第二型曲線積分與復(fù)變函數(shù)積分 論文

第二型曲線積分與復(fù)變函數(shù)積分摘要：第二型曲線積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分，復(fù)變函數(shù)積分（又稱復(fù)積分）是復(fù)變函數(shù)理論的基本組成部分，也是研究復(fù)變函數(shù)理論及其應(yīng)用的最重要工具之一，它是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，解析函數(shù)的許多性質(zhì)要利用復(fù)積分來(lái)證明。復(fù)變函數(shù)積分與第二型曲線積分，柯西基本定理與格林公式有著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。本文主要闡述第二型曲線積分和復(fù)變函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，全微分方程、積分與路徑無(wú)關(guān)、調(diào)和函數(shù)的相通性等。關(guān)鍵詞：第二型曲線積分；復(fù)變函數(shù)積分；格林公式；柯西基本定理TheSecondTypeCurvilinearIntegralandComplexFunctionIntegralAbstract:Thesecondtypecurvilinearintegralinanimportantconstituentpartofmultivariatefunctionintegralcalculus,Complexfunctionintegral(alsocalledcomplexintegral)isanessentialpartofthecomplexfunctiontheory,andisoneofthemostimportanttooloftheresearchaboutthecomplexfunctiontheoryandtheapplications.Itisanimportanttoolintheresearchofanalyticfunction,manypropertiesofanalyticfunctionwasprovedbyusingthecomplexintegral.Thereareessentialinnerlinksbetweencomplexfunctionintegralandthesecondtypecurvilinearintegral,CauchyfundamentaltheoremandGreen'stheorem.Inthispaper,we mainlyexpoundtheinternalrelationsbetweenthesecondtypecurvilinearintegralandthecomplexfunction,andargumentthephaseconnectivitybetweentotaldifferentialequation,integralhavingnothingtodowiththepath,harmonicfunctions..Keywords:Thesecondtypecurvilinearintegral;Complexfunctionintegral;Green'stheorem;Cauchyfundamentaltheorem1引 言第二型曲線積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分，復(fù)變函數(shù)積分（又稱復(fù)積分）又是復(fù)變函數(shù)理論的基本組成部分，也是研究復(fù)變函數(shù)理論及其應(yīng)用的最重要工具之一，它是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，解析函數(shù)的許多性質(zhì)要利用復(fù)積分來(lái)證明。復(fù)變函數(shù)積分與第二型曲線積分，Cauchy基本定理與Green公式有著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。在區(qū)域內(nèi)，復(fù)變函數(shù)積分與路徑無(wú)關(guān)與實(shí)函數(shù)的第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的含義類似，也等價(jià)于沿區(qū)域內(nèi)任意閉曲線的積分為零。復(fù)變函數(shù)積分的值是否與路徑無(wú)關(guān)，一、與被積函數(shù)的解析性有關(guān)；二、與使被積函數(shù)解析的區(qū)域是否單連通有關(guān)。特別的，實(shí)函數(shù)第二型曲線積分和復(fù)變函數(shù)積分與路徑無(wú)關(guān)、全微分方程以及調(diào)和函數(shù)的相通性更是值得研究的話題。2第二型曲線積分2.1第二型曲線積分的概念? r r第二型曲線積分的研究是有它的物理背景的：假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用沿平面曲線L運(yùn)動(dòng),求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從L的一端點(diǎn)A移動(dòng)到另一端點(diǎn)B時(shí),力F(x,y)所做的功W.(這里假設(shè)p(x,y),Q(x,y)在L定義1設(shè)平面上有光滑有向曲線C(B)二元函數(shù)f(x,y)在曲線CC依次分成n個(gè)有向小弧[1]：A,A

,,…,A A

,其中A

=A,A。.01 12

n-1n 0 n設(shè)第k個(gè)小弧A A的弦A A

在x軸與y軸上投影區(qū)間的長(zhǎng)分別是

與

，在第k個(gè)小弧k-1

k

k-1k k kA A

上任取一點(diǎn)E,h

)作和k-1k

k k kn?,hk)k

n，,k)yk， （2.1.1）k分別稱為二元函數(shù)f(x,y)在曲線C(B)關(guān)于x與yl

T)x1,2,L

,（k是第k個(gè)小弧A Al)?0f(x,y)在曲線C(B)關(guān)于x（或k-1ky）的積分和（2.1.1）存在極限Jx（或Jy

n?fk,kkJx（或

n?fk,kkJy，l(Ik

l(Ik稱Jx（或Jy）是f(x,y)dx（或f(x,y)dy）在曲線C(B)的第二型曲線積分，表為òC(A,B)

f(x,y)dx（或

òC(A,B)

f(x,y)dy）因此可得到，質(zhì)點(diǎn)在平面力場(chǎng)F=(P(x,y),Q(x,y))的作用下，沿光滑有向曲線C由點(diǎn)A到點(diǎn)B，力場(chǎng)F所做的功W是P(x,y)dx與Q(x,y)dy在曲線C(B)上的第二型曲線積分之和，即W=lim

n?,hk+lim,hkl(I)?0k=òP(x,y)dx+

l(T)?0òQ(x,y)dyC(A,B)

C(A,B)通常上式簡(jiǎn)寫為

W=òP(x,y+

òQ(x,y)dy

（2.1.2）C(A,B)

C(A,B)若L為封閉有向曲線，則記為或

PdxL AB由弧長(zhǎng)微分知，dx與dy分別是弧長(zhǎng)微分ds在x軸與y軸上的投影?；￠L(zhǎng)微分ds的方向就是曲線C(B)的方向，則弧長(zhǎng)向量微元ds=(dx,dy)。于是，功W可寫成向量形式的積分W=òF(x,y)C(A,B)

（2.1.3）類似的，可以定義三元函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空間曲線G對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，即òP(x,y,z)dx=lim

n?,hkG l(T)?0kkòQ(x,y,z)dx=lim

n?,hG l(T)?0kkòR(x,y,z)dx=lim

n?,hG l(T)?0kkòP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz，其中G是光滑空間有向曲線，三元òG函數(shù)P,Q,R在G上連續(xù)。2.2第二型曲線積分的性質(zhì)下面列舉第二型曲線積分的性質(zhì)[2](1)（方向性）對(duì)同一曲線，當(dāng)方向由A到B改為由B到A時(shí)，每一小曲線段的方向都改變。即òC(A,B)

f(x,y)dy

òC(B,A)

f(x,y)dy

因?yàn)閗與yk分別是第k-1和第k個(gè)有向的小弧A A

的弦長(zhǎng)為A A

在x軸與y軸上的投k-1k

k-1k影，當(dāng)改變曲線C的方向時(shí)，與要改變符號(hào)，所以第二型曲線積分也要改變符號(hào)。(2)（線性性質(zhì)）若Lidxidyi,,L

k k,k)存在，i為常數(shù)，則L(?ii)dx(?ii)dy也存在，且k k kL(?ii)dx(?ii)dy?i(Lidxidy).(3)（可加性）若有向曲線L是由有向曲線,,L

,k首尾連接而成，且Ldxdy存在，則iLdxdyi,,Li

,k)也存在，且kòPdxòPdx.iL Li(4)（積分不等式）設(shè)maxM?L

A(M),曲線L的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則rLAMdr

￡K.2.3第二型曲線積分的計(jì)算第二型曲線積分可以轉(zhuǎn)換為定積分來(lái)計(jì)算x=x)定理1 設(shè)平面曲線C:í

,t?,xy)在,b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)y=y)A與B的坐標(biāo)分別為(xy(xy)).又則P(x,yQ(x,y)在C(A,沿C從A到B的第二型曲線積分bòP(x,y(x,y)dy(xy(xybC aC由方程y=yC的起點(diǎn)A對(duì)應(yīng)xB對(duì)應(yīng)x，當(dāng)x由a連續(xù)地變到b時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)M(x,y)描出由點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線C，則bòP(x,y(x,y)dy(x,y(x,y.bC a若C為封閉的有向曲線則記為L(zhǎng)dxdy對(duì)于計(jì)算可在有向曲線C上任意選取一點(diǎn)作為起點(diǎn)，沿有向曲線C所指定的方向前進(jìn)，最后回到這一點(diǎn)。由此，對(duì)于第二型曲線積分的直接計(jì)算方法，可采用三個(gè)步驟：1、代：將L的參數(shù)方程代入被積函數(shù)；2、換：dx)dt，dy)dt；3、定限：下限——起點(diǎn)參數(shù)值，上限——終點(diǎn)參數(shù)值。下面我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明這種方法的應(yīng)用ò例1計(jì)算xydx，其中L為拋物線y2=x從點(diǎn)òyByB1y xOyx,1-1)到B解若取x為參數(shù)，則L：，：y：y=

，x:1?0，xx，x:0?1x0 1\ dx1dx0dxL01x(-

1x)dx+0xxdx13220x2

dx=4，yyx2yx2若取y為參數(shù)，則L:x=y2,y:-1?1.所以òxydx=

2 2 2yy(yyL -1

1 4 4ydy=-1 5ò例2 計(jì)算 2xydx+x2dy，其中L為òL（1） 拋物線y=x2上從O0)到的一段?。唬?） 拋物線x=y2上從O0)到的一段?。唬?） 有向折線OAB，這里O,B依次是0),0),解（1）若取x為參數(shù)L:y=x2,x從0變到1，2 2 2原式0(2xxx2x)dx3 3 302x2xdx31304xdx=41x3dx0B(B(1,1)（2）若取y為參數(shù)L:x=y2；y從0變到1；1ò2xydx+x2dy=(2y2y+y4)dyL 0=14y4+y4dy0

B(1,1)414=50ydyò ò（3）原式= 2xydx+x2dy+ 2xydx+xò ò在OA上，y，x從0變到1.1ò2xydx+x2dy=(2x+x2

A 0在AB上，x，y從0到1，2 1ò2xydxdyy=10由此知：雖然路徑不同，但積分值相同。例3計(jì)算曲線積分Cdy-

ydx，其中積分路徑如圖所示，x2 y2（1）在橢圓 +A(a,0)經(jīng)第一、二、三象限到點(diǎn)B-b)；a2（2）在直線y=ba

b2x-b上，從點(diǎn)A(a,0)到點(diǎn)B-b)x2 y2解（1）橢圓 +

=1的參數(shù)方程為：a2 b2ìxcostí?ysint

，且起點(diǎn)A?t，終點(diǎn)B?t= ，2所以Ldy-

dx2aostbost-bsint-asintdt02p0=3abdt0= ab3 y(2)線段AB的方程為：y=bx-b，起點(diǎn)A?a，a終點(diǎn)B?x，dy=bdxa xxdy-

0ydx=

xb-

bxdx

o A(a,0)? ?ò a?a a ÷è ?0adxab

B(0,b)ò例4計(jì)算 ydx（其中積分路徑L為x2+y2=2x(y>0)由起點(diǎn)00)到終點(diǎn)òLB,0)的積分值[3]。2? 2

1-x ?解 方法1

IL

dxdy0?è

2x-x× 2x-x2?2?2

1-(x--ò

?22x0? 022x

1-1-x2÷è ?利用定積分第二類換元法作變量代換：x-1=sinq，則dx=cosqdqpp ppI

p2osqosdq-p

21sinqosqdq-2-p

-2cosq方法2

pIòdxdyostost1sint-sintdtL -p2p=os2t-sin2-sintdt-p23復(fù)變函數(shù)積分3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念定義2設(shè)L是復(fù)平面上可求長(zhǎng)有向簡(jiǎn)單連續(xù)曲線，始點(diǎn)為abw=f(z)在L上有定義[4]，在L上引進(jìn)分點(diǎn)系：a=z0,,L

,zk-1,zk,L

,zn記lxz的弧，任取z

?z

，若極限￡n

k-1k

k k-1knlim?l?0k

f(zk存在且與L的分割方式及zk的取法無(wú)關(guān)，則稱之為f(z)沿L的積分，記為nòf(z)dz?

f(zk

（3.1.1）L l?0k其中，f(z)稱為被積函數(shù)，L設(shè)z=x+yi,zk=xk+yki,zki

，f(z)(x,y(x,y，則（3.1.1）可改寫為nòf(zdzim?uk,k)ivk,kkiyk)L l?0kn??

k,k k k,

k k?0=m h0

-v(xh

)Dyùl?kn?)Dykl?0k右邊的兩個(gè)極限都是第二型曲線積分，所以記L Lòf(z)dz(x,y(x,yL L=Lu(x,y)dx-v(x,y)dxiLv(x,y)u(x,ydy. （3.1.2）u,v連續(xù)時(shí)兩個(gè)第二型積分存在，因此當(dāng)f(z)連續(xù)時(shí)，復(fù)積分（3.1.1）存在。若曲線L的參數(shù)方程為z=z)=xt:a?b,則fyy因?yàn)閎(x,y)dx-v(x,y)dy=ò(xy)-v(xybL ab(x,y)dx(x,y)dy=ò(xy(xybL a所以由（3.1.2）bòf(z=ò(xy(xybL ab=afztzt)dt.b由此可見復(fù)積分與第二型曲線積分的計(jì)算方法也是一致的，都是采用參數(shù)法。3.2復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)(1)(線性性質(zhì))設(shè)a，b為常數(shù)f(z)和g(z)在L可積，則Laf(z)bg(zdzaLf)dzbLg)dz;(2)（方向性）

-

f(zdz-L

f(z)dz，其中是L取反方向；(3)（可加性）設(shè)L由和組成，即LU，且I)，則Lf)dzòf)dzòf)dz;(4)（積分不等式）設(shè)

f(z)￡?

L)，L的長(zhǎng)度記為L(zhǎng)，則Lf)dz￡L

f(z)ds￡ML.3.3復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算例1計(jì)算積分

L

1 dz,其中L是以z0(z-z)n 00

為中心，r為半徑的正向圓周，n為整數(shù).解 曲線L的方程可以寫為qz=z0q

,q:0?2p,故 dz =2p

ndq=in

2pe-i(n-d2p0L(z-zn0

0req

rn-10ié2p

2p ù=rn-1

0

osn-qdq-i0.

sin-.?當(dāng)n11時(shí)，2p

1 2p0osn-qdq=

n-1

sin-0，2p 1 2p0sinn-qdq-故dz

n-1

cos(n-0，0C(z-zn0011).當(dāng)n時(shí)，cos(n-，sin-.這時(shí)，10Lz-z)n0

2pdzi0dqpi.L

1 ì2pi,nndz

（3.3.1）(z-z0)

?0,n11.例2設(shè)是從原點(diǎn)到點(diǎn)z0的直線段，zx:0?是從原點(diǎn)到=1的直線段，3是從11到z01i的直線段，計(jì)算積分Ldz（1）L1;(2)

L.解（1）z=x,x:0?的方程為

zx:0?故1 1òzdz=2òxdx1 10 0（2）C2的方程為y，即z=x,x:0?C3的方程為zy:0?11 1dzC

dzC

dz0dx01-iyidy)L 2 3=1+1ydy1dy2 0 0+=1 1.+2 24格林公式與柯西基本定理4.1格林公式格林(Green)公式是指出了沿閉曲線的第二型曲線積分與二重積分的關(guān)系.下面我們來(lái)規(guī)定L的正向:設(shè)區(qū)域D是由一條或幾條光滑曲線所圍成.邊界曲線L的正向規(guī)定為:當(dāng)人沿著L行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.若與L的正向相反,就稱為負(fù)方向.記作–L.定理2設(shè)D是xOy平面的閉區(qū)域[7]，其邊界由有限條光滑或分段光滑曲線組成[6]，P(x,y)?

C(1)(D),Q(x,y)?

C(1)(D),則P(x,y)dx+Q(x,y)dy=

(-. （4.1.1）DDò例1計(jì)算曲線積分 (x2-2y)dx+yey)dy.òL（1）L：(2)1

L,其中：y2x，x:2?0；：y=，

x:-1?2；：y，

x:-1?2；解 （1）L圍城一條簡(jiǎn)單封閉曲線，取逆時(shí)針?lè)较?，設(shè)它所圍城區(qū)域記為D，由格林公式

é? ? ù(x2-2y)dx3xey)dyê

(3x+yey)-

(x2-2L D? ?p.D 4（2）注意到的方程為y，積分較易計(jì)算。因1(L1

L

L

)(x2y)dx+yey)dy=5(p,423故2312L12

(x2-2y)dx+yey)dyò=5(p- (x2-2y)dx+yey)dy4 ò- 2x2dx=5(p-3 .ò=4 4 4ò=定理3設(shè)D是平面單連通區(qū)域，A(x,y)y),Q(x,

C(1)(D),則下述4個(gè)條件等價(jià)：（1）"(x,y)?

D,;（2）沿D內(nèi)任一段光滑的簡(jiǎn)單封閉曲線L，rLdroLP(x,y)dxQ(x,y)dy0；（3）曲線積分

rLdroLP(x,y)dxQ(x,y)dy在D與積分路徑無(wú)關(guān)；（4）存在函數(shù)u(x,y)使得

du=P(x,y)dx+Q(x,y)?D，即表達(dá)式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某個(gè)函數(shù)的全微分，這時(shí)(x,y)00u(x,y)x,y00

P(x,y(x,y，(x,yD，其中，(x0,y0)是D內(nèi)任一固定點(diǎn)，C為任意常數(shù)。推論若在區(qū)域D內(nèi)du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,，B?

D，則B BAP(x,y)dxQ(x,y)dy=AduuB)-u(B B

（4.1.2）例2 計(jì)算曲線積分

LIex-2y-L

y2dx-(xy2dy，其中L是圓周x2+y2y上從O0)到B解 P(x,y)=ex-2xy-

y2,Q(x,-(xy2.,2x-2y.故所求曲線積分在xOy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，改取積分路徑為O0)沿x軸到0)，再沿與y軸平行的直線段到BOA的方程為y，x:0?1，這時(shí)dy，AB的方程為x，y:0?1，這時(shí)dx.故òI=ex-2y-òLò= ex-2y-òOA

y2dx-(xy2dyBy2dx-(xy2dyòex-2yB

y2dx-(xy2dy1 1 2

x1 1 31=exdx+)=e

- )0-1-

0? ? 0 3 07-103 3例3 試證(2xy)dxcosydy是某個(gè)函數(shù)u(x,y)的全微分，并求出u(x,y).解法1（曲線積分法）

P(x,y)=2xy，Q(x,cosyy，由定理3可知2xsiny)dxxosdy是某個(gè)函數(shù)u(x,y)的全微分，取(0,0),0)，則(x,y)u(x,y)0,0)

(2xy)dxcosydy，所以，可得x yu(x,y)02dx0xosdyx y=x2siny.解法2（偏積分法）

duy)dxcosydy，故=2xy，=xcosy， （4.1.3）對(duì)第一式關(guān)于x積分得u(x,yy)dx

(y)x2xsinyj

(y)

, （4.1.4）其中，j

(y)是僅依賴于yx的偏導(dǎo)數(shù)算出j

(y)便可計(jì)算出u(x,y)。把（4.1.4）代入（4.1.3）的第二式得xcosy)=xcosy，故j)=0由此得j

(y)=C，因此

u(x,y)x2xsinyC.全微分方程定義3：若存在連續(xù)可微函數(shù)u(x,y)使得[8]du(x,y)dx(x,y)dy，則稱微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy為全微分方程或恰當(dāng)微分方程，它的通解就是u(x,y)=C.例4 求微分方程

? ? ? ?os(xy2)3ydx2yos(xy2)3x? ? ? ?的通解.解

P(x,y)os(xy2)3y，Q(x,y)2yos(xy2)3x，P3-2ysin(xy2)=Q，故這個(gè)微分方程式一個(gè)全微分方程，所以有u(x,y)=

y x2ycosy2dy+

os(xy2)3ydx0 0? ?siny2sin(xy2)3y-siny2sin(xy2)3y,故原微分方程的通解為

sin(xy2)3yC.4.2柯西基本定理一、柯西基本定理定理4（柯西基本定理）設(shè)D是區(qū)域，其邊界由有限條簡(jiǎn)單可求長(zhǎng)閉曲線組成，f(z

A(D)?C(D)（即f(z)在D內(nèi)解析且在D連續(xù)）[9].則D

f(z

（4.2.1）證明：設(shè)f(z)在z平面內(nèi)處處不解析，起積分值依賴于鏈接起點(diǎn)與終點(diǎn)的路徑。得積分10Cz-z0

dz10，由曲線C表示圓周：z-z0.其中被積函數(shù)f(z)=

1z-z0

在z平面上除去點(diǎn)z0處處處解析，但這個(gè)是多連通區(qū)域。由此可見，積分值與積分路勁是否無(wú)關(guān)，可能與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān)。其實(shí)，在實(shí)函數(shù)的第二類曲線積分中就有積分值與積分路勁無(wú)關(guān)的問(wèn)題。由于復(fù)變函數(shù)的積分可以用相應(yīng)的兩個(gè)實(shí)函數(shù)的第二類曲線積分表示，因此對(duì)于復(fù)積分與路勁無(wú)關(guān)的問(wèn)題，我們很自然的會(huì)想到將其為實(shí)函數(shù)積分與路勁無(wú)關(guān)的問(wèn)題來(lái)討論。設(shè)f(z)=u在單連通（即單連通區(qū)域）D內(nèi)處處解析，且f)在D內(nèi)連續(xù)。由于f(z)uxivx-iuyvy，從而u,v有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足C-R方程：ux=vy,uyvx，于是Cf(zdzCudx-dyiCdxudy-vx-uydsiux-vydsD D

.（由格林公式）從而Cf(z)0.

1 dz0例5設(shè)G是正向簡(jiǎn)單封閉曲線，z0?G，n為正整數(shù)，計(jì)算積分G(z-z) .00解(z-zn在全平面解析，0

1 當(dāng)且僅當(dāng)z=z是不解析.若z在n 0 0(z-zn 0 0理知ò

1ndz.若

z0在

G內(nèi)部，以

z0為中心，充分小的

d為半徑作圓G(z-z0)GB(z0,)zz-z0理知G的內(nèi)部，及圓周Cd:z-z01G n

dzC

1 ndz

ì2pi,n1(z-z0)

d(z-z0)

?0,n 1.因此當(dāng)且僅當(dāng)z0在G內(nèi)部且n時(shí)，

10Gz-z0

dz. （4.2.2）而當(dāng)z0在G外部或n11時(shí)，

1ndz

（4.2.3）G(z-z0)G例6計(jì)算積分

2z-1Gz2-z

zG是圓周z；（2）G是圓周z-1=1.2d解經(jīng)恒等變

2z-1

z-

11= = +，z2-z z(z-

z-1 z故2z-1 1 1Gz2-zdzGz-1dzGzdz.（1）當(dāng)G為圓周z時(shí)，zz都在G內(nèi)部，由（4.2.2）知1dz

1dzGz-1故

2z-1

GzGz2-zdzpi.（2）當(dāng)G為圓周z-1=1時(shí)，zG內(nèi)部，z在G外部，根據(jù)（4.2.2）和（4.2.3）知21dz

1dzGz-1故

Gz2z-1Gz2-zdzpi.注因?yàn)橛欣砗瘮?shù)都可以分解為部分分式，因此有理函數(shù)沿閉路的積分一般可以用上述方法計(jì)算.例7設(shè)G為圓周z，計(jì)算積分I=

1

GRedz.2解法1Rez不解析，故上式不能直接使用柯西積分定理計(jì)算，但因?yàn)镽ez=1(z)，在G上，22zz=z2，即z=4，故z

ò I=1 1(z)dz=ò

4?z ?+?G2 Gè z?1 1 1= òzdz+

òdz.G

piGz因z在G及其內(nèi)部解析，由柯西積分定理

Gdz0，

ò1dz，Gz故I.解法2z,q:0?2p,Rezcosq，故I=1

ò2osq2ei

)dq=1

ò2osqiei

)dq2p

q￠ 2p q0 022p=

cos2qcosqsinqdqp0( )=2(

2pcos2qdq

2p)cosqsinqdq.)p0 0二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一個(gè)多元函數(shù)u(1,2,L

,xn)若滿足方程+

0，(1,2,L

,xnW， （4.2.4）1 2 n則稱u(1,2,L

,xn)在W是一個(gè)調(diào)和函數(shù).算子D= 2+22稱為調(diào)和算子.調(diào)和方程（4.2.3）可表示成.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系：1、設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，則當(dāng)(x,y都是調(diào)和函數(shù).

D時(shí)，，，即解析函數(shù)的實(shí)部和虛部2、u(x,y),v(x,y)為任意2個(gè)調(diào)和函數(shù)，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)或f(z)=v(x,y)+iu(x,y)不一定為調(diào)和函數(shù)。3、若，，且u和v滿足C-R方程，，則稱v(x,y)是u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)[10].例8常數(shù)k為何值時(shí)u(x,y)=y3x2y為調(diào)和函數(shù)？對(duì)這個(gè)調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)f(z)使得u(x,y)=Ref(z)且f(0)=2i.2 2解法1=2kxy，?u=2ky，=3y2+kx2，?uy，+ y2

? 2kyy

?k3.?故當(dāng)k-3時(shí)，u(x,y)=y3-3x2y是調(diào)和函數(shù).由6xy, （4.2.5）關(guān)于y的積分得

v(x,y6xy3xy2

(x). （4.2.6）這里必須注意，對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)把關(guān)于x的任意函數(shù)當(dāng)做常數(shù)[11].，故對(duì)（4.2.4）關(guān)于y積分所得的（4.2.5）式用x的任意函數(shù)j

(x)來(lái)代替不定積分中的任意常數(shù)又因，即-3y2j(x)-3y2-3x2)3x2-3y2,整理得

j(x)3x2.故j(x)3x2dxx3c.因此v(x,y)=-3xy2+x3,f(z)u(x,y)iv(x