大學(xué)文科數(shù)學(xué)（第二版）PPT完整全套教學(xué)課件

大學(xué)數(shù)學(xué)第1章函數(shù).pptx第2章微積分的基礎(chǔ).pptx第3章變化率和局部線性化.pptx第4章變量的累加——積分.pptx第5章進(jìn)1步的應(yīng)用——從微分到微分方程.pptx第6章處理線性關(guān)系的數(shù)學(xué)——線性代數(shù).pptx全套可編輯PPT課件

函數(shù)是微積分研究的對象，要學(xué)習(xí)微積分，首先要了解函數(shù).大家對于函數(shù)的基本概念應(yīng)該都是熟悉的，所以本章僅對函數(shù)作一個(gè)概括，給出一些理解性的論述.第一章

微積分研究的對象——函數(shù)§1表示變量因果關(guān)系的函數(shù)§2函數(shù)的實(shí)例§1表示變量因果關(guān)系的函數(shù)一、函數(shù)的概念二、區(qū)間與鄰域三、函數(shù)的表示四、反函數(shù)五、基本初等函數(shù)和初等函數(shù)六、函數(shù)的基本性質(zhì)世間出現(xiàn)的各種變量之間，有些是有聯(lián)系的，有些則沒有.我們熟悉的一元函數(shù)就是兩個(gè)變量的相互關(guān)系，如圓的面積公式半徑定了，面積自然定了.就稱為因變量，產(chǎn)生

S的法則(公),就稱為對應(yīng)法則.

在一般情形下，對應(yīng)法則用表示.因此這個(gè)變量就稱為自變量，

的變化是由于的變化引起的，表達(dá)的就是變量之間的因果關(guān)系，是用來描述事物（變量）關(guān)系變化的工具.函數(shù)一、函數(shù)的概念定義1其中變量在數(shù)集中取值.則稱

y是x的函數(shù)（或稱f是數(shù)集D上的函數(shù)），與,設(shè)有兩個(gè)變量如果對于每個(gè)

，變量都能按照一個(gè)確定的對應(yīng)法則有唯一的值與它對應(yīng)，記作這里是自變量，是因變量，因變量的取值范圍稱為值域.的取值范圍稱為函數(shù)的定義域，一個(gè)函數(shù)由它的定義域和對應(yīng)法則唯一確定，值域并不是一個(gè)函數(shù)的獨(dú)立要素.函數(shù)的英語名稱是“function”，所以習(xí)慣用

f表示函數(shù).函數(shù)的表達(dá)式是函數(shù)對應(yīng)法則的代數(shù)解釋.一個(gè)函數(shù)可以與直角坐標(biāo)中的一條曲線的圖形如右圖所示.函數(shù)相對應(yīng)，圖像，這就是對應(yīng)法則的幾何解釋.這條曲線稱為該函數(shù)的圖形或分產(chǎn)生的催化劑.

勒奈·笛卡爾（ReneDescartes）一條幾何曲線可以用某個(gè)函數(shù)來表示，立了解析幾何.（圖形）的相互轉(zhuǎn)化，極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，這是笛卡爾創(chuàng)立直角坐標(biāo)系后的事情.笛卡爾將代數(shù)和幾何結(jié)合在一起，建代數(shù)（公式）和幾何是一個(gè)劃時(shí)代的貢獻(xiàn).直角坐標(biāo)系的建立是近代數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，為微積分的創(chuàng)立打下了基礎(chǔ)，是微積這些區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間，設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且

實(shí)數(shù)集稱為開區(qū)間，記為實(shí)數(shù)集稱為閉區(qū)間，記為[a,b].

類似的還有左開右閉區(qū)間左閉右開區(qū)間是這幾種區(qū)間的長度.其中a,b稱為這些區(qū)間的端點(diǎn)，二、區(qū)間與鄰域除了有限區(qū)間，還有無限區(qū)間：全體實(shí)數(shù).鄰域在今后學(xué)習(xí)中要經(jīng)常用到，必須掌握.鄰域是一種特殊的區(qū)間.是實(shí)數(shù)，設(shè)稱數(shù)集為點(diǎn)a的鄰域，記作a是這個(gè)鄰域的中心，是鄰域的半徑.稱為點(diǎn)a的去心鄰域，記作顯然也就是將鄰域中心去掉后的實(shí)數(shù)集.例1

試確定下列函數(shù)的定義域：解（1）要使有意義，必須分母不為零，（1）（2）即所以的定義域是（2）易知中第一項(xiàng)的定義域是第二項(xiàng)的定義域?yàn)榧磃(x)的定義域?yàn)閿?shù)關(guān)系.1.解析法（或稱公式法）.這是在以往的學(xué)習(xí)中，大家比較熟悉的函數(shù)表示法，即函數(shù)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系用一個(gè)公式來表示.如線性函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù)等等.有時(shí)兩個(gè)變量盡管有聯(lián)系，但卻很難找出一個(gè)公式來表示它們之間的函數(shù)關(guān)系，這是就需要用其他方式來表示變量之間的函三、函數(shù)的表示2.數(shù)值法（表格法）.數(shù)值法是將兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系通過數(shù)值對應(yīng)的形式表示函數(shù)的方法.如下表是2010年上海世博會(huì)某天（9月8日）入園人數(shù)與時(shí)間的關(guān)系，顯然這是一個(gè)用數(shù)值（表格）表示的函數(shù)關(guān)系.在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，通常只能通過數(shù)值方法來表示.(單位：千人)時(shí)間t910111213141618202224入園人數(shù)01411902022092142242412492502503.圖形法.圖形法是通過圖形來表示函數(shù)：在一個(gè)直角坐標(biāo)中的一條曲線，當(dāng)任何垂直于x軸的直線與該曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這條曲線就表示一個(gè)函數(shù)：其定義域D是曲線在x軸上的投影在定義域中任取一點(diǎn)的直線與曲線交于唯一的一過點(diǎn)與x軸垂直點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是點(diǎn)的對應(yīng)值.都是數(shù)值形態(tài)的.通過上面的討論，可知函數(shù)通常有三種表示方法：解析法（公式法），數(shù)值法（表格法）和圖形法.在計(jì)算機(jī)飛速發(fā)展的今天，數(shù)值法越來越顯示出它的重要性.而且在我們?nèi)粘Ｉ詈蜕鐣?huì)人文科學(xué)中碰到的函數(shù)關(guān)系，很多都是數(shù)值形態(tài)的.如國民經(jīng)濟(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，人口與消費(fèi)等等，體的對應(yīng).公式法的優(yōu)點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系明確，便于數(shù)學(xué)推導(dǎo)，在理論研究上非常重要.圖形法的優(yōu)點(diǎn)：形象，便于宏觀觀察，容易看出函數(shù)的變化趨勢，但不像公式法那樣精確.至于要求一點(diǎn)的函數(shù)值那就就只能根據(jù)圖形估計(jì)了.圖形法的優(yōu)點(diǎn)恰是公式法的缺點(diǎn)，圖形法的短處又恰是公式法的長處.數(shù)值法的優(yōu)點(diǎn)：表中列出的那些點(diǎn)的函數(shù)值非常明確，關(guān)系清楚，便于查找.如三角函數(shù)表，對數(shù)表等.對應(yīng)但缺少整即

例2某市出租車計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：3千米以內(nèi)14元，大于3千米小于（含）15千米，每千米2.5元，超過15千米，每千米3.8元.試列出行駛距離x與車費(fèi)y的函數(shù)關(guān)系式.解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，試舉出一個(gè)日常生活中分段函數(shù)的例子.這種在自變量不同的取值范圍用不同的公式來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).記作自變量與因變量之間的關(guān)系是相對的，如圓的面積公式面積是半徑的函數(shù)，而將面積S作為自變量時(shí)，定義2對應(yīng)D

的值域是則這個(gè)對應(yīng)法則定義了在數(shù)集W上的一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為將半徑r是當(dāng)作自變量時(shí)，半徑r

是S的函數(shù)：設(shè)函數(shù)在數(shù)集D

上有定義，如果對任何在D

中有唯一的數(shù)x

，使在D上的反函數(shù)，四、反函數(shù)習(xí)慣上用x

表示自變量，y

表示因變量.將反函數(shù)中兩個(gè)變量位置互換一下，是D

.容易驗(yàn)證：反函數(shù)的圖形與直接反之亦然.得到以后說函數(shù)的反函數(shù)就是指其定義域是函數(shù)的圖形是關(guān)于直線對稱的.這是因?yàn)槿酎c(diǎn)在曲線上，則在曲線上，所以，曲線與是關(guān)對稱.于直線值域因?yàn)閷Φ窃诮馇蠓春瘮?shù)的方法是：再將x,y互換即可.于是再互換x

y，得到要求的反函數(shù)例3二次函數(shù)在其定義域中沒有反函數(shù)，于任何有兩個(gè)值與之對應(yīng).上，有反函數(shù)在上，有反函數(shù)例4求函數(shù)的反函數(shù).先從解出x，得到先解出x，得從上面的討論知道,函數(shù)種類有很多,的只能用表格和圖形表示.在所有能用公式表示的函數(shù)中，有六類我們常見的函數(shù)稱為基本初等函數(shù).有些能用公式表示,有應(yīng)的函數(shù)值總是常數(shù)

C

.1.常值函數(shù)：即不論自變量取何值，其對（C

是常數(shù)），理數(shù).2.冪函數(shù)：是實(shí)數(shù).中學(xué)階段的冪函數(shù)要求是有當(dāng)時(shí)，就是熟知的二次函數(shù)Oyx11Oxy當(dāng)時(shí)，為時(shí)，是反比例函數(shù)0yx特別當(dāng)時(shí)，3.指數(shù)函數(shù)：0yx(0,1)0yx(1,0)對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，4.對數(shù)函數(shù)：當(dāng)時(shí)，就是非常重要的自然對數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)：0yx0yx12-2-16.反三角函數(shù)：0yx1-10yx0yx1-10yx所看到的函數(shù)絕大部分都是初等函數(shù).這6類函數(shù)經(jīng)過有限次的加減乘除以及復(fù)合運(yùn)算，產(chǎn)生的函數(shù)如果能用一個(gè)公式表示，就稱為初等函數(shù).在現(xiàn)階段我們什么是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算？有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系不那么直接，需要通過第三個(gè)變量聯(lián)系起來，如在物體的自由落體中，動(dòng)能E

與時(shí)間t

之間的關(guān)系就是要通過速度v

獲得：物體的質(zhì)量是m

，速度又是時(shí)所以動(dòng)能E

就成了時(shí)間t

的函數(shù)這個(gè)過程，就是函數(shù)的復(fù)合，中間出現(xiàn)過的變量v

稱為中間變量.動(dòng)能與速度的關(guān)系是間的函數(shù)稱為由函數(shù)與復(fù)合得到的復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)實(shí)際上是通過若干個(gè)中間變量，最終將兩個(gè)不直接相關(guān)的變量（自變量和因變量）建立起函數(shù)關(guān)系.則這兩個(gè)函數(shù)就可以復(fù)合成通常稱f

為外層函數(shù)，稱g

為內(nèi)層函數(shù).一般情況下，對于兩個(gè)函數(shù)如果的值域與的定義域有公共部分，是由基本初等函數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的；函數(shù)是由例5復(fù)合而成.分段函數(shù)：例6第二個(gè)函數(shù)常稱為符號函數(shù).它們的圖像分別是：1-1yxO分段函數(shù)一般是不能用一個(gè)公式表示的，因此不是初等函數(shù).但也有例外.例7

是分段函數(shù)，所以是初等函數(shù).例8世界上有兩個(gè)溫度標(biāo)準(zhǔn)：華氏度和攝氏度.其中x

表示華氏度，y

表示攝氏度.有了這個(gè)公式，你就不會(huì)被華氏溫度搞糊涂了.但可以用表示，這兩個(gè)溫度標(biāo)準(zhǔn)之間的關(guān)系是一步熟悉和學(xué)習(xí)微積分是有很大好處的.函數(shù)的基本性質(zhì)是指有界性，單調(diào)性，奇偶性和周期性.不是每個(gè)函數(shù)都會(huì)有這些性質(zhì)，但了解這些性質(zhì)對我們今后進(jìn)六、函數(shù)的基本性質(zhì)注意，定義中的M

只要存在就行，并沒有要求是最小的.1.有界與無界函數(shù)有界性是一個(gè)很重要的性質(zhì)，所謂有界，就是指這個(gè)函數(shù)的值域可以包含在某個(gè)閉區(qū)間中.如果存在一個(gè)正數(shù)則稱函數(shù)f

是數(shù)集D

上的有界函數(shù)，或稱f

在D

上有界.否則就稱f

在D

上無界.定義2設(shè)函數(shù)在數(shù)集D

上有定義，使函數(shù)的值域即對所有的成立，使得無界是有界的反面，函數(shù)f

在D

上無界就是再大的閉區(qū)間也無法將該函數(shù)的值域包含在內(nèi)，總有例外.數(shù)學(xué)化的表述就是：對于任何無論怎樣大的正數(shù)M，個(gè)x

與M有關(guān)），總有（下標(biāo)M是指這宋朝葉紹翁的詩《游園不值》中的詩句再大的園子(閉區(qū)間)也無法將所有的從文學(xué)的意境表達(dá)了無界的含義：詩的(某個(gè)函數(shù)值)跑到園子的外面.“春色滿園關(guān)不住，一枝紅杏出墻來.”春色（函數(shù)值）關(guān)住，比喻如此恰切,其意境把枯燥的數(shù)學(xué)語言形象化了.總有一枝紅杏也無法將其全部包含.

內(nèi)是有界函數(shù)，數(shù)，因?yàn)楫?dāng)自變量x

無限接近于0時(shí)，其函數(shù)值會(huì)無限地增大，再大的閉區(qū)間（y軸上，值域）例9正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在其定義域因?yàn)閷σ磺械亩加蟹幢壤瘮?shù)在上是有界函因?yàn)楫?dāng)時(shí)，而在上則是無界的，可見，函數(shù)的有界性與所考慮的自變量的取值范圍有關(guān)，范圍上無界，在小范圍內(nèi)可能就有界了！函數(shù)在區(qū)間上有界的幾何解釋是：函數(shù)在區(qū)間之間.上的圖形位于兩條直線與在大例10

判斷下列函數(shù)的有界性：（1）（2）

M

只要存在即可，并不要求是最好的，或最小的.解一個(gè)函數(shù)是否有界，就看是否能找到一個(gè)正數(shù)M

，使得對一切在討論范圍的x

，有（1）因?yàn)樗则?yàn)證如下：就有（2）觀察的圖像，可以判斷出在區(qū)間上無界.對任意（不論多大），只要取上無界.所以，在區(qū)間問題在其定義域上是否有界？不斷增加（或減少）就可以了.

2.單調(diào)增加與單調(diào)減少函數(shù)的單調(diào)增加（或減少）是指當(dāng)自變量變大時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值也在變大(或變小).函數(shù)單調(diào)增加和減少統(tǒng)稱為函數(shù)單調(diào)性.如果一個(gè)函數(shù)的定義域是有限集，這個(gè)函數(shù)就可以列成表格.函數(shù)是否單調(diào)，只要把自變量由小到大排列起來，看函數(shù)值是否40年來我國國民生產(chǎn)總值（簡稱GDP）年度數(shù)據(jù)見表，例11上面的方法就不好用了.

從表中看到，隨著時(shí)間的增加,GDP也增加，顯然是單調(diào)增加函數(shù).由于只有有限個(gè)數(shù)據(jù)，一個(gè)個(gè)地比較就可以判斷了，沒什么困難.但是如果定義域是一個(gè)區(qū)間，就無法將一個(gè)區(qū)間的實(shí)數(shù)按大小排起來，怎么檢驗(yàn)“自變量變大時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值也在變大”這個(gè)條件呢？年份19781980198519901995200020052010201520162017GDP(億元)362445178964185485848789468183868397983689052743585827122顯示了數(shù)學(xué)語言的簡潔而且嚴(yán)密.在D上嚴(yán)格單調(diào)增加（或單調(diào)增加）.少）.在這里，完成了對“自變量變大時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值也在變大”的檢驗(yàn)，設(shè)函數(shù)在數(shù)集D

上有定義，如果對于任意兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有(或則稱函數(shù)如果對于任意兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有(或則稱函數(shù)在D上嚴(yán)格單調(diào)減少（或單調(diào)減用“任意兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有”少.在其定yx1O與有界性類似，與自變量的取值范圍有關(guān).例12通過函數(shù)的圖像，容易看出，線性函數(shù)

義域上嚴(yán)格單調(diào)增加；指數(shù)函數(shù)在其定義域上嚴(yán)格單調(diào)增加；在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)減如二次函數(shù)在上單上則不具有單調(diào)性.而在整個(gè)定義域函數(shù)的單調(diào)性也調(diào)增加，上單調(diào)減少，在3.奇偶性和周期性設(shè)函數(shù)f

在數(shù)集D

上有定義，

D關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果可見，奇函數(shù)的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，而偶函數(shù)的圖像是關(guān)于

y

軸對稱的.則稱f

為D

上的偶函數(shù)；如果則稱f

為D

上的奇函數(shù).設(shè)函數(shù)f

的定義域?yàn)镈

.則稱f

為周期函數(shù)，

T

稱為周期.一般所說的周期都是指最小正周期，如果對一切成立，使得成立的最小正數(shù)t

稱為f

的最小正周期.如的周期是等等.的周期是問題如何說明函數(shù)在某區(qū)間上不具有單調(diào)性？§2函數(shù)的實(shí)例這與復(fù)利是同一性質(zhì)的問題.例1復(fù)利問題.銀行要對存貸款計(jì)算利息，是金融學(xué)中的一個(gè)基本問題.計(jì)息方法有多種，最常見的有單利計(jì)息和復(fù)利計(jì)息.所謂復(fù)利計(jì)息，就是每個(gè)計(jì)息期滿后，隨后的計(jì)息期將前一計(jì)息期得到的利息加上原有本金一起作為本次計(jì)息期的本金，俗稱“利滾利”.這好比一對兔子，經(jīng)過一段妊娠期之后，會(huì)生出一對小兔子出來.此后，大兔子繼續(xù)生小兔，小兔子又會(huì)生小小兔，小小兔還會(huì)生小小小兔子…….試問經(jīng)過一段時(shí)間之后，將會(huì)有多少對兔子？公式一般銀行計(jì)息周期是以年為單位的，即每年計(jì)息一次.設(shè)年金加利息的和）為因此，經(jīng)過連續(xù)n

個(gè)計(jì)息期的到期本利和就是下面的復(fù)利計(jì)息利率為r

，本金為A

，本利和（本一年以后的利息為于是第二個(gè)計(jì)息期以為本金，到期的本利和為樣的結(jié)果.如果每年不是計(jì)息一次，而是計(jì)息t

次（如三個(gè)月的定期存款，每年計(jì)息4次），于是原n

個(gè)計(jì)息期就變成了nt

個(gè)計(jì)息期，而這樣復(fù)利公式就變成了以后還會(huì)看到，當(dāng)t

越來越大趨于無窮時(shí)，上面的公式會(huì)是怎每個(gè)計(jì)息期的利率則是80%，例2測定生物體年齡.減，碳12是非放射性物質(zhì).活性物體（生物或植物）通過與外界的相互作用（吸納食物、呼吸等）獲得碳14，恰好補(bǔ)償碳14衰減損失量而保持碳14和碳12含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù).但生物死亡后由于碳14無法得到補(bǔ)充，會(huì)隨時(shí)間的增長而逐漸衰減.因此碳14測定技術(shù)已經(jīng)成為考古學(xué)的常用技術(shù)手段，它是數(shù)學(xué)應(yīng)用的結(jié)果.現(xiàn)已測知一古墓中遺體所含碳14的數(shù)量為原有碳14數(shù)量的試求遺體的死亡年代.碳14()是放射性物質(zhì)，隨時(shí)間而衰解科學(xué)研究已經(jīng)證實(shí)，放射性物質(zhì)的衰減速度與該物質(zhì)的含量成比例，并且符合指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律.數(shù)關(guān)系就是衰減系數(shù)k

是這樣確定的：從化學(xué)知識知道，5730年，因此有設(shè)遺體當(dāng)初死亡時(shí)的含量為在t

時(shí)的含量為衰減的比例系數(shù)為常數(shù)k

，于是含量與時(shí)間的函即經(jīng)過5730年后其含量會(huì)減少一半，的半衰期是即兩邊取對數(shù)，得故墓中遺體已經(jīng)死亡了約1846年，即古應(yīng)該是漢朝人.將用于本題，已知代入得取對數(shù)用計(jì)算器計(jì)算得（年）.量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系：于是得到含該國人口將達(dá)到2億.例3人口模型.假設(shè)在一定時(shí)期內(nèi)，某國的年人口增長率（即出生率減去死亡率）是一個(gè)常數(shù)r

，以此類推，第n

年的人口為題）.將達(dá)到2億.解設(shè)n

年后人口達(dá)到2億，將具體數(shù)據(jù)代入上述公式，得取對數(shù)約35年后，則第二年的人口就是即如果第一年的人口為（可以看到人口問題與復(fù)利問題也是同一性質(zhì)的問問多少年后，該國人口設(shè)該國原有人口為1億，r=2%,無內(nèi)在的原因？馬爾薩斯（Malthus，英國，1766-1834）根據(jù)上述模型提出了著名的馬爾薩斯人口理論.不過上述模型僅適用于生物種群（動(dòng)物、魚類、細(xì)菌）生存環(huán)境寬松的情況，當(dāng)生存環(huán)境惡化（如食物短缺）時(shí)此模型就不適用了.例2和例3的最終結(jié)果都?xì)w結(jié)到以e為底的指數(shù)函數(shù)（在第二章可以看到例1最終也歸結(jié)為以e為底的指數(shù)函數(shù)），其中有當(dāng)r

很小時(shí)，有于是人口函數(shù)模型還可以寫成如果可以請寫出具體表達(dá)式.思考題1.復(fù)合函數(shù)可以是分段函數(shù)嗎？問f(x)是否可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和？2.設(shè)f(x)

在開區(qū)間上有定義，“極”、“限”二字，在我國古代就有了.今天人們把“極限”連起來，將不可逾越的數(shù)值稱為極限，因此“挑戰(zhàn)極限”成了當(dāng)今的流行用語.1859年清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811～1882）和英國傳教士偉列亞力翻譯《代微積拾級》時(shí)，將“l(fā)imit”翻譯為“極限”，用以表示變量的變化趨勢，極限也就成為了數(shù)學(xué)名詞.第二章微積分的基礎(chǔ)——極限§1數(shù)列極限的初步認(rèn)識§2數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義§3數(shù)列極限的性質(zhì)§4函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)性第一講

數(shù)列極限的概念§1數(shù)列極限的初步認(rèn)識《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日去其半，萬世不竭”常常作為極限的例子.這個(gè)“棰”的剩下部分的長度用數(shù)學(xué)符號表示，就是數(shù)列當(dāng)時(shí)間n

的不斷增加并趨向于無窮大時(shí)，盡管它剩下部分的長度總不會(huì)是零，但會(huì)無限地接近0，最后的歸宿就是0.這非常形象地描述了一個(gè)無限變化的過程.

稱為數(shù)列，一般根據(jù)某個(gè)規(guī)則按照自然數(shù)順序排成一列的無限多個(gè)實(shí)數(shù)其中稱為該數(shù)列的通項(xiàng),數(shù)列可以簡記為則稱a

是數(shù)列的極限，其極限是0.有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.如果數(shù)列的通項(xiàng)隨著n

增大而能無限接近某個(gè)固定常數(shù)a，稱這個(gè)數(shù)列是收斂的，記作如上面“一尺之棰”的數(shù)列例3這個(gè)數(shù)列雖然不像例1那樣是單調(diào)減少地逼近極限，但還是有極限的，其極限是1，盡管數(shù)列的通項(xiàng)不斷在1的兩邊振蕩，一會(huì)兒大，一會(huì)兒小.例4

數(shù)列沒有極限.通項(xiàng)通項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，所以沒有極限.例1例2始終在1與-1之間振動(dòng)，數(shù)列通項(xiàng)極限數(shù)列通項(xiàng)圓周率π也可以是一有理數(shù)列的極限.對數(shù)列極限，作以下討論.（1）有理數(shù)組成的收斂數(shù)列，極限值可能是有理數(shù)，也可能是無理數(shù).其極限是0.則可以看成是其不足近似組成的有理數(shù)列{1.4,1.41,1.414,1,4142,···，}的極限.這個(gè)數(shù)列雖然寫不出通項(xiàng)，如由有理數(shù)構(gòu)成的數(shù)列又如無理數(shù)卻知道它無限接近實(shí)數(shù)（2）由例3，數(shù)列收斂時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)不必單調(diào)增加或單調(diào)減少地逼近極限；同樣，收斂數(shù)列的各項(xiàng)也不必一定是后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)更靠近極限值，但是最后的總趨勢還是趨向極限值.例如數(shù)列的極限是0，但是各項(xiàng)離極限0的距離忽大忽小，第3項(xiàng)1/4離0近，第4項(xiàng)1/3反而離0遠(yuǎn)些，不過它的總體趨勢還是趨向于0.

（3）不要忘記常數(shù)列，常數(shù)列總是有極限的.

例如，常數(shù)列1，1，···，1，···的極限就是1本身.（4）收斂數(shù)列的極限是唯一的，但是不同的數(shù)列卻可以有相同的極限.例如，0可以是下列數(shù)列的極限：0,0，···，0，···本節(jié)要用數(shù)學(xué)語言來給出極限的嚴(yán)格定義，數(shù)學(xué)符號的.看看數(shù)學(xué)家是如何§2數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義將極限的“無限接近”這種可以意會(huì)，難以言傳的說法精確成定義1

a

是一個(gè)實(shí)數(shù)，如果對任意給定都存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，總有記作設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，（無論多么?。?，的正數(shù)則稱a

是數(shù)列的極限，或是收斂的.此時(shí)也稱數(shù)列定義中用加、減、絕對值，大于小于這樣的“算術(shù)”運(yùn)算和符號，將“無限增大”、“無限接近”靜態(tài)化和有限化了.動(dòng)態(tài)的、無限的極限過程，有限的詞語揭開了“無限”的面紗，非常精確，彰顯了數(shù)學(xué)的魅力.例1用定義驗(yàn)證如下：為了使得只要把N取為10000，上述不等式就成立了.再給小一點(diǎn)，有問題，只要將N取成10000000，當(dāng)n>N時(shí)，同樣有不等式驗(yàn)證數(shù)列的極限是1.任給一個(gè)很小的正數(shù)（比如），由于是任意給定的，比如那也沒因此，到?。?dāng)n>N時(shí)，一定有不等式成立.你無論給出多么小的正數(shù)（總能取只要取正整數(shù)的極限是1.這就驗(yàn)證了數(shù)列學(xué)化的表示，莊子《內(nèi)篇?養(yǎng)生主》：“吾生也有涯，而知也無涯.以有涯隨無涯，殆已”.意思是人生是有限的，知識是無限的，如果什么都想知道，事事最求完美，那必然要失敗的.莊子這句話有些頹廢，人的一生雖然不能窮盡所有知識，但是人的創(chuàng)造性思維，卻能跨越無限，用可以操作的有限來表達(dá)無限.極限的這一定義，是牛頓-萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分后，經(jīng)過很多數(shù)學(xué)家近200年的不斷完善、總結(jié)得到的.正是其嚴(yán)格且簡潔的數(shù)奠定了微積分發(fā)展的基礎(chǔ).第二講

數(shù)列極限的性質(zhì)有了一個(gè)數(shù)學(xué)概念之后，為了對這個(gè)概念有進(jìn)一步的了解，就應(yīng)該來討論概念的性質(zhì).極限也是如此.§3數(shù)列極限的性質(zhì)性質(zhì)一（唯一性）

性質(zhì)二（四則運(yùn)算）若數(shù)列收斂，則其極限是唯一的.如果則有2）乘法法則3）除法法則當(dāng)時(shí)，1）加減法則4）如果k

是常數(shù)，則5）性質(zhì)3（有界性）如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n

，注1當(dāng)然沒有.所以這個(gè)性質(zhì)有時(shí)用來判斷數(shù)列發(fā)散（沒有極限）是有用的.是無界數(shù)列，所以沒有極限.如果數(shù)列收斂，則是有界數(shù)列.都有則稱數(shù)列是有界數(shù)列.如果數(shù)列無界，它會(huì)有極限嗎？如數(shù)列問題無界數(shù)列用數(shù)學(xué)語言怎么表達(dá)？可參照函數(shù)無界的定義.性質(zhì)4（保不等式性）且對所有的正整數(shù)即對應(yīng)項(xiàng)大的數(shù)列，極限也大，這比較容易理解.更通俗的說法是，非負(fù)的數(shù)列，其極限也是非負(fù)的.每一項(xiàng)都是非負(fù)，所以其極限不可能是負(fù)的.設(shè)n

，有則又有：如果且則比如但沒有極限！注2

所以有界只是數(shù)列收斂的必要條件.如數(shù)列有界，從數(shù)列有界卻不能得出收斂，接近于a

還能到哪里去？性質(zhì)5（迫斂性）則設(shè)數(shù)列和極限都是a

，若數(shù)列滿足：存在當(dāng)時(shí)，有由于隨著n

的增加而無限接近于a

，被夾在中間的不無限性質(zhì)6

單調(diào)有界的數(shù)列一定有極限.是單調(diào)增加和單調(diào)減少的總稱，單調(diào)增加（減少）是指：數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)大（?。?，即對一切的正整數(shù)n

，這個(gè)性質(zhì)用圖示更容易理解：數(shù)列一項(xiàng)比一項(xiàng)大，能超過M

，數(shù)列單調(diào)，有數(shù)列是單調(diào)增加的且有上界M，因此必定有極限但又不可以用來證明某些數(shù)列的收斂性.有極限的數(shù)列一定是有界的，但是有極限的數(shù)列不一定是單調(diào)的，所以，單調(diào)有界只是數(shù)列收斂的充分條件，比如數(shù)列數(shù)要稱為“自然對數(shù)”.用字母e表示它的極限，即：這是一個(gè)非常著名的極限，在中學(xué)時(shí)就認(rèn)識以e為底的自然對數(shù)：原來這個(gè)e不是隨意想出來的！以后還會(huì)看到，這個(gè)e實(shí)在是自然界創(chuàng)造的，所以以e為底的對例1可以證明數(shù)列是單調(diào)增加且有界的，其極限存在.第三講

數(shù)列極限舉例解所以解例2計(jì)算根據(jù)性質(zhì)二，以及例3計(jì)算因?yàn)槎虼?，?解計(jì)算解這個(gè)極限不能直接用運(yùn)算法則（性質(zhì)二）計(jì)算.于是例5計(jì)算為此先用同除分子分母，解與上例類似，用n

同除分子分母，所以例6求極限因?yàn)榻庥欣?用同乘分子分母，解則有根據(jù)性質(zhì)5，得例8求極限設(shè)容易看到解

對任意正整數(shù)n

，有所以數(shù)列是單調(diào)增加的.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法得知，對一切正整數(shù)n

，是有界的，例9證明有極限，并求這個(gè)極限.數(shù)列的通項(xiàng)是又由于設(shè)則有且即數(shù)列又所以數(shù)列有極限，設(shè)明顯有上式兩邊同時(shí)取極限，因此得到對兩邊平方，得注意解得或者由于故其極限（性質(zhì)四），所以第四講

函數(shù)極限概念與性質(zhì)微積分是用極限方法研究函數(shù)的性質(zhì).這一節(jié)討論函數(shù)的極限和連續(xù)性，看看數(shù)學(xué)是如何表達(dá)連綿不斷的“連續(xù)性”.

§4函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)極限二、無窮小量三、等價(jià)無窮小量和高階無窮小量四、函數(shù)的連續(xù)性五、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與存在性定理先看一個(gè)例子.一、函數(shù)極限數(shù)列可以看成是一種特殊的函數(shù)，所以函數(shù)極限與數(shù)列極限有相似之處，但又有不同，因?yàn)楹瘮?shù)的自變量是連續(xù)變化的.極限.所以下面重點(diǎn)討論為了對這類函數(shù)極限有一個(gè)感性認(rèn)識，因此，函數(shù)除了有時(shí)的極限，時(shí)的極限與數(shù)列極限沒有本質(zhì)的區(qū)別，時(shí)函數(shù)的極限問題.還有x

趨向于一個(gè)有限值的例1函數(shù)值的變化趨勢.可以看到，當(dāng)x

無限接近1時(shí)，函數(shù)f(x)的值就會(huì)無限接近2，考察當(dāng)自變量x

趨于1時(shí)，函數(shù)而2恰好是f(x)在的函數(shù)值：x0.90.950.990.99911.0011.011.051.11.91.951.991.99922.0012.012.052.1所以，當(dāng)時(shí)，

f(x)的極限為記為例2同樣考察當(dāng)自變量x

趨于1時(shí)的極限.所以當(dāng)x

無限接近1時(shí)，盡管函數(shù)g(x)在但是并不妨礙其函數(shù)值無限接近2，函數(shù)與例1中函數(shù)不同之處在于定義域不一樣.當(dāng)時(shí)，與上例中的函數(shù)一致.處沒有定義，因此x0.90.950.990.99911.0011.011.051.11.91.951.991.999無定義2.0012.012.052.1函數(shù)f(x)和g(x)的圖形如圖所示.還有其他原因嗎？上面兩個(gè)例子告訴我們，關(guān)心的是函數(shù)f(x)變化趨勢，問題是，除了邏輯上的原因，在考察函數(shù)f(x)當(dāng)?shù)臉O限時(shí)，與f(x)在是否有定義沒有關(guān)系.我們?yōu)槭裁匆懻摵瘮?shù)在有限值處是否有極限？平均速度為

v

的值就無平均速度v

的值就無限接近考察位移函數(shù)從時(shí)刻到時(shí)刻x

的平均速度，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)x無限接近時(shí)，限接近從直觀上看，當(dāng)x

無限接近時(shí)，在處的瞬時(shí)速度.因此在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為的極限是有實(shí)際價(jià)值的.所以求x

趨向于一個(gè)有限值也可定義1

如果當(dāng)自變量x

函數(shù)f(x)的值可以無限接近某個(gè)確定的常數(shù)A，函數(shù)f(x)有極限A，或稱A是函數(shù)記為自變量的方式，可以以任何方式從兩邊同時(shí)靠近以從小于或大于的方向以任何方式靠近設(shè)函數(shù)在的一個(gè)空心鄰域上有定義，無限接近時(shí)，則稱當(dāng)自變量x

趨于時(shí)，f(x)在點(diǎn)的極限，或函數(shù)

f(x)的值無限接近某個(gè)確定的常數(shù)A，函數(shù)

f(x)有右極限A，記為函數(shù)

f(x)的值無限接近某個(gè)確定的常數(shù)A，函數(shù)

f(x)有左極限A，記為如果當(dāng)自變量且無限接近時(shí)，則稱當(dāng)自變量x

趨于時(shí)，或稱A是函數(shù)

f(x)在點(diǎn)的右極限，或如果當(dāng)自變量且無限接近時(shí)，則稱當(dāng)自變量x

趨于時(shí)，或稱A是函數(shù)

f(x)在點(diǎn)的左極限，或定理1定理1’的充分必要條件是的充分必要條件是函數(shù)極限也有與數(shù)列極限類似的性質(zhì)，如極限的唯一性、四則運(yùn)算性質(zhì)等.四則運(yùn)算給求函數(shù)極限帶來很多方便.上述法則對其他類型的極限也一樣成立.則有設(shè)（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（4）對于任何常數(shù)c

，任何正整數(shù)k

，有第五講

函數(shù)極限舉例例3例4

f(x)的右極限即因此根據(jù)定理1，例5設(shè)函數(shù)當(dāng)即設(shè)則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f(x)的左極限當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極限.對于冪函數(shù)（是實(shí)數(shù)），有例6所以根據(jù)極限四則運(yùn)算性質(zhì)，有例7解于是求函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.解因?yàn)橛?jì)算極限先用同除分子、分母，使得分子分母均有極限，于是

解因此不能直接用運(yùn)算法則，例8計(jì)算由于與均不存在，當(dāng)時(shí)，有解通過代數(shù)變換使之能使用運(yùn)算法則：例9計(jì)算即這是一個(gè)分式的極限，因此不能用極限的四則運(yùn)算來求這個(gè)極限.通過實(shí)驗(yàn)的方法，利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算可知：當(dāng)x越來越接近0時(shí)，例10重要極限當(dāng)時(shí)，分子、分母都趨于0，（注意這里的x

是弧度?。?，的值越來越接近1有了這個(gè)極限，就可以求一些有用的極限了.n

只能取自然數(shù)，因此是朝正的方向趨向無窮大；而x

是實(shí)數(shù)，因此可以朝正和負(fù)兩個(gè)方向遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)而趨于無窮大.但它們的極限都是e.同樣可以利用這個(gè)極限做一些計(jì)算.如例11重要極限這里與數(shù)列極限的有些差別.解

最后，給出函數(shù)極限的數(shù)學(xué)化定義.例12計(jì)算還可以變形為重要極限定義2

A是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).總存在實(shí)記為設(shè)函數(shù)f(x)在的空心鄰域上有定義，如果對任意給定的正數(shù)(無論多么小)，數(shù)使得當(dāng)時(shí)，總有成立，則稱函數(shù)f(x)在處有極限A，第六講

無窮小量，等價(jià)無窮小量二、無窮小量在所有極限過程中，極限為0的變量有著非常特殊的地位.極限為零的變量（函數(shù)）f(x)稱為無窮小量.就稱f(x)量.即如果(或)時(shí)，為(或)時(shí)的無窮小下面是幾個(gè)無窮小量的例.而又如就不是無窮小量了.特別地，常數(shù)中只有零才是無窮小量.可見，是否是無窮小量不僅與變量（函數(shù)）本身有關(guān)，還與極限過程有關(guān).還有，無窮小量是一個(gè)變量的變化過程，不能與很小的常數(shù)混為一談.根據(jù)無窮小量定義，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，是無窮小量；所以當(dāng)時(shí)，不再是無窮小量.當(dāng)是無窮小量，而當(dāng)時(shí)，x

是時(shí)的無窮小量.問題無窮小量是極限的一種，所以比照極限運(yùn)算法則，首先有性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有限個(gè)無窮小量的乘積仍是無窮小量.正是由于無窮小量是極限為零的變量，于是就得到了一個(gè)非常有用的運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)3無窮小量與有界（變）量的乘積仍是無窮小量.無窮小量有除法運(yùn)算法則嗎？為什么？例13計(jì)算：解根據(jù)性質(zhì)3，有（1）（2）（1）因?yàn)樗裕?）因?yàn)槎卩徲蛑杏薪?，存在的話，請分別求出這兩個(gè)極限.無窮小量與極限之間有下列關(guān)系定理2使得問題當(dāng)時(shí)，極限是否存在？的充要條件是存在時(shí)的無窮小量證也就是說無窮小量是有不同量級的.三、等價(jià)無窮小量和高階無窮小量但卻有由此可知，雖然都是無窮小量，但是趨于0的速度還是有快有慢，甚至相差很大，由已知，當(dāng)時(shí)，都是無窮小量，可得下面等價(jià)無窮小量：定義3無窮小量；根據(jù)前面的例子，設(shè)（其他極限過程也一樣）.（1）如果則稱當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小量，記作（2）如果則稱當(dāng)時(shí)，是與同階的無窮小量，特別當(dāng)時(shí)，稱當(dāng)時(shí)，是與等價(jià)的記作解因?yàn)槔?4當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，第七講

函數(shù)的連續(xù)性四、函數(shù)的連續(xù)性為了便于理解連續(xù)，先看兩個(gè)不連續(xù)的例子.例15設(shè)從函數(shù)的圖形看出，函數(shù)是由兩個(gè)的，當(dāng)x從小于0和大于0分別趨于0時(shí)，f(x)的左右極限不同，并函數(shù)(和)拼接而成處發(fā)生了斷裂(有一個(gè)跳躍).且都不等于函數(shù)圖形在例16將例2中函數(shù)g(x)做一個(gè)小的改造：盡管處也有定義，這樣函數(shù)就在處有定義了，這時(shí)有并且在1這點(diǎn)但是處也是間斷的.函數(shù)的圖形在一般地說，凡是在一點(diǎn)處，如果函數(shù)值在自變量趨向該點(diǎn)時(shí)沒有極限，或者有極限其值卻不等于該點(diǎn)的函數(shù)值，那就是不連續(xù)了.

現(xiàn)在可以正面描述函數(shù)的連續(xù)性了：定義4如果當(dāng)即設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域有定義，時(shí)，則稱f(x)在點(diǎn)連續(xù).如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱是f(x)的一個(gè)間斷點(diǎn).的極限存在并且等于該點(diǎn)的函數(shù)值如果設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(或)上有定義，(或)，右連續(xù)（或左連續(xù)）.則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)根據(jù)極限與左、右極限的關(guān)系.有定理3函數(shù)f(x)在點(diǎn)左右都連續(xù).函數(shù)f(x)在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是：連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x)在(a,b)上連續(xù)，或稱f(x)是(a,b)上的連續(xù)函數(shù).如果f(x)在閉區(qū)間[a,b]中間的每一點(diǎn)都連續(xù)，在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，或稱f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)在其定義域的每一點(diǎn)都是連續(xù)的，就稱這個(gè)函數(shù)為設(shè)則與等價(jià)，與等價(jià).首先，基本初等函數(shù)是其定義域上的連續(xù)函數(shù).定義4'定義4'更能反映函數(shù)連續(xù)的本質(zhì)：當(dāng)自變量變化很小時(shí)，函數(shù)值的變化也很小，什么樣的函數(shù)是連續(xù)的？函數(shù)f(x)在點(diǎn)連續(xù)又有了一個(gè)等價(jià)的定義.函數(shù)f(x)在上有定義，則稱f(x)在點(diǎn)連續(xù).并且隨而趨于0.若這樣函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算是產(chǎn)生初等函數(shù)的基本方法.定理4則和在處也連續(xù).設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)都在點(diǎn)處連續(xù)，補(bǔ)充定理（反函數(shù)的連續(xù)性）則的反函數(shù)是(開)區(qū)間

設(shè)是開區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)上嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù).其值域?yàn)楹瘮?shù),定理5且為設(shè)函數(shù)在處有極限函數(shù)在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在處極限存在，上面的極限式可以理解為：連續(xù)就是極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換，即且特別當(dāng)在處連續(xù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)在處也連續(xù)，初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的.這樣我們就得到了結(jié)論：第八講

連續(xù)性舉例即例17求極限解由于分子分母都是初等函數(shù)，因此例18所以在任并且當(dāng)時(shí)，分母不等于0，所以在處連續(xù)，由于多項(xiàng)式是初等函數(shù)，意處連續(xù)，解例19同樣對于有理函數(shù)（其中P(x)，Q(x)是多項(xiàng)式），在任何使的實(shí)數(shù)處連續(xù)，所以例20

求極限函數(shù)是連續(xù)的，所以解由此可得，例21求極限函數(shù)是連續(xù)的，所以當(dāng)時(shí)，與x是等價(jià)的無窮小量，即于是就得到了連續(xù)復(fù)利公式例22繼續(xù)討論利率，由第一節(jié)例1知，當(dāng)采用復(fù)利計(jì)息法，并且每年計(jì)息t

次的話，則n

年后一元本金的本利和為當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)，底的對數(shù)稱為“自然對數(shù)”也就十分自然了.實(shí)際上，自然界中任何“立即產(chǎn)生立即結(jié)算”的現(xiàn)象，都有與連續(xù)復(fù)利相同的函數(shù)模型，如細(xì)菌的繁殖，放射性物質(zhì)的衰減，生物的增長等的數(shù)學(xué)模型均為以為e底的指數(shù)函數(shù)，因此將以e為補(bǔ)充例子1求極限因此，解令且當(dāng)時(shí)，于是即補(bǔ)充例子2求極限解于是從第六講的例7得到經(jīng)驗(yàn),這個(gè)極限由分子分母最高次數(shù)項(xiàng)的系數(shù)確定.根據(jù)初等數(shù)學(xué)知識,分子分母的最高次數(shù)都是60次,補(bǔ)充例子3已知解

所以，補(bǔ)充例子4設(shè)下例函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，求

a

的值.解

由在處連續(xù),得到因此第九講

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與存在性定理數(shù)學(xué)中卻是十分有用的.五、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與存在性定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有兩個(gè)非常重要的性質(zhì)，這就是最大值最小值定理和介值性定理.這兩個(gè)定理在數(shù)學(xué)上被稱為“存在性定理”，也就是只知其存在，但不知存在于何處，盡管不十分完美，在定理6（最大、最小值定理）如果f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，有即f(x)還無法判定.則至少存在兩個(gè)點(diǎn)使得對所有的這里和分別是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，的函數(shù)值在處達(dá)到最大值，在處在哪里，和但究竟取到最小值，最小值，如如果函數(shù)

在[a,b]上有間斷點(diǎn)，其函數(shù)值就不一定有最大、在上

有間斷點(diǎn)，容易看到其函數(shù)值既沒有最大值，也沒有最小值.如果函數(shù)

在開區(qū)間(a,b)上連續(xù)，定理結(jié)論還會(huì)成立嗎？問題定理7（介值性定理）當(dāng)函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且（不妨設(shè)）,對于任何一個(gè)介于f(a)與f(b)

之間的實(shí)數(shù)c，至少存在一點(diǎn)使得a這種“存在性”問題在中學(xué)數(shù)學(xué)也碰到過，如抽屜原理：果放在N個(gè)抽屜里（M>N），那么一定存在一個(gè)抽屜，其中至少有兩個(gè)蘋果.其他科學(xué)領(lǐng)域也有同樣的情況.有些科學(xué)論斷，確定某事物和某現(xiàn)象的存在，卻不能指出存在的地方，這些論斷仍然具有重要的科學(xué)價(jià)值.例如：根據(jù)臨床實(shí)驗(yàn)，知道幾種藥物服用后肯定有效，但是哪一種最有效，還說不清楚；生東北虎存在，但是具體在哪里，還不能肯定.通過野外調(diào)查，肯定東北大興安嶺某區(qū)域有野M個(gè)蘋或者說出具體的原因.但是，賈島（779-843年，唐朝詩人）的詩《尋隱者不遇》：“松下問童子，言師采藥去；只在此山中，云深不知處”.在人文意境上對存在性定理做了非常生動(dòng)的描賈島并非數(shù)學(xué)家，但是細(xì)細(xì)品味，覺得其詩的意境，簡直是為數(shù)學(xué)而作：他就在山中,但具體在山中的哪里,卻不知道了!高中數(shù)學(xué)教材中有二分法求根問題，是根肯定存在，這個(gè)根，存在性定理起了關(guān)鍵的作用！述.老藥師在哪里？求根的前提然后通過不斷試驗(yàn)來逐步逼近例23內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明方程在區(qū)間我們知道，一元二次方程有求根公式，而當(dāng)方程次數(shù)大于或等于5時(shí)，就沒有統(tǒng)一的求根公式了.瓦,19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家)理論得出的結(jié)論.雖然還無法得知根的確切位置，卻可以知道根是否存在.證設(shè)則f(x)在[0,1]上連續(xù)，于是有根據(jù)介值性定理，至少存在一點(diǎn)使得即c是方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)實(shí)根.這是用著名的“伽羅瓦”(伽羅但是有了介值性定理，并且f(0)=1>0，思考題1.以下論斷是否正確？請說明理由，并給出正確的計(jì)算方法.2.如果一個(gè)數(shù)列的極限為3，我們改變數(shù)列中的前一萬項(xiàng)的值，這個(gè)數(shù)列是否還有極限？如果有，極限是多少？3.芝諾“追烏龜”悖論.論述如下：阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄.他和烏龜賽跑,速度為烏龜十倍.烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜.到100米時(shí),烏龜已經(jīng)又向前爬了10喀琉斯必須繼續(xù)追.阿喀琉斯只能再追向那個(gè)1米.因?yàn)樵诟傎愔?追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn),當(dāng)阿喀琉斯追于是,一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了,阿米.爬的這10米時(shí),烏龜又向前爬了1米,而當(dāng)他追到烏龜就這樣,烏龜會(huì)制造出無窮個(gè)起點(diǎn),它總能在起點(diǎn)與自己之間制造阿喀琉斯就永遠(yuǎn)也追不上烏龜！這個(gè)論斷明顯有悖常理，請分析究竟錯(cuò)在哪里，嘗試用學(xué)到的極限知識分析說明.出一個(gè)距離,不管這個(gè)距離有多小,但只要烏龜不停地奮力向前爬,

微積分的誕生開創(chuàng)了人類科學(xué)的黃金時(shí)代，成為人類理性精神勝利的標(biāo)志.通常認(rèn)為變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題，曲線的切線問題以及求函數(shù)的極值問題是導(dǎo)致微分學(xué)產(chǎn)生的三大原因.這三個(gè)問題的實(shí)質(zhì)都是“變化率”，因此我們就從變化率談起.第三章變化率和局部線性化——導(dǎo)數(shù)和微分§1函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)§2函數(shù)的局部線性化——微分§3微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一講

導(dǎo)數(shù)的引入-兩個(gè)實(shí)例§1函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)中學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)，知道當(dāng)自變量x變化時(shí)，函數(shù)值f(x)隨

x變化而變化，這是第一層次的問題.化相對于

x的變化是快還是慢？問題，需要用微積分來解決.如果問x變化之后，函數(shù)值的變這就是變化率，是高一層次的一、兩個(gè)實(shí)際例子二、導(dǎo)數(shù)的概念三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)四、二階導(dǎo)數(shù)一、兩個(gè)實(shí)際例子1.切線問題曲線的切線是中學(xué)就有的概念，我們在日常生活中也是可以用直覺感知的.該也是很難說清楚的.著雨傘旋轉(zhuǎn)軌跡的切線方向飛去”，相信人們基本能理解這句話的意思.比如，說“旋轉(zhuǎn)雨傘時(shí)，雨滴脫離雨傘瞬間是沿但究竟什么是“切線方向”，沒有數(shù)學(xué)的幫助，應(yīng)定點(diǎn)的切線了！那么，什么是切線？與曲線密切接觸程度最高的一條直線.決定一條直線需要兩點(diǎn)，要找的切線首先應(yīng)通過該定點(diǎn)，一點(diǎn)，在曲線上往往找不到最好的，越靠近該定點(diǎn)一定越好.點(diǎn)B

(稱為動(dòng)點(diǎn))，直線(稱為割線)，接近定點(diǎn)時(shí)，該直線就成為了過該通俗地講，曲線在某一點(diǎn)A的切線是在該點(diǎn)那么如何求出切線呢？為了得到切線,，先在定點(diǎn)附近取一至于另x0AxyO再過這兩點(diǎn)作一條當(dāng)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)無限BB設(shè)曲線C是函數(shù)的圖像.

是曲線C上的一個(gè)點(diǎn)，是C上靠近A的點(diǎn)過A，B作割線，則割線AB的斜率為當(dāng)點(diǎn)B沿曲線C移動(dòng)并無限接近點(diǎn)

A時(shí)(即)，如果極限存在，于是過點(diǎn)且以k為斜率的直線AT便是曲線C在點(diǎn)A處的切線.則k就是曲線C在點(diǎn)A處切線AT的斜率.與自變量的增加量比值的極限.只要不等于零，這個(gè)比值就不是切線的斜率，義.所以要用割線的斜率無限逼近切線的斜率，其極限位置（即時(shí)的極限）就是切線的斜率了.比值的意義是函數(shù)在區(qū)間而極限則是處的在這里看到，曲線的切線問題最后歸結(jié)到函數(shù)的增加量上的平均變化率，瞬時(shí)變化率.而等于零比值就沒有了意2.瞬時(shí)速度問題中學(xué)涉及的速度都是平均速度，平均速度實(shí)質(zhì)是將整個(gè)過程看成是勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度.的速度時(shí)，這就是瞬時(shí)速度了.“速度”一條的解釋是：但是，當(dāng)人們要研究運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻什么是瞬時(shí)速度呢?《辭?！分忻鑼懳矬w位置變化的快慢和方向的物理量.物體的位移和時(shí)間之比，稱為這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.于0），這一比值的極限就稱為物體在該時(shí)刻的速度，“瞬時(shí)速度”.如果這一時(shí)間極短（趨向亦稱現(xiàn)在用辭海中的定義來求出直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.設(shè)質(zhì)點(diǎn)M沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移s是時(shí)間t的函數(shù)：當(dāng)位移

s也有一個(gè)增量時(shí)間t在處有一個(gè)增量這樣質(zhì)點(diǎn)M從時(shí)刻到時(shí)刻內(nèi)的平均速度為若平均速度的極限存在，則其極限稱為質(zhì)點(diǎn)

M在時(shí)刻

時(shí)的瞬時(shí)速度.由此看到，瞬時(shí)速度也是一種變化率.變化率在微分學(xué)中就是“導(dǎo)數(shù)”.上面兩個(gè)例子雖屬不同的范疇（一個(gè)是幾何，一個(gè)是物理），但要解決的數(shù)學(xué)問題是一樣的，都是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率問題.因此研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比值的極限具有重要的實(shí)際意義.第二講

導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念定義1當(dāng)自變量x處有增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有的某一鄰域內(nèi)有定義，設(shè)函數(shù)增量如果與的比值的極限存在，則稱該極限為函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作即也可以記作或如果極限不存在，則稱

f(x)在處不可導(dǎo).若令則當(dāng)于是可得

f(x)處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義定義2若存在，則稱此極限為處的右（左）導(dǎo)數(shù)，記作右導(dǎo)數(shù)與左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義及極限存在定理可知：性質(zhì)存在的充要條件與都存在且相等.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一處都可導(dǎo)（對于端點(diǎn)，只要存在相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱f(x)在I上可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值是一個(gè)隨

x變化而變化的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)，記為或在第二章知道，函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)是或者應(yīng)該與f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是有關(guān)系的.根據(jù)定義，f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，存在，這樣就有這表明函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)必定在處連續(xù)，簡稱可導(dǎo)必連續(xù).性質(zhì)如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，f(x)在點(diǎn)連續(xù).則這個(gè)性質(zhì)說明連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件：如果函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則在該點(diǎn)一定不可導(dǎo).但函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)一般不能得出f(x)在處可導(dǎo).求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).例1解取自變量x在處的增量于是函數(shù)有相應(yīng)的增量所以例2牛頓在《求積術(shù)》一文中關(guān)于導(dǎo)數(shù)（當(dāng)時(shí)稱流數(shù)）有如下的論述：設(shè)

x均勻地變動(dòng)一個(gè)增量

h，

欲求的導(dǎo)數(shù)，在x變成x+h的同時(shí)，變成而注意到將它與增量h作比，約去h，得再令增量h等于零，最終的比值變成了牛頓用上面的論證得出的導(dǎo)數(shù)是顯然論證不夠嚴(yán)格.增量h開始時(shí)不是0，所以求比值時(shí)可以約去.后來為了得到導(dǎo)數(shù)，又令增量h為零，與例1相比，牛頓時(shí)代由于極限理論尚未成熟，無法將極限表達(dá)清楚，以至于出現(xiàn)了這種對待h招之即來、揮之即去的做法，在邏輯上是站不住腳的，解決了許多科學(xué)和工程上的問題.現(xiàn)在我們知道這實(shí)際上是一個(gè)極限問題，即可.可是在應(yīng)用上卻屢獲成功，使除了外的其余各項(xiàng)均消失.只要求極限例3

設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且求極限解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，注意到，當(dāng)h→0時(shí)，所以有例4常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：例5求三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解類似地，可以得到：于是有例6求對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解類似的方法，可以得到（留作練習(xí)）第三講

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有了導(dǎo)數(shù)的定義，就可以進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算了，但是，即便是基本初等函數(shù)，求導(dǎo)也不是一件容易的事，為了使求導(dǎo)變得更為簡便，走得更遠(yuǎn)，需要研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算生成的，因此知道了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，初等函數(shù)的求導(dǎo)問題就解決了.1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo)，則（1）可導(dǎo)，且.（2）可導(dǎo)，且；特別地，對于常數(shù)k，有.；（3）當(dāng)時(shí)，可導(dǎo)，特別地，.定理1

下面對乘法法則進(jìn)行證明.（2）可導(dǎo)，且；證求下例函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)根據(jù)除法法則，有(2)類似地，有解

例7則在點(diǎn)可導(dǎo),且單調(diào),設(shè)為的反函數(shù)，或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)、嚴(yán)格且補(bǔ)充定理（反函數(shù)求導(dǎo)法則）解上的反函數(shù)，補(bǔ)充例1

求的導(dǎo)數(shù).所以上的反函數(shù)，補(bǔ)充例2求的導(dǎo)數(shù).解所以練習(xí)1

求的導(dǎo)數(shù).練習(xí)2求的導(dǎo)數(shù).第四講

基本求導(dǎo)公式、例2.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）冪函數(shù)是實(shí)數(shù)）（的導(dǎo)數(shù)

；（3）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，；（4）對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，（5）三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（6）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這些基本求導(dǎo)公式是計(jì)算導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，必須牢記！求下例函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解(1)根據(jù)加法和減法法則，有(2)根據(jù)乘法法則，有(1)(2)例8(3)根據(jù)除法法則，有(3)(4)(4)解切線的斜率.因此，所求切線的斜率為即曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,1).根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，所求切線的方程為求曲線在處的切線方程.函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就曲線上過點(diǎn)的例9

又當(dāng)化學(xué)反應(yīng)速度.其反應(yīng)物的濃度C是時(shí)反應(yīng)物因而反應(yīng)物的間t的函數(shù)當(dāng)時(shí)間變量在時(shí)刻有一增量時(shí)，的濃度也有一相應(yīng)的改變量濃度從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間間隔內(nèi)的平均變化率為當(dāng)時(shí)，其極限（如果存在）就是反應(yīng)物濃度在時(shí)刻的瞬時(shí)變化率，化學(xué)中稱為在時(shí)刻的化學(xué)反應(yīng)速度.例10在設(shè)某一化學(xué)反應(yīng)，例11

導(dǎo)數(shù)不存在的例子：的左、右導(dǎo)數(shù)都存在，解因?yàn)樗越^對值函數(shù)但導(dǎo)數(shù)不存在.于是的導(dǎo)數(shù)不存在.從圖中可以看出，在原點(diǎn)連續(xù)，曲線但沒有切線！在

處因此

f(x)在

處第五講

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，二階導(dǎo)數(shù)3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則并且可以復(fù)合成復(fù)合函這個(gè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則通常稱為鏈法則.另外，例12解數(shù)則復(fù)合函數(shù)也可導(dǎo)，或是對變量u求導(dǎo)，然后再用代替

u

得到的表達(dá)式.求的導(dǎo)數(shù).是由，復(fù)合而成，設(shè)函數(shù)與函數(shù)都可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為還要注意公式中的記號，根據(jù)鏈法則有例13解（1）可以把這個(gè)函數(shù)展開成多項(xiàng)式后再進(jìn)行求導(dǎo)，因此用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：根據(jù)鏈法則有麻煩，所以求（1）的導(dǎo)數(shù).（2）是由和復(fù)合而成，（2）由復(fù)合而成，但會(huì)非常例14解所以例15解所以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是正確分解復(fù)合函數(shù).求的導(dǎo)數(shù).是由復(fù)合而成，求的導(dǎo)數(shù)由復(fù)合而成，練習(xí)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求一般冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

四、二階導(dǎo)數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)中，率，因?yàn)樽兯僦本€運(yùn)動(dòng)的速度

v(t)是位移函數(shù)

s(t)對時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)，所以加速度

a(t)

是位移函數(shù)對時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也就是說，個(gè)可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)之后，需要知道物體的速度，更需要知道運(yùn)動(dòng)速度的變化即加速度.是速度v(t)對時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)，而加速度

a(t)對一有時(shí)還需要研究其導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).記為稱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，或或或，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的值記為例16解解例17設(shè)求設(shè)求例18解設(shè)求解例19設(shè)求例20解設(shè)求續(xù)求導(dǎo)，只要條件滿足，個(gè)求導(dǎo)過程可以繼續(xù)下去.二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)仍然可導(dǎo)，那么可以對繼這就是函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù).這高階導(dǎo)數(shù).第六講

微分的概念§2函數(shù)的局部線性化——微分在中學(xué)數(shù)學(xué)中稱為一次函數(shù)，函數(shù)，但是在實(shí)際中，到的函數(shù)都不會(huì)是線性函數(shù)，函數(shù)復(fù)雜得多.那么遇到不簡單的事情怎么辦呢？把它化解成簡單的事情來處理！線性函數(shù)，是最簡單的它的圖形是平面上的一條直線.經(jīng)常碰也就是我們要處理的問題比線性一、微分是函數(shù)在局部的線性化由導(dǎo)數(shù)的定義，其中一個(gè)小的鄰域內(nèi)有可以將上述極限寫成將其變形為所以當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小量：于是在的當(dāng)很小時(shí)，注意到，上式表明，同時(shí)記作的線性部分的高階無窮小量部分和稱的線性部分為函數(shù)在處的微分，稱函數(shù)在處可微，由兩部分組成，函數(shù)的增量性部分，因而在點(diǎn)

A附近的曲線段可用切線段來近似代替.函數(shù)在一點(diǎn)的微分就是函數(shù)增量關(guān)于自變量增量的線即在點(diǎn)的微分就是函數(shù)在的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的線性近似：曲線在點(diǎn)

A處的切線的而在點(diǎn)的增量為并且越小，與接近程度就越高，在點(diǎn)處的微分的差是的高階無窮小量縱坐標(biāo)增量CD就是函數(shù)兩者之間得到近似公式微分本質(zhì)就是函數(shù)在局部的線性化.以及用代入，的附近的一個(gè)局部范圍內(nèi)，次函數(shù)（即線性函數(shù)）來近似，由，(

很小)時(shí)，得到當(dāng)x非常接近可以近似地用一函數(shù)即在為了能更好地理解“微分本質(zhì)就是函數(shù)在局部的線性化”這句話的含義，兩者之間幾乎已經(jīng)看不出差別了.可以看出當(dāng)非常接近0時(shí)，線差距非常小.當(dāng)在點(diǎn)處的情形放大仔細(xì)考察.對函數(shù)附近，在與直曲線時(shí)，局部線性化的思想在數(shù)學(xué)中有著非常重要的意義.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法就是“化難為易”，而線性函數(shù)（或稱一次函數(shù)）是最簡單的函數(shù)，將一個(gè)難的、復(fù)雜的函數(shù)在局部變成一個(gè)最簡單的線性函數(shù)來研究，實(shí)際上，這種“線性化”以及類似的方法貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)中.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的是要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想去處理和解決各種問題.能不是一個(gè)好方法嗎？區(qū)間

I上可微.數(shù)的微分，于是微分又可記作如果函數(shù)在區(qū)間

I上的每一點(diǎn)都是可微的，函數(shù)在區(qū)間I上任意點(diǎn)

x的微分，記作或，將記為在就稱稱為函即在微分中，所以，即微分的商.于是往往記為自變量的增量從而可以得到.有時(shí)也稱導(dǎo)數(shù)為“微商”，欣賞無窮小的故事在牛頓創(chuàng)建微積分之前，家運(yùn)用無窮小進(jìn)行研究，費(fèi)馬運(yùn)用無窮小得出了令人驚奇的正確結(jié)論.難以解釋清楚.從古希臘到文藝復(fù)興，可是無窮小量是什么？在那時(shí)卻圍成的面積最大.這是一個(gè)完全正確的命題，沒有人能夠證明其正確.費(fèi)馬運(yùn)用無窮小加以論證.人們認(rèn)為無窮小就是“既是0又不是0的量”.費(fèi)馬已經(jīng)有許多數(shù)學(xué)如法國數(shù)學(xué)家大家都認(rèn)為周長一定的矩形以正方形但是，在當(dāng)時(shí)，設(shè)矩形的二分之一周長是

a，時(shí)面積最大，那么可以猜想費(fèi)馬認(rèn)為，約去它，得假設(shè)當(dāng)矩形的兩個(gè)鄰邊為又因?yàn)槭菬o窮小量，立刻得到結(jié)論.只要證明任取無窮小量在變量取得最大值或最小值的地方自變量加一個(gè)無窮小量運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定的.進(jìn)去函數(shù)值不會(huì)變化.展開這個(gè)式子，得到整理后有因?yàn)?，看成?，可以略去，

這段論證在邏輯上確實(shí)是有漏洞的，0，可以約去，但是正是因?yàn)橘M(fèi)馬這些先輩的大膽探索，在本章開始時(shí)曾經(jīng)說過，因之一，一會(huì)兒又說等于0.一會(huì)兒說無窮小量不是推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，才有微積分的誕生.求最大最小值問題是微分學(xué)產(chǎn)生的三個(gè)原這個(gè)例子支持了這個(gè)說法.第七講

基本微分公式與運(yùn)算法則二、基本微分公式與運(yùn)算法則只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分表達(dá)式可以看出，1.2.3.要計(jì)算函數(shù)的微分，再乘以自變量的微分即可.基本初等函數(shù)的微分公式1.（C是常數(shù)）；2.為任何實(shí)數(shù)）；（3.4.5.6.例1解計(jì)算微分：（1）根據(jù)微分的運(yùn)算法則1，有（2）根據(jù)微分的運(yùn)算法則2，有（2）（1）這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，（3）先求導(dǎo)數(shù).因?yàn)樗越夥ㄒ唬夥ǘ?，所以先求?dǎo)數(shù)，因?yàn)楦鶕?jù)微分的運(yùn)算法則3，（4）有例2解求函數(shù)在處，因?yàn)?，時(shí)的微分.當(dāng)所以例3解請用微分導(dǎo)出近似公式：于是當(dāng)

x與0很接近時(shí)，有代入前式，有當(dāng)

x非常接近時(shí)，有現(xiàn)設(shè)而很小時(shí)，當(dāng)有這樣我們就得到：比如，很小時(shí)，當(dāng)有近似公式用同樣的方法，可以得到下面近似公式：于是可以求出，是用線性函數(shù)來進(jìn)行近似的.要用精度更高的多項(xiàng)式函數(shù)來近似.而在使用上述近似公式時(shí)一定要注意很小這個(gè)條件（比如當(dāng)比較大時(shí)，很小時(shí)當(dāng)其精度會(huì)大大下降，原因在于這里為了得到更高的近似精度，就需要）,例4經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問題.產(chǎn)量引起的總成本的增加量，成本的變化量（即邊際成本）是小單位是1，即這種替代得到了廣泛的認(rèn)同.在實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)成本函數(shù)為（其中

x表示產(chǎn)量），，因此可以用成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似地替代成本函數(shù)的增量比如邊際成本，就是每增加一單位其實(shí)質(zhì)是一個(gè)微分問題.當(dāng)產(chǎn)量在原產(chǎn)量的基礎(chǔ)上變動(dòng)時(shí)，由于產(chǎn)量增加量至少是1，的最即所以根據(jù)微分定義：更容易計(jì)算，一般導(dǎo)數(shù)比成本函數(shù)的增量第八講

拉格朗日中值定理和

函數(shù)的平均變化率§3微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用拉格朗日微分中值定理是局部與整體溝通的橋梁.圖3.6

拉格朗日(JosephLouisLagrange1736─1813)一、拉格朗日中值定理和函數(shù)的平均變化率定理1(拉格朗日中值定理)續(xù),使得這個(gè)公式稱為拉格朗日公式，它的幾何解釋見圖，上至少有一點(diǎn)的斜率等于曲線