基于狀態(tài)反饋的死區(qū)非線性自適應(yīng)反步積分自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

基于狀態(tài)反饋的死區(qū)非線性自適應(yīng)反步積分自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

在機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，驅(qū)動(dòng)部分與自動(dòng)部分直接接觸，采用齒輪或彈簧連接，形成間隙。如果不能消除間隙的影響,間隙就會(huì)使得負(fù)載暫時(shí)失控,對(duì)驅(qū)動(dòng)單元產(chǎn)生沖擊,從而導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差和時(shí)滯,更壞的情況會(huì)產(chǎn)生極限環(huán),這就限制了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度并產(chǎn)生機(jī)械部件的附加磨損。間隙非線性的一個(gè)重要特性就是死區(qū)。通常,死區(qū)的參數(shù)是未知的,一般采用自適應(yīng)的方法設(shè)計(jì)控制器。Tao等人首先針對(duì)死區(qū)提出了自適應(yīng)的方法。死區(qū)補(bǔ)償最直接的方法是通過構(gòu)造自適應(yīng)逆來抵消死區(qū),但是這種方法只適用于死區(qū)參數(shù)可測(cè)。Zhou通過引入光滑逆來補(bǔ)償死區(qū)。在運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中,一些學(xué)者提出了多種方法進(jìn)行死區(qū)補(bǔ)償控制,如變結(jié)構(gòu)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊自適應(yīng)控制等,都取得了較好的效果。文獻(xiàn)中設(shè)計(jì)了一種新的魯棒自適應(yīng)死區(qū)補(bǔ)償控制器,采用自適應(yīng)死區(qū)預(yù)補(bǔ)償器,不需要構(gòu)造死區(qū)逆。在含未知非線性死區(qū)的純反饋系統(tǒng)中,文獻(xiàn)中應(yīng)用了自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制的方法設(shè)計(jì)控制器,取得了良好的效果。文獻(xiàn)中通過自適應(yīng)輸出反饋及平方和優(yōu)化算法來設(shè)計(jì)控制器。黃進(jìn)等基于死區(qū)模型進(jìn)行了魯棒自適應(yīng)控制研究。針對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中存在的死區(qū)非線性,我們應(yīng)用反步積分自適應(yīng)的方法,設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)反饋的控制器。該方案顯著地降低了死區(qū)對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的影響,提高了系統(tǒng)的跟蹤性能,不僅保證了跟蹤誤差的有界,同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)信號(hào)的有界。1有界的外部擾動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下:其中,ω(t)是控制輸入;x1是系統(tǒng)輸出;?是已知的線性或非線性函數(shù);θ是未知的參數(shù);Δ(x,t)是外部擾動(dòng);ω(t)表示死區(qū)特性。圖1為死區(qū)非線性模型,m為系統(tǒng)的剛性系數(shù),br-bl為死區(qū)寬度。所以,死區(qū)模型可以表示為針對(duì)系統(tǒng)提出如下假設(shè)條件:假設(shè)1Δ(x,t)為有界的外部擾動(dòng),即|Δ(x,t)|≤B。假設(shè)2m、br、bl均為未知的參數(shù),但是它們的正負(fù)已知,m>0,br>0,bl>0。假設(shè)3死區(qū)參數(shù)m、br、bl均為有界的,m∈[mmin,mmax],br∈[brmin,brmax],bl∈[blmin,blmax]。所以,死區(qū)的模型可以寫成ω(t)=B(u)=mu+d(u(t)),(3)其中,d(u(t))=={-mbr?u≥br；-mu?bl≤u≤br；-mbl?u≤bl。將方程(3)代入系統(tǒng)(1)中,系統(tǒng)可以寫為其中,d(t)=d(u(t))+Δ(x,t)。d(t)可以成為“類擾動(dòng)”,它是外部擾動(dòng)Δ(x,t)和建模不確定項(xiàng)d(u(t))的合成項(xiàng)。顯然,類擾動(dòng)是有界的,可以用D表示它的界。2基于lyapunom函數(shù)的暫態(tài)誤差設(shè)計(jì)本控制的目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制器使得系統(tǒng)的輸出x(t)跟蹤期望xd(t),并且跟蹤誤差能夠漸進(jìn)的趨近于零或者是一個(gè)很小的區(qū)域。設(shè)計(jì)的控制器亦能夠使閉環(huán)系統(tǒng)中的信號(hào)都是有界的。根據(jù)反步法的步驟,定義如下的誤差向量:其中,α是反步設(shè)計(jì)法中的虛擬控制,在后面會(huì)給出它的設(shè)計(jì)。第1步:˙z1=˙x1-˙xd=x2-˙xd。選取Lyapunov函數(shù)V1=12z21,(6)對(duì)V1求時(shí)間的導(dǎo)數(shù),得˙V1=˙z1z1=z1(z2+α),此時(shí),取α=-c1z1-kχ,(7)則˙V1=-c1z21+z1z2-kχz1,(8)其中c1、k都大于零,是設(shè)計(jì)參數(shù),為了保證系統(tǒng)能夠在模型不確定的條件下,跟蹤誤差仍可以逼近零,引入跟蹤誤差的積分χ=∫t0z1(τ)dτ。第2步:由式(5)和(7),對(duì)z2求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得˙z2=˙x2-˙α-??xd=mu+θ?+d(t)-˙α-??xd,(9)設(shè)計(jì)控制律為u=?e—u,—u=-c2z2-z1-sgn(z2)?D-?θ?+??xd+˙α,˙?θ=r1?z2,˙?e=-r1—uz2,˙?D=-r3|z2|,其中,e=1/m;r1、r2、r3均大于零,是設(shè)計(jì)參數(shù);?θ、?e、?D分別是參數(shù)θ、e、D的估計(jì)值。為了證明所設(shè)計(jì)的控制器的有效性,選取Lyapunov函數(shù):V=V1+12z22+12kχ2+12r1～θ2+12r2～e2+12r3～D2,(10)其中,～θ=θ-?θ;～e=e-?e;～D=D-?D。對(duì)其求時(shí)間導(dǎo)數(shù),得˙V=-c1z21+z1z2-kχz1+z1˙z2-c2z22+kχz1-1r1～θ˙?θ-mr2～e˙?e-1r3～D˙?D。由mu=m?e—u=—u-m～e—u?將設(shè)計(jì)的控制律代入得V˙≤-c1z12-c2z22。(11)顯然,V是不增的函數(shù)。z1、z2、θ^、e^和D^都是有界的。根據(jù)LaSalle-Yoshizawa定理,Lyapuov函數(shù)保證了系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性。當(dāng)t→∞時(shí),limt→∞[x(t)-xd(t)]=0。系統(tǒng)的暫態(tài)跟蹤誤差,由|z1|22≤1c1V(0),V(0)=12r1θ～2(0)+12r2e～2(0)+12r3D～2(0),得|z1|2=1c1[12r1θ～2(0)+12r2e～2(0)+12r3D～2(0)]12。系統(tǒng)的暫態(tài)跟蹤性能依賴于初始估計(jì)誤差,參數(shù)的估計(jì)值越接近參數(shù)的初始值,跟蹤性能越好。3控制策略仿真為了證明上述所設(shè)計(jì)的控制器的有效性,運(yùn)用Matlab進(jìn)行仿真。仿真參數(shù)取m=1?br=0.5?bl=-0.6?θ=-0.1??=x˙?外部干擾Δ(x,t)=0.1sin(10t)。為了能夠較好地觀察系統(tǒng)參數(shù)的適應(yīng)過程,期望輸出軌跡選取成分比較豐富的信號(hào):xd=-1+cos(2t)+sin(5t)。仿真中的初始設(shè)置為x1(0)=-0.5?x2(0)=0?θ^(0)=0?e^(0)=0?D^(0)=0?c1=8?c2=6?k=5?r1=0.1?r2=0.05?r3=0.04。仿真結(jié)果如圖2—圖4所示。圖2為本控制方法的跟蹤誤差,從圖2中可以看出,初始階段,由于控制器的初始值與系統(tǒng)的初始值不同,跟蹤誤差較大;隨著時(shí)間的推移,自適應(yīng)律的發(fā)揮調(diào)節(jié)作用,使跟蹤誤差越來越小,最后得到滿意的跟蹤性能。圖3給出了該控制策略的期望輸出信號(hào)和實(shí)際信號(hào)。圖4為該控制策略的相應(yīng)控制輸入。4基于lyapunom理論的控制策略采用反步