2023學年完整公開課版矩形

18.2

特殊的平行四邊形18.2.1矩形2、會初步運用矩形的性質、判定等知識，解決簡單的證明和計算，進一步培養(yǎng)學生的分析能力.1、掌握矩形的概念和性質，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形ABCD四邊形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBD□ABCDAC平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行.平行四邊形的對邊相等.

角平行四邊形的對角相等.平行四邊形的鄰角互補.

對角線平行四邊形的對角線互相平分.平行四邊形的判定：邊兩組對邊分別平行的四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形.角兩組對角分別相等的四邊形.對角線對角線互相平分的四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形.平行四邊形的判定定理：

我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質外，還有它的特殊性質，同樣，對于平行四邊形來說也有特殊情況即特殊的平行四邊形，這堂課我們就來研究一種特殊的平行四邊形→矩形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的定義：平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形具備平行四邊形所有的性質ABCDO角邊對角線對邊平行且相等對角相等對角線互相平分矩形的一般性質：矩形是特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質外，還有哪些特殊性質呢？猜想1：矩形的四個角都是直角．猜想2：矩形的對角線相等．ABCD求證：矩形的四個角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°.又∵矩形ABCD是平行四邊形,∴∠A=∠C，∠B=∠D,∠A+∠B=180°,∴

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.即矩形的四個角都是直角.已知：如圖,四邊形ABCD是矩形.求證：AC=BD.ABCD證明：在矩形ABCD中.∵∠ABC=∠DCB=90°,又∵AB=DC，BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=BD，即矩形的對角線相等.求證:矩形的對角線相等.矩形的特殊性質矩形的四個角都是直角．矩形的對角線相等．從角上看：從對角線上看：矩形的兩條對角線互相平分矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分別平行矩形的四個角都是直角矩形的對角線相等邊對角線角矩形的性質邊角對角線對稱性平行四邊形矩形對邊平行且相等對角相等鄰角互補對角線互相平分中心對稱圖形對邊平行且相等四個角為直角對角線互相平分且相等中心對稱圖形、軸對稱圖形這是矩形所特有的性質比一比,知關系1.四個學生正在做投圈游戲,他們分別站在一個矩形的四個頂點處，目標物放在對角線的交點處,這樣的隊形對每個人公平嗎?為什么？OABCD公平,因為OA=OC=OB=OD【跟蹤訓練】∵∠ABC=90°,

∴□ABCD是矩形,2.已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.求證:BO=ACOCBAD證明:

延長BO至D,使OD=BO,連接AD,DC.∵AO=OC,BO=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴AC=BD,∴BO=BD=AC.直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.應用格式：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.∴BO=AC.OCBA例:如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形對角線的長.∴AC與BD相等且互相平分,∴OA=OB.∵∠AOB=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴OA=AB=4㎝,∴矩形對角線的長AC=BD=2OA=8㎝.解：∵四邊形ABCD是矩形,DCBAo【例題】1.下面性質中，矩形不一定具有的是（）A．對角線相等B．四個角都相等C．是軸對稱圖形D．對角線垂直D【跟蹤訓練】2.過四邊形的各個頂點分別作對角線的平行線，若這四條平行線圍成一個矩形，則原四邊形一定是（）A.對角線相等的四邊形B.對角線互相平分且相等的四邊形C.對角線互垂直平分的四邊形D.對角線垂直的四邊形D3.已知矩形的一條對角線與一邊的夾角是40°，則兩條對角線所夾銳角的度數(shù)為（）A．50°B．60°C．70°D．80°4.矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，則∠BAE等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°DADCBA┓5.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3㎝，則AC＝_______㎝.(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，則AC＝_______㎝，BD＝_______㎝.6510你知道如何判定一個平行四邊形是矩形嗎？定義判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（方法一）你還有其他的判定方法嗎？平行四邊形ABCD中∠A=90°四邊形ABCD是矩形∵∴（已知），（矩形的定義）.幾何語言：平行四邊形矩形ABCDABCD

實驗：李芳同學用四步畫出了一個四邊形，她的畫法是“邊——直角、邊——直角、邊——直角、邊”這樣，她說這就是一個矩形，她的判斷對嗎？為什么？猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形.你能證明上述結論嗎？矩形的判定方法：有三個角是直角的四邊形是矩形ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°（已知），∴四邊形ABCD是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）.幾何語言：實驗：工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你知道為什么嗎？猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.命題：對角線相等的平行四邊形是矩形.已知：平行四邊形ABCD，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.ABCD證明∴AB=CD,BC=AD（平行四邊形對邊相等）.∴△ABC≌△DCB（SSS），∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）.在△ABC和△DCB中AB=CD（已證），BC=BC（公共邊），AC=BD（已知），∴∠ABC=∠DCB（全等三角形對應角相等）.又∵∠ABC+∠DCB=180°（平行四邊形鄰角互補），

∴∠ABC=90°（等式的性質）.又∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），∴四邊形ABCD是矩形（矩形的定義）.ABCD對角線相等的平行四邊形是矩形矩形的判定方法：幾何語言：∵AC=BD，四邊形ABCD是平行四邊形（已知），∴四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.ABCDO你能歸納矩形的幾種判定方法嗎？有一個角是直角的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形.方法一：方法二：方法三：1、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是()A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互相平分C【跟蹤訓練】2、如果E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD四條邊的中點，要使四邊形EFGH是矩形，那么四邊形ABCD應具備的條件是（）A.一組對邊平行而另一組對邊不平行B.對角線相等C.對角線互相垂直D.對角線相等且互相平分C3.已知:四邊形ABCD是矩形(1)若已知AB=8㎝，AD=6㎝，則AC＝_______㎝OB=_______㎝(2)若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，則AD=_____cmAB=_____cmODCBA5104····,所以斜邊上的中線長為6.5.2.如圖，要使□

ABCD成為矩形，需添加的條件是()A.AB=BCB.AC⊥BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2【解析】選C.因為有一個角是直角的平行四邊形是矩形.3.（溫州·中考）如圖，AC，BD是矩形ABCD的對角線，過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，則圖中與△ABC全等的三角形共有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【解析】選D.與△ABC全等的三角形有：△DCB，△BAD，△CDA，△DCE共4個.4.(哈爾濱·中考)如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點C′處，折痕為EF，若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度數(shù)為_____度.【解析】由折疊可知，∠DEF=∠BEF.∠EFC=∠EFC′.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°.又∠ABE=20°,∴∠AEB=70°,∴∠DEF=55°.在四邊形EFCD中，∠EFC=125°,∴∠EFC′=125°.答案：1255.（河北·中考）如圖，矩形ABCD的頂點A，B在數(shù)軸上，CD=6，點A對應的數(shù)為-1，則點B所對應的數(shù)為___.【解析】在矩形ABCD中，CD=6，∴AB=6.又點A對應的數(shù)為-1.∴點B所對應的數(shù)為5.答案：56.（黃岡·中考）如圖：矩形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個小矩形的周長之和_______．【解析】∵AC=10，BC=8，由勾股定理得AB=6，把五個小矩形的邊長向矩形ABCD的各邊平移得五個小矩形的周長之和為2（AB+BC）=2×（6+8）=28.答案：28ABCD

說8.如圖，MN∥PQ，同旁內角的平分線AB,CB和AD,CD分別相交于點B,D．（1）猜想線段AC和BD間的關系是______.（2）證明你的猜想．【解析】（1）相等(2)證明:∵MN∥PQ,AB,CB分別是∠MAC,∠PCA的平分線，∴∠BAC+∠ACB=90°.∴∠A