現(xiàn)代光學(xué)的基礎(chǔ)

1.費(fèi)馬原理表述及數(shù)學(xué)表達(dá)式費(fèi)馬原理是一個(gè)描述光線傳播行為的原理：光線沿光程為平穩(wěn)值的路徑傳播。即:JPn(r)ds-平均值e士、'? fp- fp …數(shù)學(xué)表達(dá)式：L(QP)=Jn(r)ds=L(l) Jm(r)ds=0或6L(l)=0 Q Q2.利用物像等光程性原理求由聚光纖維薄片制成的微透鏡焦距公式2.利用物像等光程性原理求由聚光纖維薄片制成的微透鏡焦距公式利用物像等光程性有L(QMQ')=L(QOQiL(QMQ')=nQM+nMQ'=n、(s+A)2+h2+nW(x-A)2+h2L(QOQ')=ns+nx由于是薄片微透鏡，所以A<<s,r,x于是TOC\o"1-5"\h\zh2罰2rA,v(s+A)2+h2罰s(1+ A),v'(x-A)2+h2罰x(1+ A)s2 x2r+s r一x代入光程方程 ns(1+ A)+nx(1+ A)=ns+nxs2 x2r+s rxn——A=-n A(A恰巧被消除)sxr+sr一xn=-n'sxnn'n'一n—+一= sxr令sT8像方焦距或稱后焦距n，f=令sT8像方焦距或稱后焦距n，f=二r令s'T8物方焦距或稱前焦距nf=rn'一n3.躍遷型光纖數(shù)值孔徑公式的推導(dǎo)及應(yīng)用N.A=nsin0=*'n2—n20 0 1 2(00為外界入射光束與軸線之間的最大孔徑角)Maxwell電磁理論微分方程組ahXE=一呻 0at-H=0平面波、球面波的波函數(shù)復(fù)數(shù)表示及復(fù)振幅表達(dá)式平面波=Aeik-r?e-ik?t(設(shè)9 =0)復(fù)振幅~復(fù)振幅U(r,t)=Aeik?r=Ae(kxx+kyy+kzz)=Aeik(cosax+cospy+cosyz)二，、aU(r,t)=-1eik?r?e-iw(設(shè)9=0)復(fù)振幅U(P)=%eik?r=,七，eik'x2+y2+z2(發(fā)散球面波)- aU(P)=~re-ik?r，r=yx2+y2+z2 (匯聚球面波)rU(P)=*1e士ik?r，r=%'(x一x)2+(y一y)2+(z一z)2(軸外源點(diǎn))r ooo平面波，球面波的波前函數(shù)的描述及識(shí)別平面波波前函數(shù)（（z=0）平面上）U（x,y）=Aeik曲9x~ a ■ ，“…，一,、一、，、球面波波刖函數(shù)①U（x,y）=—reik?『，r=\x2+y2+r2（發(fā)散球面波）r~ a ?' ，、—m?、十、土、②U（x,y）=—^e-ik?r,r=\x2+y2+r2（匯聚球面波）r例題：已知一列波長(zhǎng)為人的光波在（x,y）接受面上的波前函數(shù)為?U（x，y）=Ae一i2嚇其中常量f的單位為mm-1,試分析與波前函數(shù)相聯(lián)系的波的類型與特征。解：由上式可見該波前因子是一個(gè)線性相因子，故可斷定它代表了一列平面波，為了進(jìn)一步確定該平面波的傳播方向，現(xiàn)將波前函數(shù)改寫為含波數(shù)k的形式

~ .2’兀入U(xiǎn)（尤，y）=Ae'兀fx=Ae一沃（fxx）可見這是一列傳播方向平行（x,z）面，即k=0的平面波與z軸夾角0滿足sin0=-f入或k=-2兀f它表示向下傾斜，傾角為0的平行光束，由于光的波長(zhǎng)已被確定為入故波矢的z分量kz為方程k2+k2=k2=（2，■人）2確定為k=k2—k2=2兀<1人2—f2傍軸條件，遠(yuǎn)場(chǎng)條件傍軸條件Z2>>P2遠(yuǎn)場(chǎng)條件z人〉〉P2例題1對(duì)于光波，設(shè)波長(zhǎng)入~500nm，橫向范圍p~1mm，約定>>取為50倍，試分別求出傍軸條件下縱向距離I,和遠(yuǎn)場(chǎng)條件的Zf解：根據(jù)上面兩式分別求得zz750pr x1mmr1cmz爭(zhēng)r50PZ=50(%)p=50x(2x103)x1mm=100m顯然此時(shí)zf>>z,這源于光波極短，以致/帶來了高倍率。例題2對(duì)于聲波，設(shè)波長(zhǎng)）?1m，橫向范圍p?10cm，則縱向距離z和z^分別為多少zr?50pr70cmzr50z牝50Py^r50（-）x10cm=50cm可見此時(shí)z>zf傍軸條件包含了遠(yuǎn)場(chǎng)條件，這源于聲波長(zhǎng)軸長(zhǎng)以致"小于1例題3一臺(tái)天文望遠(yuǎn)鏡，其物鏡口徑為2160cm，用以觀察遠(yuǎn)方星體，問多遠(yuǎn)的星體星光射到該望遠(yuǎn)鏡，可以被看成是一束平行光？解：這是一個(gè)求遠(yuǎn)場(chǎng)距離的問題，設(shè)光波長(zhǎng)為550nm，即550x10-6mm于是遠(yuǎn)場(chǎng)距離應(yīng)該是zfr應(yīng)該是zfr502160550x10-6x2.16mr4.24x105km這個(gè)距離與月球距離3.8x105km相近例題4已知一光波的波長(zhǎng)為k,觀測(cè)平面(xy)上的波前函數(shù)為U(x,y)xe頃(4丁)試分析與此波前函數(shù)相系的波長(zhǎng)的類型與特征解：由前函數(shù)可見波前僅含二次項(xiàng)因子故可以斷定它代表了一列傍軸波，中心在x軸上，由相同因子的負(fù)號(hào)斷定它是匯聚球面波，為確定匯聚中心位置，將波前函數(shù)改為標(biāo)2z-eikz)頃(M)準(zhǔn)形式類似U(x,y2z-eikz)于是斷定該傍軸匯聚球面波的中心位置坐標(biāo)為(0,0,楊氏雙孔干涉條紋間距公式及應(yīng)用楊氏雙孔干涉條紋間距公式s=也d例題在雙孔干涉實(shí)驗(yàn)中，采用氦氖激光束，其波長(zhǎng)為633nm，雙孔間隔d~1mm，縱向距離D?2m，求條紋間距解 帶入間距公式Ax=~~= 人=2x103x(633x10-6)mm澆1.3mmd1衍射巴比涅原理及應(yīng)用如果已知某一孔型屏的衍射場(chǎng)，則應(yīng)用巴比涅原理，就能直接求其互補(bǔ)屏的衍射場(chǎng)半波帶半徑公式及應(yīng)用:Rbk RbX「上=\kWb p1=\TTb例題1設(shè)光波長(zhǎng)X~600nm，R=1m，b=3m得p]=0.67mmp3=43x0.67-1.16nmp=J100x0.67-6.7mm由此可見相鄰兩個(gè)半波帶半徑之差A(yù)pk=pk+1-pk隨k數(shù)增加而減少，亦即半波帶越來越密例題2設(shè)X~600nm，p=2.00mmR~1m試問該圓孔包含的半波帶數(shù)目至少是幾個(gè)解：利用公式k=(R+；)?p2X令bT3得最少半波帶數(shù)為七=%=(1103)(2(600106)牝6-7這個(gè)數(shù)接近一奇數(shù)7,該圓孔嚴(yán)格的包含7個(gè)時(shí)的縱向距離為b103個(gè)時(shí)的縱向距離為b103-4mm7x600x10-6x103—4細(xì)致矢量圖解法及應(yīng)用I波帶片的類透鏡公式及應(yīng)用菲涅爾波帶片有若干實(shí)焦點(diǎn)與虛焦點(diǎn)，表明它既有類似會(huì)聚透鏡的功能，又有類發(fā)散透鏡的功能，所以，當(dāng)物點(diǎn)發(fā)射球面波照明波帶片時(shí)，就能產(chǎn)生若干像點(diǎn).所以由公式當(dāng)氣滿足k=1時(shí)，則氣便是第一相距，即:1 1人Rbp2右端Np2=bf故上R+b1="1該式與透鏡物像距公式完全類似，同樣的我們可以獲得第二個(gè)相距b2與物距R的關(guān)系式如下1+1=1f22例題:對(duì)一張經(jīng)典菲涅爾波帶片的制作提出兩點(diǎn)設(shè)計(jì)要求：對(duì)波長(zhǎng)為633nm的氦氖激光，其第一焦距為400mm,主焦點(diǎn)的光強(qiáng)為自由光強(qiáng)的104倍問：待制作的波帶片，其第一個(gè)半波帶的半徑為多少？這張波帶片至少應(yīng)該有多大的有效半徑？解(1)根據(jù)第一焦距公式f1=p2 ,得第一個(gè)半波帶半徑為p=y!fX=4400x633x10-6mm?0.50mm⑶設(shè)焦點(diǎn)光強(qiáng)為I為自由光強(qiáng)I。的N倍，即I=NI0，相應(yīng)的振幅倍率為A=JNa=7104A=102A=50A,由于有半數(shù)的半波帶被遮蔽，故應(yīng)露出的幫波帶序號(hào)為1,3,5???,99,亦即最外圍的半波帶序號(hào)為99或100它決定了這條半波帶的有效尺寸1 I p100=』kp1=J100x0.50mmq5.0mm單縫夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度函數(shù)及圖樣特征衍射強(qiáng)度函數(shù)I(0)=10(sm以)2以度量非等光程方向的衍射振幅10=A；氣在公式中作為一個(gè)參考值，用⑴最大值.當(dāng)x=0也蘭=1,為最大值.這在單縫衍射中表現(xiàn)為0=0時(shí),衍射強(qiáng)度XI(0)=10為最大值，稱其為零級(jí)衍射峰，其位置正是幾何光學(xué)像點(diǎn)位置一等光程方位⑵零點(diǎn)位置.sinX：X函數(shù)存在一系列零點(diǎn)，當(dāng)X=k兀,±1,土2,...,sinx/X=0,這在單縫衍射中表現(xiàn)為，當(dāng)asin0=k兀,k=±1,±2…,衍射強(qiáng)度1(0)=0,出現(xiàn)暗點(diǎn),上式成為單縫衍射零點(diǎn)條件次極大，sinXX函數(shù)在相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間存在一個(gè)極大值，其位置和數(shù)值可由微分方程d(sinx/x)/dx導(dǎo)出半波帶寬度A00,零級(jí)衍射斑的角范圍,其零級(jí)衍射峰與鄰近暗點(diǎn)之間的角方位只差值給以度量，稱其為零級(jí)衍射的半角寬度,即展°=0廣0。，在平行光正入射條件下,0°=0,01^sin01=^;a故得單縫夫瑯禾費(fèi)衍射的零級(jí)衍射半角度寬度為△0=人/a或a-A0a人⑸單縫寬度的的影響，表現(xiàn)為兩個(gè)方面，一是影響半角寬度A00,比如縫寬1擴(kuò)大為2。則A00壓縮為A00/2,二是影響零級(jí)衍射峰值10，這是因?yàn)榉逯导垂鈴?qiáng)參考值10，正比于面積(axb)的平方，比如縫寬a擴(kuò)大為2i，則10增強(qiáng)為410(6)波長(zhǎng)的影響,一是影響半波帶寬度A00,二是影響零級(jí)衍射峰值10.例題1.在單縫夫瑯禾費(fèi)試驗(yàn)中，光波長(zhǎng)人~600nm透鏡焦距f~200mm單縫寬度。~15R,求零級(jí)斑的半角寬度和屏幕上顯示的零級(jí)斑的幾何線寬解：根據(jù)半角寬度公式得A9°=人/a=600；。-6=0.04rad用半角寬度估算屏幕上零級(jí)斑的幾何線寬Al Al?fA0=200x0.04mm=8mm例題2在單縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中,入射的平行光中含有兩種波長(zhǎng)成分，紅光人1~600nm,藍(lán)光人2~400nm，且設(shè)兩者光強(qiáng)相等,即7J13=A；/A；=1試分析這二色光衍射圖樣的主要區(qū)別解：只要區(qū)別有兩點(diǎn) 一是紅光與藍(lán)光各自展開的半角寬度不等當(dāng)=J上=紋=1.5倍A0人/a人400即紅光圖樣更為擴(kuò)展，二是紅光與藍(lán)光衍射斑中心的強(qiáng)度不等I A2/入2入2 400245%I A2入2入2(600)20 2 2 1圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射艾里斑半角寬度公式及應(yīng)用X半角寬度公式A0~1.22—或DA0*1.22X0D 0人眼分辨本領(lǐng)與瞳孔直徑?jīng)Q定人眼分辨本領(lǐng)的是瞳孔的直徑D。,它是可調(diào)的，其 :一一一__捫__) 正常范圍的2—8mm據(jù)此，可印一以估算出人眼最小可分辨角60設(shè)X=550nmx .1 D0*2mm,物防為空氣，?Jmm則60 =*3.3mm10m1.22 *1.22 *3.3x10-4rad*1'*0.08*3.3mm10mD4 2mm0馬呂斯定律及應(yīng)用I（以）=Icos2以

部分偏振光通過偏振片后光強(qiáng)特點(diǎn)及數(shù)學(xué)描述當(dāng)一偏振片面對(duì)一束部分偏振光而旋轉(zhuǎn)時(shí)，透射光強(qiáng)必將變化，因?yàn)椴糠制窆獾钠窆獠痪哂休S對(duì)稱性，其他方向透射光強(qiáng)Ip（a），等于I、I按馬呂斯定律在a方向貢獻(xiàn)之和（完全非相干疊加）即I（以）=Icos2以+Icos2以現(xiàn)將該式作如下改寫I(以)I(以)=I(cos2以+sin2以)+(I一I)sin2以即I(P)=I+(I-I)cos2p其中，第一項(xiàng)是常數(shù)I，在P旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，如同入射光為自然光那樣，第二項(xiàng)是余弦平方項(xiàng)，具有入射光為線偏振光那樣的馬呂斯定律形式。部分偏振光是一自然光與一線偏振光的混合偏振度概念及應(yīng)用設(shè)一偏振片面對(duì)一束光而旋轉(zhuǎn)一周，獲得投射光強(qiáng)為最大值為Im，光強(qiáng)極小值為I,則入射光的偏振度被定義為p='■一『 由此我們可以作出判斷Mmp=1-入射光為線偏振光0<p<1T入射光為部分偏振光或橢圓偏振光p=0T入射光為自然光或圓偏振光例題1一對(duì)偏振片q,P2其透振方向彼此正交，另有一偏振片P插入其間，透振方向?yàn)椤?心''4。若一束光強(qiáng)為10的自然光射入這個(gè)偏振片系統(tǒng)，問最終透射光強(qiáng)為多少?解：若無中間那個(gè)偏振片，則透射光強(qiáng)為零，任何一偏振片經(jīng)一正交偏振片，最終透射光強(qiáng)總是為零（消光），現(xiàn)在有一偏振片P置于其間，情況就不同了，見圖先是自然光通過P1,透射光強(qiáng)為11=I°/2，按馬呂斯定律通過P的光強(qiáng)為I=Icos20=LIcos20P1 20再按馬呂斯定律，最終通過P2的透射光強(qiáng)為I=Icos20=上Icos20sin20=~I(sin20)22P 20 80當(dāng)0=兀..?'4時(shí)I=-1=12.5%

例題2一束光含有兩個(gè)同頻線偏振成分，其振動(dòng)方向夾角為七，彼此間的相位差是隨機(jī)變化的，當(dāng)一偏振片面對(duì)這束光旋轉(zhuǎn)時(shí)，試分析透射光強(qiáng)的變化---出現(xiàn)光強(qiáng)極大或極小的透振方向角a值，以及相應(yīng)的光強(qiáng)值解：如圖，分別將振幅矢量氣氣向P投影，然后非相干疊加，得透射光強(qiáng)函數(shù)為I(a)=A2cos2a+A2cos2(2a—2a)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1=I[-(1+cos2a)]+I[-(1+cos(2a—2a))]=L(I+I)+L(Icos2a+Icos(2a—2a))2 1 2 2 2 1 0Icos2a+Icos2acos2a+Isin2asin2a2 1 0 1 0其中第二項(xiàng)括號(hào)式展開為=(I+Icos2a)cos2a+Isin2asin2a12 0 1 0=Icos(2a—0)這里I=這里I=<(I+Icos2a)2+(Isin2a)=(I2+211cos2a+1210=arctan( '1"氣)，0 I+Icos2a最后結(jié)果表示為TOC\o"1-5"\h\zI(a)=一(I+I