第五章 參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)

第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)10/14/20231徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室[教學(xué)要求]了解：抽樣分布及t分布的特征，總體概率的置信區(qū)間。熟悉：抽樣誤差的概念，標(biāo)準(zhǔn)誤的意義及其應(yīng)用。掌握：計(jì)算均數(shù)及率的標(biāo)準(zhǔn)誤，總體均數(shù)和總體率的95%和99%置信區(qū)間及適用條件。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別。第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)10/14/20232徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)第一節(jié)抽樣分布與抽樣誤差第二節(jié)t分布第三節(jié)總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)10/14/20233徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

第一節(jié)抽樣分布與抽樣誤差

一、樣本均數(shù)的抽樣分布與抽樣誤差均數(shù)的抽樣誤差：由個(gè)體變異產(chǎn)生的、由于抽樣而造成的樣本均數(shù)與樣本均數(shù)及樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差。用于表示均數(shù)抽樣誤差的指標(biāo)叫樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，也稱樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。10/14/20234徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室抽樣實(shí)驗(yàn)一：假定從13歲女學(xué)生身高總體均數(shù)，總體標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)總體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣。

組段下限值（cm）頻數(shù)頻率%152.611.0153.244.0153.844.0154.42222.0155.02525.0155.62121.0156.21717.0156.833.0157.422.0158.011.0合計(jì)100100.0表5-1從正態(tài)總體N（155.4，5.32）抽樣得到的100個(gè)樣本均數(shù)的頻數(shù)分布（ni=30）10/14/20235徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室樣本均數(shù)的分布特點(diǎn)：

1.各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù)；

2.樣本均數(shù)之間存在差異；

3.樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律，圍繞著總體均數(shù)，中間多，兩邊少，左右基本對稱，也服從正態(tài)分布；

4.樣本均數(shù)的變異較之原變量的變異大大縮小。10/14/20236徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室抽樣實(shí)驗(yàn)二：在一個(gè)非正態(tài)總體中抽取樣本含量分別為5，10，30和50的樣本各100次，計(jì)算樣本均數(shù)并繪制4個(gè)直方圖，可見當(dāng)樣本量較小時(shí)，樣本均數(shù)的分布呈偏態(tài)分布，而樣本量足夠大時(shí)，樣本均數(shù)的分布近似正態(tài)分布。在計(jì)算機(jī)上完成。（實(shí)驗(yàn)5-2）10/14/20237徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室10/14/20238徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室10/14/20239徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室10/14/202310徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室10/14/202311徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室10/14/202312徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室1）從正態(tài)總體N(μ,σ2)中，隨機(jī)抽取例數(shù)為n的多個(gè)樣本，樣本均數(shù)服從正態(tài)分布；即使是從偏態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，當(dāng)n足夠大時(shí)(如n＞50)，也近似正態(tài)分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)推理和中心極限定理表明：2）從均數(shù)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)或偏態(tài)總體中抽取例數(shù)為n的樣本，樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差即標(biāo)準(zhǔn)誤為。10/14/202313徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

標(biāo)準(zhǔn)誤的大小與σ的大小成正比，與n成反比，而σ為定值，說明可以通過增加樣本例數(shù)來減少標(biāo)準(zhǔn)誤，以降低抽樣誤差。σ未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。用來表示均數(shù)抽樣誤差的大小。（標(biāo)準(zhǔn)誤的理論值）（標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值）10/14/202314徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

例5-12000年某研究所隨機(jī)調(diào)查某地健康成年男子27人，得到血紅蛋白的均數(shù)為125g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為15g/L。試估計(jì)該樣本均數(shù)的抽樣誤差。10/14/202315徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室二、樣本頻率的抽樣分布與抽樣誤差

從同一總體中隨機(jī)抽出觀察單位相等的多個(gè)樣本，樣本率與總體率及各樣本率之間都存在差異，這種差異是由于抽樣引起的，稱為頻率的抽樣誤差。表示頻率的抽樣誤差大小的指標(biāo)叫頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤。

10/14/202316徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室π：總體率，n：樣本例數(shù)。當(dāng)π未知時(shí)，pπ（為樣本含量足夠大，且p和1-p不太小）公式為:

：率的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值，p：樣本率。據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理，率的標(biāo)準(zhǔn)誤用表示10/14/202317徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

例5-2某市隨機(jī)調(diào)查了50歲以上的中老年婦女776人，其中患有骨質(zhì)疏松癥者322人，患病率為41.5%，試計(jì)算該樣本頻率的抽樣誤差。10/14/202318徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)第一節(jié)抽樣分布與抽樣誤差第二節(jié)t分布第三節(jié)總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)10/14/202319徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室第二節(jié)t分布

設(shè)某一變量服從總體均數(shù)為μ，總體標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布N（μ，σ），則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），即u分布。一、t分布的概念

10/14/202320徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

若從正態(tài)分布N（μ，σ）總體中，隨機(jī)抽樣并算得多個(gè)樣本均數(shù)，它們服從總體均數(shù)為μ，總體標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布N（μ，），則也服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。10/14/202321徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室在實(shí)際工作中，由于未知，用代替，則服從t分布（t-distribution），即：ν為自由度。10/14/202322徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

t分布，又稱Studentt分布（Studenttdistribution），主要用于總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和t檢驗(yàn)等。t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(ν=13)t(ν=5)z10/14/202323徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室二、t分布的圖形和特征

υ=∞(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)υ=5υ=1圖不同自由度下的t分布圖10/14/202324徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室t分布曲線特點(diǎn)：

1）t分布曲線是單峰分布，它以0為中心，左右對稱。

2）t分布的形狀與樣本例數(shù)n有關(guān)。自由度越小，則越大，t值越分散，曲線的峰部越矮，尾部翹的越高。

3)當(dāng)n→∞時(shí)，則S逼近σ，t分布逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t分布不是一條曲線，而是一簇曲線。10/14/202325徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室與單側(cè)概率相對應(yīng)的t值用表示，與雙側(cè)概率相對應(yīng)的t值用表示。在相同自由度時(shí)，t絕對值越大，概率P越小。

由于t分布是以0為中心的對稱分布，表中只列出了正值，故查表時(shí)，不管t值正負(fù)只用絕對值表示。正確使用t界值表！10/14/202326徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室第五章參數(shù)估計(jì)基礎(chǔ)第一節(jié)抽樣分布與抽樣誤差第二節(jié)t分布第三節(jié)總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)10/14/202327徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

一、參數(shù)估計(jì)的概念統(tǒng)計(jì)推斷包括參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)就是用樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量）來估計(jì)總體指標(biāo)（參數(shù)）。第三節(jié)總體均數(shù)及總體概率的估計(jì)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)區(qū)間估計(jì)(intervalestimation)10/14/202328徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室

，即認(rèn)為2000年該地所有健康成年男性血紅蛋白量的總體均數(shù)為125g/L。（一）點(diǎn)估計(jì)：

用樣本統(tǒng)計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。

例如于2000年測得某地27例健康成年男性血紅蛋白量的樣本均數(shù)為125g/L，試估計(jì)其總體均數(shù)。點(diǎn)估計(jì)的方法簡單，但沒有考慮抽樣誤差。

10/14/202329徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室(二)區(qū)間估計(jì)：按預(yù)先給定的概率(1－α)估計(jì)總體參數(shù)的可能范圍，該范圍就稱為總體參數(shù)的1－α置信區(qū)間(confidenceintervalCI)。

預(yù)先給定的概率(1－α)稱為置信度，常取95%或99%。如無特別說明，一般取雙側(cè)95%?？尚艆^(qū)間由兩個(gè)數(shù)值即置信限構(gòu)成，其中最小值稱為下限，最大值稱為上限。嚴(yán)格講，可信區(qū)間不包括上下限兩個(gè)端點(diǎn)值。10/14/202330徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室通式：（雙側(cè)）二、置信區(qū)間的計(jì)算(一)總體均數(shù)的置信區(qū)間

1、σ已知，按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布原理計(jì)算由z分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下有95%的z值在±1.96之間。95%的雙側(cè)置信區(qū)間：99%的雙側(cè)置信區(qū)間：10/14/202331徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室通式：（雙側(cè)）2、σ未知但樣本例數(shù)n足夠大（n＞50）時(shí)由t分布可知，自由度越大，t分布越逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)t曲線下有95%的t值約在±1.96之間，即95%的雙側(cè)置信區(qū)間：99%的雙側(cè)置信區(qū)間：10/14/202332徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室例5-3某市2000年隨機(jī)測量了90名19歲健康男大學(xué)生的身高，其均數(shù)為172.2cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.5cm,，試估計(jì)該地19歲健康男大學(xué)生的身高的95%置信區(qū)間。該市19歲健康男大學(xué)生的身高的95%置信區(qū)間(171.3,173.1)cm10/14/202333徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室3、σ未知且樣本例數(shù)n較小時(shí)，按t分布原理，此時(shí)某自由度的t曲線下有95%的t值約在±t0.05(ν)之間，

通式:95%的雙側(cè)置信區(qū)間：99%的雙側(cè)置信區(qū)間：tа/2,ν是按自由度ν=n-1，由t值表查得的t值。10/14/202334徐州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生事業(yè)管理教研室例5-4已知某地27例健康成年男性血紅蛋白量的均數(shù)為

，標(biāo)準(zhǔn)差S=15g/L