勾股定理 市賽獲獎(jiǎng)

八年級(jí)下冊(cè)17.1

勾股定理（1）美麗的勾股樹(shù)

相傳2500年前，古希臘有一位非常著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，他善于觀察和思考問(wèn)題，經(jīng)常從生活中尋找一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，有一次，他到朋友家做客，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面反映了直角三角形三邊的某種特殊關(guān)系.1.你能發(fā)現(xiàn)圖中三個(gè)正方形A、B、C的面積之間有何關(guān)系嗎？探究一2.圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？發(fā)現(xiàn):等腰直角三角形兩直角邊的平方等于斜邊的平方.BCA34如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1.探究二(1)計(jì)算圖中正方形A、B、C的面積.(2)圖中正方形A、B、C面積之間有何關(guān)系？(3)圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么關(guān)系？討論交流如何計(jì)算正方形的面積？ABCABC應(yīng)用“補(bǔ)”的方法ABC應(yīng)用“割”的方法ABCABC應(yīng)用“補(bǔ)”的方法應(yīng)用“割”的方法轉(zhuǎn)化思想如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1.探究二(1)計(jì)算圖中正方形A、B、C的面積.(2)圖中正方形A、B、C面積之間有何關(guān)系？(3)圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么關(guān)系？ABC發(fā)現(xiàn):直角三角形兩直角邊的平方等于斜邊的平方.abc猜想:如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，

斜邊為c，那么.探究二ABCcab幾何動(dòng)畫(huà)a2+b2=c2ABC如何利用下圖證明a2+b2=c2？cabcaaabbbccabcab探究三如何利用下圖證明a2+b2=c2？(a+b)2cabcaaabbbcca2+b2=c2可得：cba探究三面積法感悟：面積法證明時(shí)常用兩種不同的方法表示同一圖形的面積.a2+b2=c2可得：如何利用右圖證明a2+b2=c2？趙爽的“弦圖”

下圖是三國(guó)時(shí)期我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》給出的，被稱為“趙爽弦圖”。

在北京召開(kāi)的2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（TCM－2002）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.勾股定理

如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊為c，那么

a2+b2=c2直角三角形的兩直角邊的平方等于斜邊的平方.

在我國(guó)古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。勾股弦

畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理后高興異常，隨即和他的學(xué)生宰了一百頭牛來(lái)慶祝這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做“百牛定理”.勾股定理流傳最廣的證明記載于歐幾里德（Euclid,是公元前300年左右的數(shù)學(xué)家）的《幾何原本》中，歐幾里德在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)的（公元前550年），所以他就把這個(gè)定理稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。其實(shí)，我國(guó)早在公元前1100年左右的西周時(shí)期就發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用了這一數(shù)學(xué)定理，比畢達(dá)哥拉斯早500多年，只是我們炎黃子孫的驕傲，是我們?cè)谧拿恳晃煌瑢W(xué)的驕傲。百牛定理證法賞析

劉徽的“青朱出入圖”證明不需任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需要計(jì)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，被稱為“無(wú)字證明”，也稱“拼圖證明”.bac證法賞析“趙爽弦圖”——趙爽證法（面積拼圖證明）

a2+b2=c2a2b2a2c2證法賞析畢達(dá)哥拉斯面積拼圖證法證法賞析美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，稱為“總統(tǒng)證法”需要通過(guò)面積法列式計(jì)算.倒水證明證法賞析學(xué)以致用1.如圖，已知在RtΔABC中，C=90°，(1)若a=5，b=12，則

c=

；ACBabc(2)若c=6，b=4，則

a=

；(3)若c=25，a=24，則

b=

；(4)若c=10，，則

a=

，b=

；12768方程思想變式一a:b=3:4學(xué)以致用1.如圖，已知在RtΔABC中，C=90°，(1)若a=5，b=12，則

c=

；ACBabc(2)若c=6，b=4，則

a=

；(3)若c=25，a=24，則

b=

；(4)若c=10，a:b=3:4，則

a=

，b=

；(5)若c=10，

,則

a=

，b=

.變式二12768方程思想a2+b2=c2學(xué)以致用2.若一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為

6、8、x，則x=

.10或分類思想解析：①若x為斜邊，則②若8

為斜邊，則當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)化簡(jiǎn)，得S3S1S2ABC變式訓(xùn)練課堂小結(jié)(1)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到哪些知識(shí)？有哪些感悟？還有什么疑惑？(2)在探究勾股定理的過(guò)程中，我們經(jīng)歷了怎樣的探究過(guò)程？課堂小結(jié)一個(gè)定理兩種方法三個(gè)思想

a2+b2=c2S3S1S2ABC割補(bǔ)法、面積法轉(zhuǎn)化思想方程思想分類思想分層作業(yè)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)：課本P28第1、2、3題能力提升：課本P29第13題本課從觀察網(wǎng)格中的正方形面積關(guān)系出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，再通過(guò)觀察網(wǎng)格中以一般直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積關(guān)系，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格中的一般直角三角形也具有這種三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，從而提出猜想，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方，介紹了趙爽的證明方法．課件說(shuō)明課件說(shuō)明學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，通過(guò)對(duì)于我國(guó)古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感；

2．能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：探索并證明勾股定理．國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議．2002年在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)．如圖就是大會(huì)的會(huì)徽的圖案．創(chuàng)設(shè)情境引入課題

問(wèn)題1你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎？它由哪些基本圖形組成？追問(wèn)

由這三個(gè)正方形A，B，C的邊長(zhǎng)構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長(zhǎng)度之間有怎樣的特殊關(guān)系？創(chuàng)設(shè)情境引入課題

問(wèn)題2三個(gè)正方形A，B，C

的面積有什么關(guān)系？ABC追問(wèn)正方形A、B、C

所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？探究勾股定理

問(wèn)題3在網(wǎng)格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？A

B

C

猜想：

如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．探究勾股定理

問(wèn)題4通過(guò)前面的探究活動(dòng)，猜一猜，直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系？

感受數(shù)學(xué)文化這個(gè)圖案是公元3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中間的部分是一個(gè)小正方形（黃色）．勾股定理在數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了重大的作用，其證明方法據(jù)說(shuō)有400多種，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)研究，或到網(wǎng)上查閱勾股定理的相關(guān)資料．c

b

a

（b-a）2黃實(shí)朱實(shí)初步應(yīng)用定理練習(xí)1求圖中字母所代表的正方形的面積．A

A

A

Ｂ2251448024178初步應(yīng)用定理練習(xí)2

如圖，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是12，16，9，12．求最大正方形E的面積．

ABCDE初步應(yīng)用定理通過(guò)這種方法，可以把一個(gè)正方形的面積分成若干個(gè)小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗