角平分線(xiàn)的性質(zhì)2

角平分線(xiàn)的性質(zhì)2本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.4一、快樂(lè)啟航：1、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理：2、如圖，已知BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求證：D在∠BAC的平分線(xiàn)上。二、自主研讀（自研教材P24——P25的內(nèi)容，思考下列問(wèn)題）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、進(jìn)一步掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及它的逆定理，能夠靈活運(yùn)用這兩個(gè)定理解決有關(guān)問(wèn)題。動(dòng)腦筋

如圖1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF

的中點(diǎn).需添加一個(gè)什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線(xiàn)呢？圖1-29圖1-29∵

ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分線(xiàn).可以添加條件MN=ME

（或MN=MF）.∴

M在∠ACD的平分線(xiàn)上，即CM是∠ACD的平分線(xiàn).圖1-29如圖1-30，在△ABC

的外角∠DAC

的平分線(xiàn)上任取一點(diǎn)P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.例2∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴

BE+PF>PB.∵

AP是∠DAC的平分線(xiàn)，又PE⊥DB，PF⊥AC，解圖1-30舉例

如圖1-31，你能在△ABC

中找到一點(diǎn)P，使其到三邊的距離相等嗎？動(dòng)腦筋圖1-31

因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以只要作△ABC

任意兩角（例如∠A與∠B）的平分線(xiàn)，其交點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).點(diǎn)P也在∠C的平分線(xiàn)上，如圖1-32.圖1-321、如圖，OC為∠AOB的平分線(xiàn)，P為OC上一點(diǎn)，PD⊥OB于D，E為OA上一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段PE的長(zhǎng)度范圍是？【同類(lèi)演練】2、如圖，已知AB=AC，CD=BD，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，求證：DE=DF。3、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面積等于9，求△ADC的面積。練習(xí)如圖，E是∠AOB

的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，EC⊥OA

于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D.

求證：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.

（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，

∵

OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴

OD=OC.證明（1）∵點(diǎn)E在∠BOA的平分線(xiàn)上，

EC⊥AO，ED⊥OB，

∴

ED=EC.

∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC

是個(gè)等腰三角形.2.如圖，在△ABC

中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，

BC分別平分∠BAD，∠ABE，點(diǎn)C在線(xiàn)段DE上.

求證：AB=AD+BE.M證明作CM⊥AB于點(diǎn)M.∵AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，

∴

CD=CM，CE=CM.

在Rt△ACD和Rt△ACM中，

∵

CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又

AB=AM+BM，∴

AB=AD+BE.【拓展挑戰(zhàn)】如圖，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，P為∠CAB與∠ABC的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，PD⊥AB于D，求PD的長(zhǎng)。小結(jié)與復(fù)習(xí)1.直角三角形的兩個(gè)銳角有什么關(guān)系？2.直角三角形斜邊上的中線(xiàn)與斜邊有什么關(guān)系？3.請(qǐng)用自己的語(yǔ)言敘述勾股定理及其逆定理.4.判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法有哪些？5.

角平分線(xiàn)有哪些性質(zhì)？直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形直角三角形判定全等判定方法角平分線(xiàn)角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上性質(zhì)直角三角形兩個(gè)銳角互余有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形HLSASASAAASSSS角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等勾股定理勾股定理的逆定理“斜邊、直角邊定理”是判定兩個(gè)直角三角形全等所獨(dú)有的，在運(yùn)用該判定定理時(shí)，要注意全等的前提條件是兩個(gè)直角三角形.2.要注意本章中的互逆命題，如直角三