第十八章 相對(duì)論習(xí)題

第十八章相對(duì)論18-1設(shè)系以速率相對(duì)于沿軸運(yùn)動(dòng)，且在時(shí)，。（1）若有一事件，在系中發(fā)生于，處，該事件在中發(fā)生于何時(shí)刻？（2）如有另一事件發(fā)生于系中處，在系中測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為多少？解分析相對(duì)論中一個(gè)物理事件可用時(shí)空坐標(biāo)（x、y、z）表示，在一切慣性系中，不同坐標(biāo)系中的物理事件滿足洛倫茲坐標(biāo)變換。因此，已知一坐標(biāo)系中的物理事件，可通過(guò)坐標(biāo)變換求出該事件在另一坐標(biāo)系中的表示。（1）由洛倫茲坐標(biāo)變換可求得的觀察者測(cè)得第一事件發(fā)生的時(shí)刻為（2）同理，第二個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻為系中的觀察者測(cè)得兩事件的時(shí)間間隔為P此題通過(guò)洛倫茲坐標(biāo)變換也可求出觀察者在另一個(gè)坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)。（同學(xué)自己做）此題的知識(shí)點(diǎn)是考察對(duì)洛倫茲坐標(biāo)變換的理解。18-2設(shè)有兩個(gè)參照系和，它們的原點(diǎn)在和時(shí)重合在一起。有一事件，在中發(fā)生在處，若系相對(duì)于以速率沿軸運(yùn)動(dòng)，問該事件在系中的時(shí)空坐標(biāo)各為多少？解分析此題給出的條件是在運(yùn)動(dòng)參照系中的時(shí)空坐標(biāo)，求在靜止參照系中的時(shí)空坐標(biāo)，需要通過(guò)洛倫茲坐標(biāo)逆變換求出。由洛倫茲坐標(biāo)逆變換給出：此題的知識(shí)點(diǎn)同上題。問題：一事件在系中的空間坐標(biāo)為正時(shí)，在系中一定為正的嗎？18-3.一列火車0.30km(火車上觀察者測(cè)得),以100km.h-1的速度行駛,地面上觀察者發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)閃電同時(shí)擊中火車的前后兩端.問火車上的觀察者測(cè)得兩閃電擊中火車前后兩端的時(shí)間間隔為多少?解分析選地面為系,火車為系,把兩閃電擊中火車前后兩端視為兩個(gè)事件.地面觀察者看到兩閃電同時(shí)擊中,則在這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為火車的長(zhǎng)度指相對(duì)火車靜止時(shí)測(cè)得的長(zhǎng)度(物體的長(zhǎng)度在不指明觀察者的情況下均指靜止長(zhǎng)度).則在系中的空間間隔m.系相對(duì)的速度即為火車的速度.由洛侖茲坐標(biāo)變換解法1:可得在系中的觀察者測(cè)得兩事件的時(shí)間間隔為:請(qǐng)說(shuō)明負(fù)號(hào)的意義.解法2:由長(zhǎng)度收縮公式,地面上的觀察者測(cè)得火車的空間長(zhǎng)度為:再由洛侖茲逆變換將的數(shù)值代入可得,顯然,兩種解法中前者較為簡(jiǎn)單.問題:如果一人在火車上從車頭跑到車尾,地面觀察者測(cè)得人的運(yùn)動(dòng)距離與地面觀察者測(cè)得火車的長(zhǎng)度相同嗎?此題的知識(shí)點(diǎn)是考察對(duì)靜止長(zhǎng)度和運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度以及同時(shí)性的相對(duì)性的理解,還考察了對(duì)洛倫茲坐標(biāo)間隔變換的應(yīng)用能力.18-4在慣性系中,某事件發(fā)生在處,后,另一事件B發(fā)生在處,已知問:(1)能否找到一個(gè)相對(duì)系做勻速直線運(yùn)動(dòng)參考系,在系中,兩個(gè)事件發(fā)生在同一地點(diǎn)?(2)在系中,上述兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為多少?解分析在相對(duì)論中,不同慣性系測(cè)得兩事件的時(shí)間間隔和空間間隔一般是不同的,它是與兩參照系的相對(duì)速度有關(guān).設(shè)系以速度相對(duì)于系沿軸正向運(yùn)動(dòng),給出這兩個(gè)時(shí)間的時(shí)間和空間間隔變換為:從式(1)中可以看出,我們可以找到在系中發(fā)生在同一地點(diǎn)的參考系,只要在式(1)中使即可求出相對(duì)于的速度可以通過(guò)時(shí)間膨脹公式求得。。這兩個(gè)事件在系的時(shí)間間隔是固有時(shí)間（原時(shí)），（1）由洛侖茲坐標(biāo)變換有：得（2）由洛侖茲時(shí)間間隔變換代入得：此題的知識(shí)點(diǎn)主要是考察對(duì)洛侖茲坐標(biāo)變換和原時(shí)的理解。問題（1）在一慣性參考系中測(cè)得不同時(shí)不同地發(fā)生的兩個(gè)因果事件，可否找到一慣性參考系使得該系觀察者測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生在同一時(shí)刻？（2）若兩個(gè)事件在一慣性系中測(cè)得同時(shí)同地發(fā)生，那么，在其它慣性系的觀察者測(cè)得的結(jié)果會(huì)怎樣？18-5設(shè)在正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)中，電子和正電子以速度0.90c相向飛行,它們之間的相對(duì)速度多少?解分析此問題中有三個(gè)參考系,一是電子,二是地球,三是正電子.此題的速度0.9c是地面上的觀察者測(cè)得正負(fù)電子的運(yùn)動(dòng)速度。如果我們選擇地球?yàn)橄担娮訛橄?，電子的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檩S，正電子為研究對(duì)象，則系相對(duì)系的速度為，正電子相對(duì)于地球的速度為，正電子相對(duì)于電子的速度正是要求的，可以通過(guò)洛侖茲速度逆變換求出。選擇地球?yàn)橄?，正電子為系，則由洛侖茲速度變換得電子相對(duì)負(fù)電子的速度為：負(fù)號(hào)表示負(fù)電子與負(fù)電子運(yùn)動(dòng)方向相反。再一次看到粒子相對(duì)參考系的運(yùn)動(dòng)速度不可能大于光速，這一點(diǎn)與伽利略速度變換不同。此題的知識(shí)點(diǎn)是考察對(duì)洛侖茲速度變換的理解和應(yīng)用。問題如果在此題中可以選擇電子為系嗎？如果這樣選擇，系選誰(shuí)計(jì)算最為簡(jiǎn)單結(jié)論相同嗎？此問題中有幾種選擇坐標(biāo)系方式？18-6設(shè)想有一粒子以的速率相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系運(yùn)動(dòng)。此粒子衰變時(shí)發(fā)射一個(gè)電子，電子的速率為，電子速度的方向與粒子運(yùn)動(dòng)方向相同。試求電子相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系的速度。解分析此題中電子的速度是指先歸粒子而言的。本題涉及到三個(gè)參考系-----實(shí)驗(yàn)室、粒子、電子，我們選擇實(shí)驗(yàn)室為系、粒子為系、電子為研究對(duì)象計(jì)算最為簡(jiǎn)單。由洛侖茲速度變換可求出電子相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室的運(yùn)動(dòng)速度。如分析中選擇參考系，粒子的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檩S，則有，由洛侖茲速度變換有電子相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室的速度為：18-7設(shè)在宇航飛船的觀察者測(cè)得脫離它而去的航天器相對(duì)它的速度為。同時(shí)，航天器發(fā)射一枚空間火箭，航天器的觀察者測(cè)得火箭相對(duì)它的速度本題知識(shí)點(diǎn)是考察洛侖茲速度變換的運(yùn)用。請(qǐng)選擇其它方式的參考系計(jì)算此題，從中有什么體會(huì)。要求解分析為。問：（1）此火箭相對(duì)宇宙飛船的速度為多少？（2）如果以激光光束來(lái)代替空間火箭，此激光光束相對(duì)于宇宙飛船的速度又為多少？請(qǐng)將上述結(jié)果與伽利略速度變換所得結(jié)果相比較，并理解光速是運(yùn)動(dòng)體的極限速度。此題仍是相對(duì)論速度變換問題，在（2）問題中，以激光光速來(lái)取代航天器，其區(qū)別僅在于激光光速相對(duì)與航天器的速度是光速，而由洛侖茲速度變換可知，激光光速相對(duì)于飛船的速度還是光速，這正是光速不變?cè)淼囊饬x。同上題類似，選飛船為系，航天器為系，在（1）問題中，火箭為研究對(duì)象，在（2）問題中，激光光速為研究對(duì)象。航天器的飛行方向?yàn)榈恼较颉t系相對(duì)系的速度為，火箭相對(duì)系的速度為，激光光速相對(duì)系的速度為光速。由洛侖茲速度變換有：（1）火箭相對(duì)飛船的速度為（2）激光光速相對(duì)飛船的速度為此題的知識(shí)點(diǎn)是考察對(duì)洛侖茲速度變換以及光速不變?cè)淼睦斫狻?8-8以速度沿方向運(yùn)動(dòng)的粒子，在方向上發(fā)射一光子求地面觀察者所測(cè)得光子的速度。伽利略速度變換給出激光光速相對(duì)于飛船的速度大于光速，這于洛侖茲變換給出的結(jié)果不同。選擇地面為系，粒子為系，光子為研究對(duì)象，則相對(duì)系的速度為，光子相對(duì)系的速度為。則由洛侖茲速度變換得：因此，速度大小為：速度方向?yàn)榭梢姡庾釉诘孛鎱⒖枷抵械乃俣鹊拇笮∪匀皇枪馑?，但速度的方向已?jīng)改變了。問題1、光速方向改變了，這與光速不變?cè)砻軉幔?、物理中所有的速度都不能大于光速嗎？18-9設(shè)地球上有一觀察者測(cè)得一宇宙飛船以的速率向東飛行，后該飛船將與一個(gè)以的速率向西飛行的彗星相碰撞，試問（1）飛船中的人測(cè)得彗星將以多大的速率向它運(yùn)動(dòng)？（2）從飛船中的鐘來(lái)看，還有多少時(shí)間允許它離開航線，以避免與彗星碰撞？解分析此題中有三個(gè)物體可以作為參考系，即地球、飛船、彗星。為計(jì)算簡(jiǎn)單，我們選擇地球?yàn)橄?，飛船為系，彗星為研究對(duì)象。選擇飛船飛行的方向?yàn)檩S的正方向，則由題意知相對(duì)于系的速度為，彗星相對(duì)系的速度，在問題（1）中通過(guò)洛侖次逆變換可求出彗星相對(duì)飛船的速度。問題（2）中，設(shè)彗星與飛船碰撞前的時(shí)空坐標(biāo)為事件1，碰撞時(shí)彗星所在的時(shí)空坐標(biāo)為事件2。設(shè)碰前彗星在和系的時(shí)空坐標(biāo)分別是，碰撞時(shí)的時(shí)空坐標(biāo)分別是，則就是飛船與彗星相碰所需的時(shí)間，記為。（1）、由洛侖茲速度變換可得彗星相對(duì)系的速度為：負(fù)號(hào)表示彗星運(yùn)動(dòng)放方向與飛船的方向相反，即彗星以0.946c的速度向飛船靠近.(2).由洛侖茲坐標(biāo)變換可得飛船上的觀察者測(cè)得飛船與彗星相碰的時(shí)刻為:此題也可用時(shí)間膨脹公式來(lái)做,飛船上的觀察者測(cè)得彗星碰撞前后的空間坐標(biāo)是相同的.同上設(shè)為,這樣,飛船的觀察者測(cè)得兩事件是發(fā)生在同一地點(diǎn)的先后時(shí)間.,即原時(shí),這正式要求的時(shí)間.由時(shí)間膨脹公式可得結(jié)果.有時(shí)間膨脹公式有:此題的知識(shí)點(diǎn)考察洛侖茲坐標(biāo)變換和速度變換的理解以及時(shí)間膨脹公式應(yīng)用的條件,即對(duì)原時(shí)概念的理解.問題此題若選擇飛船為系，選哪個(gè)物體作為系計(jì)算簡(jiǎn)單？18-10.在慣性系中觀察到有兩個(gè)事件發(fā)生在同一地點(diǎn)，其時(shí)間間隔為，從另一慣性系中觀察這兩個(gè)事件的時(shí)間隔為，試問從系測(cè)量到這兩個(gè)事件的空間間隔是多少？設(shè)系以恒定速率相對(duì)系沿軸運(yùn)動(dòng)。解分析此題是相對(duì)論時(shí)空轉(zhuǎn)換問題，而此題中沒有直接告訴系相對(duì)系的運(yùn)動(dòng)速度，而已知和系中的這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔和系的空間間隔，由洛侖茲時(shí)間間隔變換可以得系相對(duì)系的運(yùn)動(dòng)速度，再由洛侖茲空間間隔變換求得這兩個(gè)事件在系的空間間隔。由題意知：由洛侖茲時(shí)間間隔變換可得：得相對(duì)系的速度為：由洛侖茲空間間隔變換可得在系中測(cè)得這兩個(gè)事件的空間間隔為：負(fù)后說(shuō)明在系中后發(fā)生的事件坐標(biāo)比先發(fā)生的事件的坐標(biāo)小。此題的知識(shí)點(diǎn)是考察對(duì)洛侖茲時(shí)空間隔變換的應(yīng)用。注意：在求速度時(shí)這兩個(gè)事件在系中的時(shí)間間隔顯然是原時(shí)，因?yàn)榘l(fā)生在同一地點(diǎn)，所以得到的是時(shí)間膨脹公式。問題如果在此題中的同地發(fā)生改為同時(shí)不同地發(fā)生相應(yīng)的時(shí)間間隔改為空間間隔、空間間隔改為時(shí)間間隔，那么該題如何求解？解分析這是同時(shí)不同地的兩個(gè)事件之間的時(shí)空轉(zhuǎn)換問題。由于本題為給出系相對(duì)系的速度，故可由不同參考系中空間間隔變換之間的關(guān)系求得，再由兩個(gè)事件的時(shí)間間隔變換求出兩事件在系中的時(shí)間間隔。18-11.在慣性系中，有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在軸上相距為的兩處，從慣性系觀測(cè)到這兩個(gè)事件相距為，試問由系測(cè)得此兩事件的時(shí)間間隔為多少？由（1）得到此兩事在系的時(shí)空坐標(biāo)為和，且有。而在系中，此兩事件時(shí)空坐標(biāo)為和，且，根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)變換，有將代入（2），可得：此題的知識(shí)點(diǎn)與上題相同。解分析18-12有一固有長(zhǎng)度為的棒在系中沿軸放置，并以速度沿軸運(yùn)動(dòng)。若有一系以速率相對(duì)系沿軸運(yùn)動(dòng)，試問從系測(cè)得此棒的長(zhǎng)度為多少？此題中告訴棒的靜止長(zhǎng)度是相對(duì)于這兩個(gè)參考，為了求出相對(duì)系棒的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度，必須要求出棒相對(duì)系的運(yùn)動(dòng)速度。系以外的參考系而言的，而沒有告訴棒相對(duì)于系的運(yùn)動(dòng)速度。如果已知棒相對(duì)于系的運(yùn)動(dòng)速度，可以由長(zhǎng)度收縮公式進(jìn)行計(jì)算。由洛侖茲速度變換可求出棒相對(duì)系的運(yùn)動(dòng)速度：設(shè)棒相對(duì)系的靜止長(zhǎng)度為，運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度為，則由長(zhǎng)度收縮公式有：聯(lián)立上兩式得：此題的知識(shí)點(diǎn)是考察靜止長(zhǎng)度和運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度的區(qū)別以及洛侖茲速度變換式的應(yīng)用。問題如果此題中的棒是沿著軸成300角放置，其它條件不便，則系的觀察者測(cè)得的棒長(zhǎng)度是多少？解分析18-13.若從一慣性系中測(cè)得宇宙飛船的長(zhǎng)度為其固有長(zhǎng)度的一半,試問宇宙飛船相對(duì)此慣性系的速度為多少?(以光速

c表示).此題中設(shè)宇宙飛船固定在系中,則可以直接應(yīng)用長(zhǎng)度收縮公式求出飛船相對(duì)于此慣性系的速度.設(shè)慣性系為系,飛船為系,由長(zhǎng)度收縮公式有:解得:此題知識(shí)點(diǎn)是考察長(zhǎng)度收縮公式的應(yīng)用.18-14.一固有長(zhǎng)度為4.0m的物體,若以速率沿軸相對(duì)某慣性系運(yùn)動(dòng),試問從該慣性系來(lái)測(cè)