等腰三角形知識(shí)點(diǎn)歸納及提高(上海教材七年級(jí)數(shù)學(xué))

上海教材七年級(jí)數(shù)學(xué)PAGEPAGE4等腰三角形知識(shí)點(diǎn)歸納及提高知識(shí)總結(jié)歸納：（－）等腰三角形的性質(zhì)1.有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；2.定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定1.有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”。）推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2.定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。3.等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來定。例1.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DM⊥BC，所以想到連結(jié)BD，證BD＝ED。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可證∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，從而問題得證。例2.如圖，已知：中，，D是BC上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。分析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求。說明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。2.注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。3.此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。例3.已知：如圖，中，于D。求證：。分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。說明：1.作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線；2.對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。?？碱}型：1.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中的等腰三角形有（）A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇C。2.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分別是垂足。求證：AE＝AF。證明：因?yàn)?，所以又因?yàn)樗杂諨是BC的中點(diǎn)，所以所以所以，所以說明：證法二：連結(jié)AD，通過證明即可題形展示：例1.如圖，中，，BD平分。求證：。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計(jì)算可以得出。分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng)BD到E，使DE＝AD，這樣BD＋AD=BD+DE=BE，只需證明BE＝BC，由于，只需證明易證，，故作的角平分線，則有，進(jìn)而證明，從而可證出。證明二：延長(zhǎng)BD到E，使DE＝AD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。由證明一知：則有DF平分，在和中，而在和中，在中，說明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力。練習(xí)：1.選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（）A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不對(duì)2.如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)是________。3.求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上.4.中，，AB的中垂線交AB于D，交CA延長(zhǎng)線于E，求證：。試題答案:1.B2.分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因?yàn)槭堑冗吶切嗡砸驗(yàn)椋运栽谥?，因?yàn)樗裕运?.分析：首先將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語言和圖形語言。已知：如圖，在中，，D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥?，所以（等邊?duì)等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以（中線定義）在和中，所以所以（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以（等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OB＝OC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開放題：“△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AC、AB上的中點(diǎn)，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過點(diǎn)A作BC邊的垂線AF，垂足為F。在中，所以所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）