16.結(jié)構(gòu)的極限荷載解析

第十六章結(jié)構(gòu)的極限荷載一、彈性設(shè)計(jì)與塑性設(shè)計(jì)彈性設(shè)計(jì)是在計(jì)算中假設(shè)應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系，結(jié)構(gòu)在卸載后沒有殘余變形。利用彈性計(jì)算的結(jié)果，以許用應(yīng)力（彈性極限）為依據(jù)來確定截面尺寸或進(jìn)行強(qiáng)度驗(yàn)算，就是彈性設(shè)計(jì)的作法。16.1概述201:10:28對(duì)于塑性材料的結(jié)構(gòu)，特別是超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)最大應(yīng)力達(dá)到屈服極限，甚至某一局部已進(jìn)入塑性階段，但結(jié)構(gòu)并沒有破壞，即結(jié)構(gòu)還沒有耗盡承載能力。由于沒有考慮材料超過屈服極限后的這一部分承載能力，因而彈性設(shè)計(jì)不夠經(jīng)濟(jì)。在塑性設(shè)計(jì)中，首先要確定結(jié)構(gòu)破壞時(shí)所能承受的荷載——極限荷載，然后將極限荷載除以荷載系數(shù)得到容許荷載并進(jìn)行設(shè)計(jì)。彈性設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)301:10:28二、材料的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系a)

理想彈塑性模型ABCDob)

彈塑性硬化模型在塑性設(shè)計(jì)中，通常假設(shè)材料為理想彈塑性，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系如下：ABCDo401:10:281）殘余應(yīng)變

當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力σs后在C點(diǎn)卸載至D點(diǎn)，即應(yīng)力減小為零，此時(shí)，應(yīng)變并不等于零，而為εP，由下圖可以看出，ε=εs+εP，

εP是應(yīng)變的塑性部分，稱為殘余應(yīng)變。理想彈塑性模型ABCDo501:10:28ABCoA1B1C1可見，彈塑性問題與加載路徑有關(guān)。2）應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系不唯一

當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力σs后，應(yīng)力σ與應(yīng)變?chǔ)胖g不再存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即對(duì)于同一應(yīng)力，可以有不同的應(yīng)變?chǔ)排c之對(duì)應(yīng)。601:10:2816.2極限荷載分析中的幾個(gè)基本概念以理想彈塑性材料的矩形截面梁處于純彎曲狀態(tài)為例：隨M的增大，梁截面應(yīng)力的變化如圖所示：圖(b)：彈性階段，彎矩M為：屈服彎矩圖(c)：彈塑性階段，y0部分為彈性區(qū)，稱為彈性核。圖(d)：塑性流動(dòng)階段，y0→0。彎矩M為：極限彎矩1.屈服彎矩和極限彎矩701:10:28圖(a)為只有一個(gè)對(duì)稱軸的截面圖(b)為彈性階段：應(yīng)力直線分布，中性軸過截面形心；圖(c)為彈塑性階段：中性軸隨彎矩的大小而變化；圖(d)為塑性流動(dòng)階段：受拉區(qū)和受壓區(qū)的應(yīng)力均為常量。

A1(受拉區(qū)面積)=A2(受壓區(qū)面積)，Mu為S1、S2為面積A1、A2對(duì)等面積軸的靜矩801:10:28例1：已知材料的屈服極限，求圖示截面的極限彎矩。100mm20mm解:A1形心距下端0.045m,A2形心距上端0.01167m,A1與A2的形心距為0.0633m.901:10:282、塑性鉸

當(dāng)截面達(dá)到塑性流動(dòng)階段時(shí)，在極限彎矩保持不變的情況下，兩個(gè)無限靠近的截面可以產(chǎn)生有限的相對(duì)轉(zhuǎn)角，這種情況與帶鉸的截面相似。因此這時(shí)的截面可以稱為塑性鉸。由理想彈塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可知，加載至塑性階段后再減載，截面則恢復(fù)其彈性性質(zhì)。由此得到一個(gè)重要特性：塑性鉸只能沿著彎矩增大方向發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，如果沿相反方向變形，截面立即恢復(fù)其彈性剛度，因此塑性鉸是單向的。MuABCC1001:10:28普通鉸不能承受彎矩，而塑性鉸則能承受著極限彎矩Mu

；普通鉸是雙向的，而塑性鉸則是單向的，即只能沿著彎矩增大方向發(fā)生有限相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，如果沿相反方向變形，則不再具有鉸的性質(zhì)。普通鉸的位置是固定的，而塑性鉸的位置是由荷載情況而變化的。塑性鉸與普通鉸的區(qū)別：1101:10:283.破壞機(jī)構(gòu)a、不同結(jié)構(gòu)在荷載作用下，成為機(jī)構(gòu)，所需塑性鉸的數(shù)目不同。b、不同結(jié)構(gòu)，只要材料、截面積、截面形狀相同，塑性彎矩一定相同。MuMuMuMuc、材料、截面積、截面形狀相同的不同結(jié)構(gòu)，qu不一定相同。Mu1Mu2Mu2由于足夠多的塑性鉸的出現(xiàn)，使原結(jié)構(gòu)成為機(jī)構(gòu)（幾何可變體系），失去繼續(xù)承載的能力，該幾何可變體系稱為“機(jī)構(gòu)”。1201:10:284.極限狀態(tài)極限荷載FPu——結(jié)構(gòu)已變?yōu)闄C(jī)構(gòu)、位移可以無限增大、承載力無法再增大時(shí)結(jié)構(gòu)所承受的荷載。當(dāng)結(jié)構(gòu)形成足夠多的塑性鉸，結(jié)構(gòu)變成幾何可變體系時(shí)，形成破壞機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)所對(duì)應(yīng)的變形狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。5.極限荷載1301:10:2816.3單跨梁的極限荷載計(jì)算靜定梁：只要一個(gè)截面出現(xiàn)塑性鉸，梁就成為機(jī)構(gòu)，喪失承載力以至破壞。超靜定梁：具有多余約束，必須出現(xiàn)足夠多的塑性鉸，才能使其成為機(jī)構(gòu)，喪失承載力以至破壞。例1.計(jì)算圖(a)所示等截面梁的極限荷載。圖(b)為彈性階段(FP≤FPs)的M圖，Ａ截面彎矩最大。1401:10:28

FP＞FPs后，塑性區(qū)在A附近形成并擴(kuò)大，在A截面形成第一個(gè)塑性鉸，M圖如圖(c)。

FP繼續(xù)增加，荷載增量引起的彎矩增量圖相應(yīng)于簡(jiǎn)支梁的彎矩圖，如圖(d)。第二個(gè)塑性鉸出現(xiàn)在C截面，梁變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。由平衡條件得極限荷載1501:10:28利用虛功原理求FPu，圖(e)為破壞機(jī)構(gòu)的一種可能位移。外力作功為內(nèi)力作功為由虛功方程得超靜定結(jié)構(gòu)極限荷載計(jì)算的特點(diǎn)（1）只需考慮最后的破壞機(jī)構(gòu)；（2）只需考慮靜力平衡條件；（3）不受溫度變化和支座位移等的影響。1601:10:28例2.試求圖(a)所示變截面梁的極限荷載。解：設(shè)AB、BC段的極限彎矩為出現(xiàn)兩個(gè)塑性鉸時(shí)梁成為破壞機(jī)構(gòu)。（1）當(dāng)截面D、B出現(xiàn)塑性鉸時(shí)如圖(b)此時(shí)M圖如圖(c)，MA=3Mu若此破壞機(jī)構(gòu)不能出現(xiàn)則此破壞機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的條件是由圖(b)的可能位移列虛功方程得極限荷載1701:10:28（2）當(dāng)截面D、A出現(xiàn)塑性鉸時(shí)如圖(a)截面D的彎矩達(dá)到極限值Mu截面A的彎矩達(dá)到極限值彎矩圖如圖(b)，截面B的彎矩若MB＞Mu，此破壞機(jī)構(gòu)不能出現(xiàn)，此時(shí)即此破壞機(jī)構(gòu)的實(shí)現(xiàn)條件是：由圖(a)的可能位移列虛功方程得極限荷載1801:10:283.討論如果圖(a)、圖(b)所示的破壞機(jī)構(gòu)都能實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，A、B、D三個(gè)截面都出現(xiàn)塑性鉸?？傻脴O限荷載1901:10:28例3.試求圖(a)所示梁在均布荷載作用下的極限荷載qu。解：梁處于極限狀態(tài)時(shí)，A端出現(xiàn)塑性鉸，另一個(gè)塑性鉸C有待確定。圖(b)為一破壞機(jī)構(gòu)，塑性鉸C的坐標(biāo)為x。相應(yīng)的可破壞荷載為。由虛功方程得令得解由x2求得極限荷載2001:10:28比例加載：所有荷載變化時(shí)都彼此保持固定的比例，可用一個(gè)參數(shù)FP表示；荷載參數(shù)FP只是單調(diào)增大，不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。假設(shè)條件：材料是理想彈塑性的；截面的正極限彎矩與負(fù)極限彎矩的絕對(duì)值相等；忽略軸力和剪力對(duì)極限彎矩的影響。結(jié)構(gòu)的極限受力狀態(tài)應(yīng)滿足的條件：（1）平衡條件：結(jié)構(gòu)的整體或任一局部都能維持平衡；（2）內(nèi)力局限條件：任一截面彎矩絕對(duì)值都不超過其極限彎矩；（3）單向機(jī)構(gòu)條件：結(jié)構(gòu)成為機(jī)構(gòu)能夠沿荷載方向作單向運(yùn)動(dòng)。16.4比例加載時(shí)判定極限荷載的一般定理2101:10:28可破壞荷載：對(duì)于任一單向破壞機(jī)構(gòu)，用平衡條件求得的荷載值，用表示?？山邮芎奢d：如果在某個(gè)荷載值的情況下，能夠找到某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡，且各截面的內(nèi)力都不超過其極限值，此荷載值稱為可接受荷載用表示?？善茐暮奢d只滿足平衡條件和單向機(jī)構(gòu)條件?？山邮芎奢d只滿足平衡條件和內(nèi)力局限條件。極限荷載同時(shí)滿足平衡條件、內(nèi)力局限條件和單向機(jī)構(gòu)條件；極限荷載既是可破壞荷載，又是可接受荷載。2201:10:28（1）基本定理：可破壞荷載恒不小于可接受荷載，即（2）唯一性定理：極限荷載值是唯一確定的。（3）上限定理（極小定理）：可破壞荷載是極限荷載的上限；即極限荷載是可破壞荷載中的極小值。（4）下限定理（極大定理）：可接受荷載是極限荷載的下限；即極限荷載是可接受荷載中的極大值。由上限定理和下限定理，可得出精確解的上下限范圍，取極小值便得到極限荷載的精確解；唯一性定理可配合試算法來求極限荷載。2301:10:28確定極限荷載的三種方法

1、機(jī)動(dòng)法

2、靜力法

3、試算法機(jī)動(dòng)法1、依據(jù)：機(jī)動(dòng)法是以上限定理為依據(jù)的。

2、步驟：先假設(shè)出所有的破壞機(jī)構(gòu)，而后利用虛位移原理計(jì)算出各機(jī)構(gòu)相應(yīng)的極限荷載。依據(jù)上限定理，這些可破壞荷載中的最小者即為極限荷載。

試算法

1、依據(jù)：試算法是以單值定理為依據(jù)的。

2、步驟：先試算出相應(yīng)于某一破壞機(jī)構(gòu)的可破壞荷載，而后驗(yàn)算該荷載是否滿足屈服條件，若滿足，該荷載即為極限荷載。2401:10:2816.5多跨連續(xù)梁的極限荷載計(jì)算條件：梁在每一跨度內(nèi)為等截面；荷載的作用方向相同，并按比例增加。結(jié)論：連續(xù)梁只可能在各跨獨(dú)立形成破壞機(jī)構(gòu)；如圖(a)、(b)

不可能由相鄰幾跨聯(lián)合形成一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)。如圖(c)連續(xù)梁極限荷載的計(jì)算方法：1）對(duì)每一單跨破壞機(jī)構(gòu)分別求出相應(yīng)的破壞荷載；2）取其最小值即為極限荷載。2501:10:28例4.圖(a)所示連續(xù)梁中，每跨為等截面梁。AB和BC跨的正極限彎矩為Mu，CD跨的正極限彎矩為2Mu；又各跨負(fù)極限彎矩為正極限彎矩的1.2倍。試求此連續(xù)梁的極限荷載qu。解：AB跨破壞時(shí)如圖(b)得BC跨破壞時(shí)如圖(c)得CD跨破壞時(shí)如圖(d)得極限荷載2601:10:28例5.試用機(jī)動(dòng)法求圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載。MuMu機(jī)構(gòu)（1）MuMu機(jī)構(gòu)（2）2701:10:28例6.試用試算法求圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載。MuMu機(jī)構(gòu)（1）MuMuM圖2801:10:28例7.求圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載。機(jī)構(gòu)1MuMu機(jī)構(gòu)2MuMu機(jī)構(gòu)3MuMuMu機(jī)構(gòu)4MuMu2901:10:28例8.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載qu。解：①機(jī)構(gòu)一：AB跨破壞.虛功方程：機(jī)構(gòu)一3001:10:28虛功方程：②機(jī)構(gòu)二：BC跨破壞.③

機(jī)構(gòu)三：CD跨破壞.虛功方程：機(jī)構(gòu)二機(jī)構(gòu)三3101:10:28

④

機(jī)構(gòu)四：CD跨破壞.虛功方程：⑤計(jì)算極限荷載.機(jī)構(gòu)四3201:10:28則：bh據(jù)圖可得靜矩：解：忽略高階項(xiàng)可得：例9.驗(yàn)證工字型截面的極限彎矩為。3301:10:28若第一跨出現(xiàn)破壞，則破壞機(jī)構(gòu)如下圖所示。Mu＝常數(shù)2FPFP1θ1θ2θ3MuMu2FPFP解：例10.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載Fpu。3401:10:28用虛功法可得：可解得可破壞荷載為：3501:10:28若第二跨出現(xiàn)破壞，則破壞機(jī)構(gòu)如下圖所示。1θ1θ2θ3MuMu2FPFPMu用虛功法可得：可解得可破壞荷載為：則可得極限荷載為：3601:10:28例11求圖示等截面靜定梁的極限荷載FPu。解：①單跨靜定梁，繪制破壞機(jī)構(gòu)圖。②依據(jù)彎矩圖特點(diǎn)列方程.③計(jì)算極限荷載.由結(jié)構(gòu)彎矩圖特點(diǎn)可知，塑性鉸出現(xiàn)在A、E兩點(diǎn).3701:10:28例12求圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載值Pu，并畫極限彎矩圖，各截面Mu相同。解：分析結(jié)構(gòu)彎矩圖的特點(diǎn).對(duì)比可知，塑性鉸最可能出現(xiàn)在：3801:10:28虛功方程：②機(jī)構(gòu)圖.彎矩圖：3901:10:28本節(jié)僅限于討論單層單跨剛架的極限荷載。對(duì)于剛架，首先要確定塑性鉸可能產(chǎn)生的截面位置，然后根據(jù)可能的破壞機(jī)構(gòu)用機(jī)構(gòu)法或試算法求極限荷載。1.機(jī)構(gòu)法剛架可在A、B、C、D、E產(chǎn)生塑性鉸。例11

求剛架的極限荷載。解：ABCDEFPFPMu1.5MuMu16.6剛架的極限荷載4001:10:28三種可能的破壞機(jī)構(gòu)為：

1）梁機(jī)構(gòu)；

2）側(cè)移機(jī)構(gòu)；

3）組合機(jī)構(gòu)。1）梁機(jī)構(gòu)A