陳殿友《大學數(shù)學》系列教材：5.1 方陣的特征值 特征向量與相似化簡-第一講

第五章方陣的特征值特征向量與相似化簡

本章將討論的內(nèi)容包括數(shù)域、多項式的根、方陣的特征值與特征向量，相似矩陣及其性質(zhì)以及在相似條件下把矩陣化簡為對角矩陣和Jordan形矩陣的相關問題.§1

數(shù)域多項式的根

數(shù)，是數(shù)學的一個最基本的概念.對于反映數(shù)量關系的數(shù)學問題，其結(jié)果往往和所考慮的數(shù)的范圍有關.例如多項式x4-2的因式分解問題，它在有理數(shù)范圍內(nèi)已經(jīng)不能再分解了，而在實系數(shù)范圍內(nèi)就可以分解為進而在復系數(shù)范圍內(nèi)就可分解為

1.1

數(shù)域整理ppt可見對于同一個問題，當所考慮的數(shù)的范圍不同時，結(jié)果就可能是不同的.因此，我們常常需要事先指明所涉及數(shù)的范圍.數(shù)域就是描述數(shù)的范圍的一個概念.

定義1.1

設F是一個數(shù)集，其中至少包括兩個不同的數(shù).如果F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（當除數(shù)不為零時）仍是F中的數(shù)，則稱F為一個數(shù)域.

由定義1.1可知，任何數(shù)域F至少包含0和1.這是因為，若α∈F，則α-

α=0∈F，由于F

中必有非零數(shù)b，于是

如果集合F中的任意兩個元素做某種運算其結(jié)果仍在F

中，我們就說F對這種運算封閉.于是，數(shù)域就是含有不同元素并且對四則運算（除數(shù)不為0）封閉的數(shù)集.整理ppt

實數(shù)域、復數(shù)域和有理數(shù)域是最常用的數(shù)域.但數(shù)域決不止這三個.不難驗證數(shù)集

有理數(shù)域是最小的數(shù)域；復數(shù)域是最大的數(shù)域.

以下討論問題時，凡涉及到數(shù)的，我們總假設是在復數(shù)域上進行的.

容易驗證，全體有理數(shù)的集合是一個數(shù)域，稱為有理數(shù)域，記為Q.全體實數(shù)的集合、全體復數(shù)的集合也都是數(shù)域，分別稱為實數(shù)域和復數(shù)域，記為R和C.整理ppt1.2

多項式的根與標準分解式

定義1.2

對于非負整數(shù)n及數(shù)域F上的數(shù)ai(i=1,2,…,n),變量x的形式表達式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(1)稱為數(shù)域F上的一個多項式.當an≠0時，則稱（1）為一個一元n次多項式，非零數(shù)an稱為該多項式的首項系數(shù)，a0稱為常數(shù)項.

所有系數(shù)都是0的多項式0稱為零多項式.零多項式不定義次數(shù).如果為了方便，也可以認為它的次數(shù)為-∞.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

按照根與一次因式的關系，多項式f(x)的每一個根xi都對應著f(x)的一個一次因式x-xi，如果n次多項式(1)的全部互異的根為x1,x2,…,xt，它們的重數(shù)分別為n1,n2,…,nt，則有(2)并且n1+n2+…+nt=n.(2)式右端稱為多項式f(x)在復數(shù)域上的標準分解式.例如對于多項式f(x)=x3+2x2+x，分解式f(x)=x(x+1)2，f(x)=(x+1)2x都是標準分解式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.1

在復數(shù)域上，n次代數(shù)方程恰有n個根(n≥1).整理ppt

§2方陣的特征值與特征向量

一.特征值與特征向量的概念

定義2.1

對于n

階方陣A=(aij),其主對角線上n個元素之和a11+a22+…+ann稱為A的跡，記為trA.(3)

定義2.2

對于n

階方陣A=(aij),把含有字母λ的矩陣稱為A的特征矩陣.行列式|λE-

A|的值表達式是一個多項式，稱為A的特征多項式.特征多項式的根稱為的特征值，亦稱為特征根.

如果是特征多項式的單根，則稱為單特征值，否則稱為重特征值.第五章機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

例1

矩陣的特征矩陣為特征多項式為

Ψ(λ)=|λE-A|=λ(λ-1)(λ+2);

特征值為

λ1=0,

λ2=1,

λ3=-2.

顯然，上（下）三角形矩陣的特征值就是其主對角線上諸元素.整理ppt則有cn-1=-trA，c0=(-1)n|A|.

定理2.1

n階方陣A的特征多項式ψ(λ)是一個首項系數(shù)為1的n次多項式；若設ψ(λ)=λn+cn-1λn-1+…

+c1λ+c0(4)

證明設n階方陣A=(aij)，則A的特征多項式為由行列式值的定義可知，ψ(λ)的最高次項必取自均布項(5)(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann).(6)

二、特征值與特征向量的性質(zhì)整理ppt

ψ(λ)的n-1次項也只來源于均布項(6).這是因為(5)式的右端行列式中任何一個異于(6)式的均布項至少有一個因子為某常數(shù)-aij,于是λ-aii及λ-ajj都不是該均布項的因子，該均布項最多只能是關于λ的n-2次多項式.而(6)式乘開后合并同類項，其λn-1項的系數(shù)為-(a11+a22+…+ann)=-trA即cn-1=-trA.

對于ψ(λ)的常數(shù)項c0，顯然有

c0=ψ(0)=|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|.由上面的討論，可知︱λE－A︱

整理ppt

定理2.2

設n階方陣A的全部特征值為λ1,λ2,…,λn,則trA=λ1+λ2+…+

λn.又根據(jù)根與一次因式的關系，ψ(λ)必可表示為

證明設A的特征多項式為ψ(λ)=λn+cn-1λn-1+…

+c1λ+c0.ψ(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn).其n-1次項的系數(shù)cn-1=-(λ1+λ2+…+

λn),可得trA=-cn-1=λ1+λ2+…+

λn

.整理ppt

定理2.3

設n階矩陣A的全部特征值為λ1,λ2,…,λn,則|A|=λ1

λ2…λn.

證明

由根與一次因式的關系，ψ(λ)必可表示為由定理2.1知,其常數(shù)項c0=(-1)n|A|.于是可知ψ(λ)的常數(shù)項為ψ(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn).c0=(-1)n|A|=ψ(0)=(-λ1)(-

λ2)…(-λn)=(-1)nλ1

λ2

…λn.故|A|=λ1λ2

…λn.

推論2.1

方陣A可逆的充要條件是A的所有特征值都不為0.整理ppt

定義2.3

設λ0是n階矩陣A的一個特征值.若有n

維非零列向量α使Aα

=λ0α,則稱α為矩陣A的對應于特征值λ0的特征向量.

由上面的定義可知，矩陣A的任一特征值λ0所對應的特征向量都是方程組(A－λE)x=0的全部非零解向量,顯然A的關于特征值λ0所對應的特征向量有無窮多個.

可以證明：方陣A的每一個特征向量只能對應于某一個確定的特征值.

若向量α同時是A的對應于不同的特征值λ1，λ2的特征向量，則有Aα=λ1α，Aα=λ2α，于是便有

(λ1-λ2)α=0，

由于α

≠0，所以λ1-λ2=0，這與λ1、λ2是不同特征值矛盾.故方陣A的每一個特征向量只能對應于某一個確定的特征值.

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

定理2.4

對于方陣A，只要有數(shù)λ0及非零列向量α使Aα=λ0α成立，則λ0必是A的特征值,α必是A的關于特征值λ0的特征向量.

證明

由Aα=λ0α知非零向量α滿足線性方程組(λ0E-A)x=0,而該方程組有非零解，因而其系數(shù)矩陣λ0E-A必然是降秩的,于是應有|λ0E-A|=0,可見λ0是A的特征值.再由α滿足Aα=λ0α,由定義2.3知α是A的關于特征值λ0的特征向量.整理ppt

對于方陣A，求其特征值與特征向量的方法步驟如下：1)寫出A的特征矩陣λ

E-A，并計算A的特征多項式ψ(λ)=|λE-A|.2）在指明的數(shù)域上，求出ψ(λ)=0的全部根，即A的全部特征值.記互異的特征值為λ1，λ2，…，λt

.3)

對于每一個λi(i=1,2,…，t)求出齊次線性方程組(λi

E-A)x=0的全部非零解，也就是A對應于特征值λi的全部特征向量.

整理ppt三、特征值與特征向量的求法1、由︱A－λE︱=0,求A的n個特征值.2、由Ax=λx,求抽象矩陣的特征值.3、由(A－λE)x=0,求A

的特征向量.例2

在實數(shù)域上，求矩陣的特征值與特征向量.

解A的特征多項式為整理ppt=(λ-2)(λ2+2λ-8)=(λ-2)(λ-2)(λ+4)=0.得A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=-4.

對于λ1=λ2=2，求解齊次線性方程組(A–λ1E)x=0，即

得基礎解系機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt于是，矩陣A對應于特征值λ1=λ2=2的全部特征向量為k1

1+k2

2，k1,k2是不同時為零的任意實數(shù).對于λ3=-4，求解齊次線性方程組(A–λ3E)x=0，即

得基礎解系于是，矩陣A對應于特征值λ3=-4的全部特征向量為k3

3，k3是不為零的任意實數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

例3

求矩陣的特征值和特征向量.

解:①由︱A－λE︱=0，求A的全部特征值，由得A特征值為

②由(A－λE)x=0，求A的特征向量.當λ1=2時，由方程(A－2E)x=0得整理ppt得基礎解系于是，矩陣A對應于特征值λ1=2的全部特征向量為k1

p1，k1是不為零的任意實數(shù).得基礎