角平分線(xiàn)的性質(zhì) 名師獲獎(jiǎng)

12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)

第1課時(shí)角平分線(xiàn)的性質(zhì)R·八年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．學(xué)會(huì)角平分線(xiàn)的畫(huà)法.2．探究并認(rèn)知角平分線(xiàn)的性質(zhì).3．熟練地運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì).難點(diǎn)：運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題.右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE，AE就是∠DAB的平分線(xiàn)．你能說(shuō)明它的道理嗎？ABDC新課導(dǎo)入E推進(jìn)新課證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線(xiàn)的定義）.ADBCE從利用平分角的儀器畫(huà)角的平分線(xiàn)的過(guò)程中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線(xiàn)？用尺規(guī)作角的平分線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)1利用尺規(guī)作角的平分線(xiàn)的具體方法:

ABOMNC

1．以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．3．畫(huà)射線(xiàn)OC．射線(xiàn)OC即為所求．

2．分別以點(diǎn)M，N為圓心．大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C．

你能說(shuō)明為什么射線(xiàn)OC

是∠AOB

的平分線(xiàn)嗎？ABOMNC角的平分線(xiàn)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線(xiàn)，那么角的平分線(xiàn)有什么性質(zhì)呢？

如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠A的平分線(xiàn)OC，在OC

上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P

畫(huà)出OA，OB

的垂線(xiàn)，分別記垂足為D，E，測(cè)量PD，PE

并作比較，你得到什么結(jié)論？探究在OC

上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線(xiàn)的什么性質(zhì)？觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線(xiàn)段PD與PE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論：____________.

PD

PE

第一次第二次第三次

PD=PE已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD

=PE．角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題設(shè)：

一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線(xiàn)上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO

，∠AOC=∠BOC

，

OP=OP

，

∴

△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE

.∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語(yǔ)言：角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．由角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程．

角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線(xiàn)段是否相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等．在此題的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？練習(xí)如圖，△ABC中，BD=CD，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．ABCDEF證明：∵AD是角平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.ABCDEF隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO基礎(chǔ)鞏固2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論：綜合應(yīng)用①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)課堂小結(jié)ABOMNC角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．1.課本；51頁(yè)第一題；2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。課后作業(yè)本節(jié)課采用了動(dòng)手操作、直觀模