信號(hào)與系統(tǒng)--需記憶資料2014.5.11總結(jié)(內(nèi)部資料)

信號(hào)與系統(tǒng)教學(xué)目的：熟悉信號(hào)的概念和分類，掌握信號(hào)的基本運(yùn)算。掌握階躍函數(shù)和沖激函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)，掌握LTI系統(tǒng)的描述和特性。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：掌握信號(hào)的加法、乘法，反轉(zhuǎn)、平移，尺度變換等基本運(yùn)算。沖激函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)，LTI系統(tǒng)的特性?！?.2信號(hào)的描述和分類一、信號(hào)的描述信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量。信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào)。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。本課程討論電信號(hào)---簡稱“信號(hào)”。電信號(hào)的基本形式：隨時(shí)間變化的電壓或電流。描述信號(hào)的常用方法（1）表示為時(shí)間的函數(shù)（2）信號(hào)的圖形表示--波形“信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。二、信號(hào)的分類信號(hào)的分類方法很多，可以從不同的角度對(duì)信號(hào)進(jìn)行分類。按實(shí)際用途劃分：電視信號(hào)，雷達(dá)信號(hào)，控制信號(hào)，通信信號(hào)，廣播信號(hào)，……按所具有的時(shí)間特性劃分：確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)；連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)；周期信號(hào)和非周期信號(hào)；能量信號(hào)與功率信號(hào)；一維信號(hào)與多維信號(hào)；因果信號(hào)與反因果信號(hào)；實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)；左邊信號(hào)與右邊信號(hào)；等等。3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)如何判斷？判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt分析兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)（2）f2(k)=sin(2k)三．幾種典型確定性信號(hào)§1.3信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的加法和乘法同一瞬時(shí)兩信號(hào)對(duì)應(yīng)值相加（相乘）。二、信號(hào)的時(shí)間變換1.信號(hào)反轉(zhuǎn)將f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如t→-t→-t沒有可實(shí)現(xiàn)此功能的實(shí)際器件。數(shù)字信號(hào)處理中可以實(shí)現(xiàn)此概念，例如堆棧中的“后進(jìn)先出”。2.信號(hào)的平移將f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(t–k0)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如t→t–1右移t→t+1左移雷達(dá)接收到的目標(biāo)回波信號(hào)就是平移信號(hào)。3.信號(hào)的展縮(尺度變換）將f(t)→f(at)，稱為對(duì)信號(hào)f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則擴(kuò)展。如t→2t壓縮t→0.5t擴(kuò)展對(duì)于離散信號(hào)，由于f(ak)僅在為ak為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。4.混合運(yùn)算舉例混合運(yùn)算時(shí)，三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意一切變換都是相對(duì)t而言。§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、單位階躍函數(shù)和沖擊函數(shù)定義三．沖激函數(shù)的性質(zhì)沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)（1）取樣性（2）奇偶性（3）比例性（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶四.序列δ(k)和ε(k)定義ε(k)與δ(k)的關(guān)系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…§1.5系統(tǒng)的特性與分類一、系統(tǒng)的定義系統(tǒng)：具有特定功能的總體，可以看作信號(hào)的變換器、處理器。電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側(cè)重于局部，系統(tǒng)側(cè)重于整體。電路、系統(tǒng)兩詞通用。二.系統(tǒng)的分類及性質(zhì)可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法。常用的分類有：1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)連續(xù)(時(shí)間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)均為連續(xù)信號(hào)。離散(時(shí)間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)均為離散信號(hào)?；旌舷到y(tǒng)：系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)一個(gè)是連續(xù)信號(hào)，一個(gè)為離散信號(hào)。如A/D，D/A變換器。2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)也稱為記憶系統(tǒng)。若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。3.單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)都只有一個(gè)。多輸入多輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)有多個(gè)。4.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)：指滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)。線性性質(zhì)：齊次性和可加性齊次性：f(·)→y(·)af(·)→ay(·)可加性：f1(·)→y1(·)f2(·)→y2(·)f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)綜合，線性性質(zhì)：af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]，yzs(·)=T[{f(·)},{0}]，yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]①可分解性：y(·)=yzs(·)+yzi(·)②零狀態(tài)線性：T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]③零輸入線性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]舉例例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x顯然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)滿足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayzs(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）yzi(t)=x2(0)，T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayzi(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y(t)=yzs(t)+yzi(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。5.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)：指滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)。時(shí)不變性（或移位不變性）：f(t)→yzs(t)f(t-td)→yzs(t-td)例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yzs(k)=f(k)f(k–1)（2）yzs(t)=tf(t)（3）yzs(t)=f(–t)解(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yzs(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(2)令g(t)=f(t–td)，T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(3)令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=g(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f[–(t–td)]顯然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：若f(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性本課程重點(diǎn)討論線性時(shí)不變系統(tǒng)(LinearTime-Invariant)，簡稱LTI系統(tǒng)。①微分特性：若f(t)→yzs(t)，則f’(t)→y’zs(t)證明對(duì)零狀態(tài)系統(tǒng)f(t)→yzs(t)根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)，有f(t-△t)→yzs(t-△t)利用線性性質(zhì)得→△t→0得②積分特性：若f(t)→yzs(t)，則6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)：指零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)。即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng)t<t0，f(t)=0時(shí)，有t<t0，yzs(t)=0。判斷方法：輸出不超前于輸入。舉例如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yzs(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yzs(t)=2f(t+1)因?yàn)?，令t=1時(shí)，有yzs(1)=2(2)yzs(t)=f(2t)因?yàn)?，若f(t)=0，t<t0，有yzs(t)=f(2t)=0,t<0.5t0。綜合舉例例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0–)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3f(t)。解設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1zi(t)、y1zs(t)。當(dāng)x(0–)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2zi(t)、y2zs(t)。由題中條件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得y1zs(t)=–4e–t+cos(πt)，t>0由于y1zs(t)是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改寫成y1zs(t)=[–4e–t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y1zs(t)=[–4e–t+cos(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性f1(t–1)→y1zs(t–1)={–4e–(t–1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t)=+2f1(t–1)，y3zs(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4e–(t–1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實(shí)際的意義，如信號(hào)的壓縮、擴(kuò)展，語音信號(hào)處理等。若信號(hào)的自變量不是時(shí)間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。因果信號(hào)t=0接入系統(tǒng)的信號(hào)稱為因果信號(hào)?？杀硎緸椋阂粋€(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yzs(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如yzs(k)=f(k)+f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，?dāng)f(t)=ε(t)有界，當(dāng)t→∞時(shí)，它也→∞，無界。§1.6系統(tǒng)的描述和分析方法一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.連續(xù)系統(tǒng)的解析描述圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程。抽去具有的物理含義，微分方程寫成這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。機(jī)械減振系統(tǒng)其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì)量，C為減振液體的阻尼系數(shù)，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。2.離散系統(tǒng)的解析描述例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時(shí)不變？并寫出方程的階數(shù)。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k–1)=f(1–k)+1解：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時(shí)不變的。三.LTI系統(tǒng)分析概述系統(tǒng)分析研究的主要問題：對(duì)給定的具體系統(tǒng)，求出它對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng)。具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。

系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）（chp.8)外部法：時(shí)域分析（chp.2,chp.3)變換域法：連續(xù)系統(tǒng)—頻域法(4)和復(fù)頻域法(5)離散系統(tǒng)—頻域法(4)和z域法(6)系統(tǒng)特性：系統(tǒng)函數(shù)（chp.7)求解的基本思路：把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求。把復(fù)雜信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：多個(gè)基本信號(hào)作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號(hào)所引起的響應(yīng)之和。采用的數(shù)學(xué)工具：時(shí)域：卷積積分與卷積和頻域：傅里葉變換復(fù)頻域：拉普拉斯變換與Z變換第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f微分方程的經(jīng)典解：完全解=齊次解+特解。1.齊次解由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式2.特解根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=yzi(t)+yzs(t),也可以分別用經(jīng)典法求解?！?.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)§2.4卷積積分的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。一、卷積代數(shù)運(yùn)算1．交換律2．分配律3．結(jié)合律二、與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)三、卷積的微積分性質(zhì)1．證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2．3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t四、卷積的時(shí)移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)求卷積是本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)。求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進(jìn)行積分。對(duì)于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項(xiàng)式函數(shù)等。（2）圖解法。特別適用于求某時(shí)刻點(diǎn)上的卷積值。（3）利用性質(zhì)。比較靈活。三者常常結(jié)合起來使用。小結(jié)：本章主要介紹了連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)，是系統(tǒng)時(shí)域分析的重要內(nèi)容。介紹了零初始值的確定方法，LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的求解，這是連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的基礎(chǔ)。介紹了卷積積分的概念，通過卷積的圖示方法說明卷積的含義，詳細(xì)分析了卷積的代數(shù)運(yùn)算、函數(shù)與沖激函數(shù)卷積、卷積的微分和積分等重要性質(zhì)，是連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的重要手段。第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析二、差分方程的經(jīng)典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f與微分方程經(jīng)典解類似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齊次解：齊次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0特征方程1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0，即λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)稱為差分方程的特征根。根據(jù)特征根，齊次解的兩種情況例：求解二階差分方程y(k)–5y(k–1)+6y(k–2)=0已知y(0)=2，y(1)=1，求y(k)。解：特征方程特征根齊次解定C1，C2解出2.有重根特征根λ為r重根時(shí)例：求差分方程y(k)+6y(k–1)+12y(k–2)+8y(k–3)=0的解。解：特征方程三重特征根齊次解由初始條件定C1，C2，C32.特解yp(k):特解的形式與激勵(lì)的形式類似例：系統(tǒng)方程y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0，y(1)=–1；激勵(lì)f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程為λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齊次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解為yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解為y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始條件解得C1=1,C2=–1/4三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)y(k)=yzi(k)+yzs(k)1.零輸入響應(yīng)：輸入為零，差分方程為齊次齊次解形式：C由初始狀態(tài)定（相當(dāng)于0-的條件）例：系統(tǒng)的方程求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：零輸入響應(yīng)yzi(k)，即當(dāng)f(k)=0時(shí)的解。求初始狀態(tài)題中y(0)=y(1)=0，是激勵(lì)加上以后的，不能說明狀態(tài)為0，需迭代求出y(-1)，y(-2)。由初始狀態(tài)確定C1，C2解得2.零狀態(tài)響應(yīng)：初始狀態(tài)為0，即求解方法：經(jīng)典法：齊次解+特解卷積法例：系統(tǒng)方程為y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激勵(lì)f(k)=2k,k≥0，初始狀態(tài)y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：（1）yzi(k)滿足方程yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=0yzi(–1)=y(–1)=0,yzi(–2)=y(–2)=1/2首先遞推求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=–3yzi(k–1)–2yzi(k–2)yzi(0)=–3yzi(–1)–2yzi(–2)=–1yzi(1)=–3yzi(0)–2yzi(–1)=3特征根為λ1=–1，λ2=–2解為yzi(k)=Czi1(–1)k+Czi2(–2)k將初始值代入并解得Czi1=1,Czi2=–2yzi(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥0（2）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)滿足yzs(k)+3yzs(k–1)+2yzs(k–2)=f(k)yzs(–1)=yzs(–2)=0遞推求初始值yzs(0),yzs(1)，yzs(k)=–3yzs(k–1)–2yzs(k–2)+2k,k≥0yzs(0)=–3yzs(–1)–2yzs(–2)+1=1yzs(1)=–3yzs(0)–2yzs(–1)+2=–1分別求出齊次解和特解，得yzs(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+yp(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Czs1=–1/3,Czs2=1yzs(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0§3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)兩個(gè)常用的求和公式：(k2≥k1)§3.3卷積和一、卷積和1.序列的時(shí)域分解任意序列f(k)可表示為f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…2.任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)卷積和3.卷積和的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡稱卷積；記為f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k的函數(shù)。二、卷積和的解法1.圖解法2.不進(jìn)位乘法（豎乘法）排成乘法f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)+—————————————————————f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(3)f2(1)f1(1)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}不進(jìn)位乘法適用有限長序列卷積舉例f1(k)={0，2，1，5，0}f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=1↑k=0求f(k)=f1(k)*f2(k)解3，4，0，62，1，5×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=1四、卷積和的性質(zhì)1.滿足乘法的三律：(1)交換律,(2)分配律,(3)結(jié)合律.2.f(k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)3.f(k)*ε(k)=4.f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)5.?[f1(k)*f2(k)]=?f1(k)*f2(k)=f1(k)*?f2(k)小結(jié)：本章介紹了差分的概念，差分方程的求解方法，以及詳細(xì)分析了離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解，是離散系統(tǒng)時(shí)域分析的基礎(chǔ)；介紹了單位序列、單位階躍序列，離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)和階躍序列響應(yīng)，是離散系統(tǒng)時(shí)域分析的重要內(nèi)容；介紹了卷積和的概念，通過卷積和的圖示方法說明卷積和的含義，詳細(xì)分析了卷積和的重要性質(zhì)，是離散系統(tǒng)時(shí)域分析的重要手段。傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析三、信號(hào)的正交分解（1）函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和（2）巴塞瓦爾能量公式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。四、周期信號(hào)的功率——Parseval等式：信號(hào)的歸一化平均功率：§4.3周期信號(hào)的頻譜二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系T一定，t變小，此時(shí)W（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：w1/W=（2p/t）/(2p/T)=T/t增多。t一定，T增大，間隔W減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。§4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。二、常用函數(shù)的傅里葉變換1.矩形脈沖(門函數(shù)）2．單邊指數(shù)函數(shù)3．雙邊指數(shù)函數(shù)4．沖激函數(shù)d(t)、d′(t)5．直流信號(hào)1←→2pd(w)6.符號(hào)函數(shù)§4.5傅里葉變換的性質(zhì)一．線性性質(zhì)若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，則[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]二．奇偶虛實(shí)性若f(t)是實(shí)函數(shù),且f(t)←→F(jω)=|F(jω)|ejj(ω)=R(ω)+jX(ω)則·R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)，·|F(jω)|=|F(–jω)|，j(ω)=–j(–ω)，·f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)·若f(t)=f(–t)，則X(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)·若f(t)=–f(–t)，則R(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)三、對(duì)稱性四、尺度變換性質(zhì)五、時(shí)移特性六、頻移性質(zhì)七、卷積性質(zhì)1。時(shí)域卷積：f1(t)*f2(t)←→F1(j)F2(j)2．頻域卷積：f1(t)f2(t)←→F1(j)*F2(j)八、時(shí)域的微分和積分九、頻域的微分和積分(-jt)nf(t)←→F(n)(j)§4.6能量譜和功率譜一．帕塞瓦爾關(guān)系二．能量譜密度（能量譜）·定義能量譜指單位頻率的信號(hào)能量，記為E(ω)在頻帶df內(nèi)信號(hào)的能量為E(ω)df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的總能量由帕塞瓦爾關(guān)系可得E(ω)=|F(jω)|2R(τ)←→E(ω)能量譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里