沿軸線x的變化率，對給定的截面為一常量。橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律：橫截面上任意點的切應(yīng)變與該點半徑成正比，方向與半徑垂直。軸線上：r

=0，gr=0軸表層：r

=R，Ttmaxtmax2.物理關(guān)系——剪切胡克定律小變形下為彈性變形，滿足胡克定律：目的：由橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律確定切應(yīng)力分布規(guī)律。∴(b)橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上任意點的切應(yīng)力與該點半徑

成正比，方向與半徑垂直并與扭矩方

向一致。即切應(yīng)力沿半徑呈線性分布。軸線上：r

=0，tr=0軸表層：r

=R，TtmaxtmaxtminTOdA

3.靜力學(xué)關(guān)系令將(b)式代入(c)式得：目的：找橫截面上扭矩與切應(yīng)力之間關(guān)系，建立切應(yīng)力計算公式。取微面積dA，距圓心為r，切應(yīng)力tr微內(nèi)力：

rdA對圓心微力矩：dT=

rdA·r整個橫截面上的內(nèi)力矩即為扭矩T：(c)稱為橫截面對形心O點的極慣性矩，僅與橫截面的形狀尺寸有關(guān)。∴為計算圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式。

r為計算圓軸橫截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的基本公式。將代入(b)式，得：二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力在圓軸表層：rmax=R，有最大切應(yīng)力：令稱為橫截面的抗扭截面系數(shù)，單位：m3，mm3?！嗫芍篧p

，tmax

∴Wp代表截面的扭轉(zhuǎn)強度。注意：公式適用于彈性變形范圍內(nèi)的圓截面直桿。OD§9-5極慣性矩與抗扭截面系數(shù)一、實心圓截面

d

取微面積：dA=2prdr，距圓心為r，∴單位：m4，cm4，mm4。單位：m3，cm3，mm3。工程中近似可?。篧p=0.2D3二、空心圓截面外徑：D內(nèi)徑：d可求得：DOd一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力低碳鋼試件：鑄鐵試件：§9-6圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)試驗：扭轉(zhuǎn)試驗機上進行。由試驗可知：先發(fā)生屈服，產(chǎn)生較大的塑性變形，最后沿橫截面斷開。由試驗可得扭轉(zhuǎn)屈服極限：ts變形很小，無屈服現(xiàn)象，最后沿與軸線約成45

的螺旋面斷裂。由試驗可得扭轉(zhuǎn)強度極限：tb二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力：強度條件：對等截面圓軸：(1)強度校核(2)設(shè)計截面尺寸(3)確定許可載荷最大工作應(yīng)力不超過材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力。對階梯圓軸要分段考慮確定tmax