角平分線 省賽獲獎

第一章三角形的證明第四節(jié)角平分線（一）還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎？你是怎樣得到的？請你嘗試證明這一性質(zhì)，并與同伴交流.定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E．求證：PD=PE．已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E．求證：PD=PE．證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E,∴∠PDO=∠PEO=900.∵∠1=∠2，OP=OP,∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.想一想你能寫出這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?定理在一個角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．已知：如圖，點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB．已知：如圖，點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB．∴∠ODP=∠OEP=900.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E,∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴∠1=∠2（全等三角形對應(yīng)角相等）.∴OP平分∠AOB.例1：如圖,在△ABC中,∠BAC=600，點D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,且DE=DF,求DE的長.解：∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,且DE=DF,∴AD平分∠BAC(在一個角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上).又∵∠BAC=600,∴∠BAD=300.在Rt△ADE中,∠AED=900，AD=10,(在直角三角形中,如果一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).1.如圖,AD,AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線和外角平分線,它們有什么關(guān)系?隨堂練習(xí)提示:AD⊥AE,理由如下：∵AD,AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線和外角平分線，∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAC+∠CAF=(∠BAC+∠CAF)=×180°=90°.∴AD⊥AE．2.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到公路、鐵路距離相等,離公路與鐵路交叉處500m,在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺1:20000).提示:把公路、鐵路看成兩條相交直線,作出其交角的平分線OB(O為頂點),在OB上作OC,使OC=2.5cm,點C即為所求.作圖略.3.利用尺規(guī)作一個三角形三個內(nèi)角的平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么？

三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等.圖略.4.已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.求證:EB=FC.提示:∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=900.在Rt△BED和Rt△DFC中，BD=CD,DE=DF,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).∴EB=FC．5.如圖,在△ABC中,∠C=900，∠A=300，作AB的垂直平分線,交AB于點D,交AC于點E,連接BE,則BE平分∠ABC.請你證明這一結(jié)論.你有幾種證明方法？提示:方法一：∵在△ABC中,∠C=900，∠A=300，∴AB=2BC.∵DE垂直平分AB,∴AB=2BD,∠BDE=900.∴BC=BD.∵BE=BE,∴RtBCE≌Rt△BDE.∴∠CBE=∠DBE.∴BE平分∠ABC.5.如圖,在△ABC中,∠C=900，∠A=300，作AB的垂直平分線,交AB于點D,交AC于點E,連接BE,則BE平分∠ABC.請你證明這一結(jié)論.你有幾種證明方法？提示:方法二：∵在△ABC中,∠C=900，∠A=300，∴∠ABC=600.∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=300.∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=600-300=300.∴∠ABE=∠CBE.∴BE平分∠ABC.6.如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到∠AOB的兩邊的距離相等.提示:連接CD,作線段CD的垂直平分線,再作∠AOB的平分線,兩線的交點即為所求.如圖.課堂小結(jié),暢談