借助方程思想 解決線段比值問(wèn)題 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選借助方程思想 解決線段比值問(wèn)題摘要：方程思想是初中代數(shù)中一種非常重要的解題方法，它是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，將問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過(guò)設(shè)未知數(shù)來(lái)建立方程或方程組，再通過(guò)解方程或方程組來(lái)解決問(wèn)題的一種思維方式。利用方程思想來(lái)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是建立方程模型。而在初中幾何部但是線段比值問(wèn)題基本都具備方程的特性，若能根據(jù)題意及圖形之間的關(guān)系找出其中蘊(yùn)含的等量關(guān)系，建立方程，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，則會(huì)使思路更加清晰，解決過(guò)程更加簡(jiǎn)便，達(dá)到把幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的。關(guān)鍵詞：方程；方程思想；線段比值；幾何應(yīng)用引言：在初中幾何題目中，在線段比值問(wèn)題的求解中，通常是初中數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用，已知條件較為復(fù)雜，雖然問(wèn)題中讓求解線段比值，但是題目中并沒(méi)有給出線段長(zhǎng)度或者線段以及其他的數(shù)量關(guān)系，讓很多學(xué)生理不清要求解的線段與已知之間的關(guān)系而無(wú)從下手。如若能根據(jù)線段之間的等量關(guān)系建立方程模型，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程來(lái)求解，往往會(huì)達(dá)到意想不到的解決效果。線段比值的求解通常和相似三角形放在一起考查，也是中考?jí)狠S題一個(gè)?？嫉目嫉哪Ｐ停鶕?jù)比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程模型，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。一、題目呈現(xiàn)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF。（1）求證：△ABF≌△EAD（2）如圖2，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的長(zhǎng)；（3）如圖3，若BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M，求BE的值。EC12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選此題是安徽省2021年中考第23題，這個(gè)題目是一道幾何綜合題目，難度非常高。已知條件，易證∠ABE=∠AEB,∠DCE=∠DEC，即可得AB=AE,DE=DC，再證明四邊形AFCD是平行四邊形即可得AF=DE,根據(jù)SAS決該類型題目的相關(guān)思路。二、解法探究2.1 思路分析第三問(wèn)在已知的主干條件上，又添加了一個(gè)條件：BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M。但是這個(gè)題目是求BE的比值，觀察題目△ABE和△DCE都是等腰三角形，并且底角都ECBE=AB=AEBE的比值EC DC DE EC進(jìn)行轉(zhuǎn)化成求解AB或者AEDC DE也沒(méi)有告訴相關(guān)線段的比例，因此求解AB或者AE的比值過(guò)程中，有的同學(xué)沒(méi)有了思DC DE路或者思路出現(xiàn)了偏差。試圖求出或者的長(zhǎng)度，但是由于沒(méi)有已知線段有未知數(shù)不知道如何構(gòu)建方程，這是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)。2.2 解法剖析面對(duì)這類題目的時(shí)候，我們的思路是利用方程思想構(gòu)建方程模型，但是具體怎么構(gòu)22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選建BEEC們分析易證△ABE∽△DCE，可得BE=AB=AE,在求解過(guò)程中，我們并不設(shè)BE或者ECEC DC DE的長(zhǎng)，而是設(shè)AB=x,DC=1,這樣設(shè)的好處有哪些？第一，△ABE和△DCE都是等腰三角形，我們可以對(duì)相關(guān)的線段進(jìn)行等量代換，從而找到各個(gè)線段的數(shù)量關(guān)系；第二，BE=AB=x=x,也就是說(shuō)我們只要求出xBE的比值也就可以求EC DC 1 EC出。既然要求解未知數(shù)x的值，那么需要找到等量關(guān)系，對(duì)于中點(diǎn)，我們要么做中位線或者倍長(zhǎng)中線，從而構(gòu)建方程求解。如圖4解：過(guò)點(diǎn)M作MP∥DE交AE于點(diǎn)P設(shè)AB=x、DC=1由問(wèn)題（1）得：AB=AE=x、DC=DE=1因?yàn)锳FCD是平行四邊形，所以M是ADP也是AE的中點(diǎn)且PM=DE=1AP=PE=x，2 2 2所以PF=x-1。因?yàn)镈E∥AB，所以PM∥AB，2所以△ABF∽△PMF。所以AB=AF,即：PM PF解得：x=1+

2或x=1-

2（負(fù)數(shù)舍去）檢驗(yàn)：x=1+

2是原方程的解；因?yàn)椤鰽BE∽△DCE，所以BE=AB=x，即BE=1+2。EC DC EC轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的求解，因此無(wú)論是作中位線還是倍長(zhǎng)中線，我們的目的都是找到等量關(guān)系，列出方程。2.3 解法拓展32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選既然這類題目的思路是利用方程思想，使幾何問(wèn)題代數(shù)化，是否還能利用相同思想給出不同解法呢？如圖5解：延長(zhǎng)BM到點(diǎn)Q，使MQ=BM，連接DQ因?yàn)辄c(diǎn)M是AD中點(diǎn)，所以AM=MD。因?yàn)椤螦MB=∠DMQ，所以△ABM≌△DQM，所以AB=DQ,∠ABM=∠Q，所以DQ∥AB。因?yàn)镈E∥AB，所以點(diǎn)E、D、Q三點(diǎn)共線。設(shè)AB=AE=x，DE=DC=1所以DQ=AB=1,所以QE=1+x。因?yàn)樗倪呅蜛FCD是平行四邊形，所以AF=DC=1,所以EF=x-1。因?yàn)镼E∥AB，所以△ABF∽△EQF,所以AB=AF,即=x即可求解出BE的比值。EC2.4 本題總結(jié)

QE EF給我們線段的長(zhǎng)度或者比例關(guān)系，其他（如面積，周長(zhǎng)等）方面數(shù)量關(guān)系也沒(méi)有告訴，換。然后我們把分子設(shè)為未知數(shù)1，這樣整個(gè)線段比值也就等于程求得（如圖42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選三、通用探究此我們?cè)谧鲱}時(shí)需要認(rèn)真觀察題目或者尋找等量關(guān)系。3.1 改變問(wèn)題形式變式ABCDE為ADCE,BF⊥CE于點(diǎn)于點(diǎn)G。（1）求證：DG=CF;（2）連接AG，若點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，①求證：△AEG∽△AGD；②求tan∠FBC的值。這個(gè)題目是二輪復(fù)習(xí)中模擬樣卷上第23題，第一問(wèn)和第二問(wèn)的①問(wèn)都是純幾何題目，考查學(xué)生的幾何基礎(chǔ)知識(shí)。在第一問(wèn)中：證明DG=CF，只需要證明△CDG≌△BCF即可。第二問(wèn)的第①小問(wèn)中：如圖8，連接DF構(gòu)造垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，證明△ADG≌△DCF，得到∠AGD=∠CFD=∠AGE，從而證明△AEG∽△AGD。在第一問(wèn)和第二①問(wèn)的基礎(chǔ)上，題目又增加了難度，出現(xiàn)②問(wèn)中的問(wèn)題，求tan∠FBC的值。要想求出tan∠FBC在Rt△BFCtan∠FBC=FC,也就是說(shuō)我們只需要求出FCBF BF題。有出現(xiàn)，因此我們需要把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再求解。解：設(shè)FC=x，BF=1CG=BF=1,DG=FC=x，所以GF=CG-FC=1-x.因?yàn)辄c(diǎn)G52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選是EF得中點(diǎn)，所以EG=GF=1-x。因?yàn)樵赗t△EDC之中，DG⊥CE,所以由射影定理得:DG2=EG·GC，即x2=(1-x)·1。解得：x1=x2=(負(fù)值舍去）因?yàn)樵赗t△BFC中，tan∠FBC=FC，所以tan∠FBC=。BF比值問(wèn)題，需要運(yùn)用方程思想，進(jìn)行求解。3.2 利用勾股定理列方程變式2：如圖9，點(diǎn)E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，先以CE為對(duì)稱軸將△CDE折疊，使點(diǎn)D落在CF上的點(diǎn)D’處，再以EF為對(duì)稱軸折疊△AEF，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’與點(diǎn)D’重合，以FG為對(duì)稱軸折疊△BFG，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在CF上，若∠A=60°，則FG的值為 。CE這個(gè)題目使2022年安徽第一卷的某套模擬試卷的第14常多，需要對(duì)已知條件進(jìn)行分析整理，在求FG過(guò)程中，先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用方程思CE想進(jìn)行求解。并且根據(jù)菱形的性質(zhì)，∠B=∠D,∠DEC=∠A’CE=∠B’FG=∠BFG,所以得出△DEC∽△,A’EC∽△FBG∽△FB’G，所以FG=BG因?yàn)辄c(diǎn)E是AD中點(diǎn)，所以可以得出：DE=,BG=1

CE CDFB 2。設(shè)BG=x,A’E=1,得出DE=AE=A’E=1，所以AB=BC=DC=AD=2，BF=2x。所以AF=A’F=2-2x；因?yàn)锳’C=DC=2，所以CF=4-2x。如圖10：過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P。62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選因?yàn)椤螦=60°，所以∠CBP=60°；又因?yàn)锽C=2，∠P=90°，所以BP=1,CP=3。在Rt△CPF中，CP2+PF2