角平分線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用

數(shù)學(xué)新課標(biāo)（XJ）數(shù)學(xué)·八年級下冊第1章直角三角形1．4角平分線的性質(zhì)探究新知探究新知新知梳理新知梳理重難互動探究重難互動探究第2課時角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用課堂總結(jié)反思課堂總結(jié)反思1．4角平分線的性質(zhì)探究新知活動1知識準備1．如圖1－4－6，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E.已知PE＝3，則點P到AB的距離是________．圖1－4－61.31．4角平分線的性質(zhì)2．如圖1－4－7所示，P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E.若PD＝PE，則∠DOP________∠EOP.圖1－4－7＝活動2教材導(dǎo)學(xué)角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用1．4角平分線的性質(zhì)如圖1－4－8，某地有一個市場在公路與鐵路所成角的平分線上的P處，要從點P建兩條路，一條到公路上，一條到鐵路上，怎樣修建使兩條路都最短？這兩條路的長度有什么關(guān)系？請動手操作，畫出來看一看．[答案]過點P分別向兩條路作垂線即可，圖略．這兩條路的長度相等．1．4角平分線的性質(zhì)圖1－4－8新知梳理?知識點一角平分線的性質(zhì)定理與逆定理1．4角平分線的性質(zhì)運用角平分線的性質(zhì)定理去判定__________________相等；運用角平分線性質(zhì)定理的逆定理去判定點的位置是否在______________上．點到角兩邊的距離角的平分線1．4角平分線的性質(zhì)?知識點二利用角平分線的性質(zhì)作圖點到角的兩邊的距離相等的作圖轉(zhuǎn)化為作這個角的__________．平分線重難互動探究探究問題一綜合運用角平分線的性質(zhì)定理與逆定理1．4角平分線的性質(zhì)例1已知：如圖1－4－9，點B，C在∠A的兩邊上，且AB＝AC，P為∠A內(nèi)一點，PB＝PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn).求證：PE＝PF.圖1－4－91．4角平分線的性質(zhì)[歸納總結(jié)]角平分線的性質(zhì)定理的運用要注意兩點：(1)找出相關(guān)相等的角；(2)找出距離．在沒有角平分線的情況下先通過作輔助線構(gòu)造角平分線，再轉(zhuǎn)化到兩個三角形中，實現(xiàn)線段相等或角相等的變換，這種題型常結(jié)合三角形全等的證明考查．

[解析]連接AP，然后利用“SSS”證明△ABP和△ACP全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可得∠BAP＝∠CAP，再利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可．1．4角平分線的性質(zhì)圖1－1－1．4角平分線的性質(zhì)探究問題二綜合利用角平分線的性質(zhì)定理去判定各線段之間的關(guān)系例2已知：如圖1－4－10，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.(1)求證：AM平分∠BAD；(2)試說明線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系；(3)線段CD，AB，AD之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由．1．4角平分線的性質(zhì)圖1－4－101．4角平分線的性質(zhì)[歸納總結(jié)]在應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理與其逆定理時，若在角的兩邊沒有作出對應(yīng)的距離的線段時，通常我們要先通過作垂線(有兩個角的首先要作出公共的垂線)，構(gòu)造出兩邊的距離，然后再通過定理證明兩距離相等，通過逆定理證明兩角相等，本題就是通過作兩角公共的垂線ME，實現(xiàn)不同角的平分線之間的聯(lián)系．1．4角平分線的性質(zhì)[解析](1)首先要作輔助線ME⊥AD，則利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知ME＝MC，再利用中點的條件可知ME＝MB，然后利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理即可證明AM平分∠DAB.(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CDA＋∠BAD＝180°，求出∠ADM＋∠DAM＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AMD的度數(shù)即可．(3)證Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD＝DE，同理得出AE＝AB，即可得出答案．1．4角平分線的性質(zhì)解：(1)證明：如圖，過點M作ME⊥AD于點E.∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.∵M為BC的中點，∴MB＝MC.又∵ME＝MC，∴ME＝MB.又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠BAD.1．4角平分線的性質(zhì)(2)DM⊥AM.理由：如圖，∵DM平分∠ADC，AM平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵DC∥AB，∴∠CDA＋∠BAD＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AMD＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，即DM⊥AM.1．4角平分線的性質(zhì)(3)CD＋AB＝AD.理由：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C＝∠DEM＝90°.在Rt△DCM和Rt△DEM中，DM＝D