哈爾濱工業(yè)大學(xué)運(yùn)籌學(xué)教案排隊(duì)論的應(yīng)用案例分析.6

排隊(duì)論應(yīng)用2021年5月10/16/20231地鐵車站樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)分析

教學(xué)目的：利用排隊(duì)論建立軌道交通車站樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)模型，得出客流延時(shí)的指標(biāo)公式，可為更清楚地了解車站樓梯和自動(dòng)扶梯處的乘客延時(shí)狀況提供一定的理論依據(jù)。樓梯和自動(dòng)扶梯是軌道交通車站中主要的升降設(shè)施，在客流頂峰時(shí)，由于樓梯和自動(dòng)扶梯的通過能力有限，大量的乘客將會(huì)在樓梯和自動(dòng)扶梯口處排隊(duì)等候，造成乘客進(jìn)出站時(shí)間延長，弄清乘客在樓梯和自動(dòng)扶梯處的延時(shí)狀況，有利于車站運(yùn)營效益的充分發(fā)揮。10/16/20232乘客從站外經(jīng)檢票進(jìn)入車站付費(fèi)區(qū)，通過樓梯和自動(dòng)扶梯到站臺(tái)，這是一個(gè)隨機(jī)的過程。由于檢票口與樓梯和自動(dòng)扶梯的通過能力相當(dāng)，乘客進(jìn)入站臺(tái)，先受檢票口通過能力約束，使得超過檢票口通過能力的客流被暫時(shí)堵在檢票口外排隊(duì)等候檢票，因此通過檢票口的乘客不會(huì)因?yàn)闃翘莺妥詣?dòng)扶梯的通過能力的約束而需要排隊(duì)。但乘客在出站時(shí)，特別是在客流頂峰，大量的乘客從列車上下來，并且在較短的時(shí)間內(nèi)通過樓梯和自動(dòng)扶梯到達(dá)站廳出站，必然存在一局部乘客在樓梯和自動(dòng)扶梯處排隊(duì)等候。假設(shè)乘客排隊(duì)等候時(shí)間超過了列車發(fā)車間隔，那么等候的乘客越來越多，造成樓梯和自動(dòng)扶梯處越來越堵。10/16/202331乘客排隊(duì)系統(tǒng)推導(dǎo)在一列車到站后的發(fā)車間隔內(nèi)，把從列車下到站臺(tái)的乘客看作效勞對(duì)象，出站的樓梯和自動(dòng)扶梯看作效勞通道，并對(duì)站臺(tái)上的樓梯和自動(dòng)扶梯以及乘客作一些根本的假設(shè)：(1)樓梯和自動(dòng)扶梯沿著站臺(tái)縱向均勻布置，且這種均勻布置使乘客在站臺(tái)上行走的距離最短。(2)下車乘客平均分布于每節(jié)車廂中。(3)所有下車乘客在站臺(tái)上走行的速度是相等的，并保持一定的速度。10/16/20234把每組樓梯和自動(dòng)扶梯及其吸引的客流看作為站臺(tái)上的一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，那么在這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中：輸入過程：乘客以一定的速度從站臺(tái)行走到距離自己最近的樓梯和自動(dòng)扶梯處尋求效勞，以λ表示乘客單位時(shí)間到達(dá)樓梯和自動(dòng)扶梯的人數(shù)，即排隊(duì)系統(tǒng)的輸入率λ(單位：人/s)。每組樓梯和自動(dòng)扶梯效勞的乘客數(shù)為10/16/20235λ——排隊(duì)系統(tǒng)的輸入率W——列車到站后下車或換乘的人數(shù)v——下車乘客在站臺(tái)上的行走速度l——站臺(tái)的有效長度n——站臺(tái)上樓梯和自動(dòng)扶梯的組數(shù)輸入的時(shí)間其輸入率λ的具體表達(dá)式為：(1)10/16/20236排隊(duì)規(guī)那么：乘客到達(dá)樓梯和自動(dòng)扶梯口處，假設(shè)樓梯和自動(dòng)扶梯沒被占用時(shí)，乘客立即使用樓梯和自動(dòng)扶梯，假設(shè)樓梯和自動(dòng)扶梯被占用，不能為乘客提供效勞時(shí)，乘客就會(huì)在此等候樓梯和自動(dòng)扶梯的效勞，而且效勞次序?yàn)橄鹊较刃凇?0/16/20237輸出過程：由于樓梯和自動(dòng)扶梯的通過能力是一定的，以μ表示樓梯和自動(dòng)扶梯的輸出率μ(單位：人／s)。那么排隊(duì)系統(tǒng)的輸出率與樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度相關(guān)，當(dāng)樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度確定后，每一組樓梯和自動(dòng)扶梯的輸出過程是一個(gè)定長輸出過程，其輸出率μ的具體表達(dá)式為：10/16/20238(2)μ——排隊(duì)系統(tǒng)的輸出率C自動(dòng)扶梯——自動(dòng)扶梯的通過能力d自動(dòng)扶梯——自動(dòng)扶梯的凈寬度C樓梯——樓梯的通過能力d樓梯——樓梯的凈寬度輸出時(shí)間t1表達(dá)式為：(3)10/16/20239通過上面的假設(shè)和分析，每一組樓梯和自動(dòng)扶梯所組成的效勞系統(tǒng)是一個(gè)定長輸入、定長輸出的單通道排隊(duì)系統(tǒng)，由n組樓梯和自動(dòng)扶梯布置在站臺(tái)形成的乘客排隊(duì)系統(tǒng)那么是一個(gè)定長輸入、定長輸出、多通道的排隊(duì)系統(tǒng)即：d/d/n排隊(duì)系統(tǒng)。10/16/202310上述這個(gè)d/d/n排隊(duì)系統(tǒng)可以近似的用圖l來描述，橫軸表示時(shí)間，縱軸表示累計(jì)輸入或輸出乘客數(shù)；排隊(duì)系統(tǒng)輸入量曲線和輸出量曲線分別如下圖，它們對(duì)應(yīng)的縱軸坐標(biāo)就分別是累計(jì)輸入乘客數(shù)和累計(jì)輸出乘客數(shù)，陰影局部的面積表示排隊(duì)乘客總的延誤時(shí)間。圖1d／d／n排隊(duì)系統(tǒng)圖形表示圖中參數(shù)的含義為：t0——排隊(duì)系統(tǒng)中輸入結(jié)束時(shí)間t1——排隊(duì)系統(tǒng)中輸出結(jié)束時(shí)間λ——自動(dòng)扶梯和樓梯口的輸入率μ——自動(dòng)扶梯和樓梯口的輸出率Q0——輸入時(shí)間結(jié)束時(shí)自動(dòng)扶梯和樓梯的輸出量Q1——自動(dòng)扶梯口的全部輸入量10/16/202311在這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中采用近似的計(jì)算得出一些重要的指標(biāo)表達(dá)式為：最大排隊(duì)乘客數(shù)：Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0(4)排隊(duì)中最大延誤時(shí)間：ts=t1-t0(假設(shè)ts≤0，那么表示沒有排隊(duì)產(chǎn)生)(5)平均排隊(duì)乘客數(shù)：排隊(duì)平均延誤時(shí)間：排隊(duì)乘客總的延誤時(shí)間：(8)(6)(7)10/16/202312車站樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)實(shí)例以發(fā)車間隔2min，6節(jié)編組的B型車為例，列車長度114m，車廂定員245人，到站后30％的乘客下車出站，乘客在站臺(tái)上的走行速度取0.64m/s。每1m寬的自動(dòng)扶梯通過能力7200人/h。站臺(tái)上布置兩組自動(dòng)扶梯供乘客出站，自動(dòng)扶梯在站臺(tái)上的布置位置滿足上面假設(shè)的原那么，那么自動(dòng)扶梯在站臺(tái)上的布置位置如示意圖2所示：圖2兩組自動(dòng)扶梯布置位置示意圖10/16/202313此時(shí)站臺(tái)上兩組自動(dòng)扶梯和下車乘客是一個(gè)d/d/2系統(tǒng)，對(duì)于每一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，其輸入率和輸出率為：μ=c自動(dòng)扶梯×d自動(dòng)扶梯+c樓梯×d樓梯=2×1=2人/s輸入時(shí)間t0為：輸出時(shí)間t1為：排隊(duì)中最大延誤時(shí)間為：ts=t1-t0=110.25-44.53=65.72s最大排隊(duì)乘客數(shù)：Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0=(5-2)×44.53=134人(取整)排隊(duì)乘客總的延誤時(shí)間：min10/16/202314對(duì)一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)來說，最大的排隊(duì)乘客數(shù)為134人，排隊(duì)乘客的總的延誤時(shí)間為73、38min，而對(duì)整個(gè)站臺(tái)來說，有兩個(gè)這樣的排隊(duì)系統(tǒng)，因此在一列車到來后的出站乘客將會(huì)有268人需要排隊(duì)等候，排隊(duì)中最大的延誤時(shí)間為65.72s，所有乘客總的排隊(duì)時(shí)間為146.76min。假設(shè)排隊(duì)系統(tǒng)中最大延誤時(shí)間大于列車發(fā)車間隔，那么在樓梯和自動(dòng)扶梯處總有乘客在排隊(duì)等候，而且人數(shù)越來越多，這樣就需要重新設(shè)計(jì)樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度。10/16/202315通過對(duì)站臺(tái)上客流狀態(tài)進(jìn)行假設(shè)，建立了樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)的d／d／n排隊(duì)系統(tǒng)模型，并推導(dǎo)出客流延時(shí)的指標(biāo)公式。通過預(yù)測(cè)的客流以及乘客在站臺(tái)上行走的實(shí)際速度，可估算出車站內(nèi)最大乘客延誤數(shù)量及延誤時(shí)間，有利于比較清楚地把握車站內(nèi)乘客延時(shí)狀況。討論：改變參數(shù)〔1〕下車人數(shù)比例為60%；〔2〕平面通道的通行時(shí)間分析10/16/202316學(xué)生實(shí)驗(yàn)城市軌道交通進(jìn)站檢票機(jī)分析教學(xué)目的：要求學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用排隊(duì)論的思想分析實(shí)際問題調(diào)查方案設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)特征分析*排隊(duì)系統(tǒng)參數(shù)分析*排隊(duì)系統(tǒng)仿真背景介紹10/16/202317排隊(duì)系統(tǒng)的描述顧客總體隊(duì)伍效勞臺(tái)效勞系統(tǒng)輸出輸入10/16/202318排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念輸入過程：描述顧客來源是按怎樣的規(guī)律抵達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)。1.顧客源總體:有限還是無限2.到達(dá)類型：?jiǎn)蝹€(gè)到達(dá)還是成批到達(dá)3.相繼顧客到達(dá)的時(shí)間間隔：相互獨(dú)立、同分布的;等時(shí)間間隔的;服從Poisson分布的；k階Erlang分布泊松分布適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。如某一效勞設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)等等。10/16/202319排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念排隊(duì)規(guī)那么：指效勞系統(tǒng)是否允許排隊(duì)，顧客是否愿意排隊(duì)1.損失制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)假設(shè)所有效勞臺(tái)被占，效勞機(jī)構(gòu)又不允許顧客等待，此時(shí)該顧客就自動(dòng)離去。2.等待制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)時(shí)假設(shè)效勞臺(tái)均被占，他們就排隊(duì)等待。效勞順序有：先到先效勞、后到先效勞、隨機(jī)效勞、有優(yōu)先權(quán)的效勞3.混合制排隊(duì)系統(tǒng)：損失制與等待制的混合。隊(duì)長〔容量〕有限的混合；等待時(shí)間有限的混合；逗留時(shí)間有限的混合10/16/202320排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念效勞機(jī)構(gòu)：1.效勞臺(tái)的數(shù)目2.顧客所需的效勞時(shí)間服從怎樣的概率分布(常見顧客的效勞時(shí)間分布有:定長分布、負(fù)指數(shù)分布、超指數(shù)分布、k階Erlang分布、幾何分布、一般分布)10/16/202321排隊(duì)論模型的符號(hào)表示通常由3-5個(gè)英文字母組成，其形式為A/B/C/n，其中A表示輸入過程，B表示效勞時(shí)間，C表示效勞臺(tái)數(shù)目，n表示系統(tǒng)空間數(shù)排隊(duì)模型的表示：

X/Y/Z/A/B/C

X—顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的分布；

Y—效勞時(shí)間的分布；

Z—效勞臺(tái)個(gè)數(shù)；

A—系統(tǒng)容量限制〔默認(rèn)為∞〕；

B—顧客源數(shù)目〔默認(rèn)為∞〕；

C—效勞規(guī)那么〔默認(rèn)為先到先效勞FCFS)。M—負(fù)指數(shù)分布、D—確定型、Ek—k階愛爾朗分布。10/16/202322描述排隊(duì)論系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)1.隊(duì)長(Ls)：指在系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)等待隊(duì)長(Lq)：指系統(tǒng)中等待的顧客的平均數(shù)2.顧客的平均等待時(shí)間(Wq)：指顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)刻起到開始接受效勞止的平均時(shí)間與平均逗留時(shí)間(Ws)：指顧客在系統(tǒng)中平均等待時(shí)間與平均效勞時(shí)間之和3.系統(tǒng)的忙期與閑期效勞機(jī)構(gòu)工作強(qiáng)度=由于效勞顧客的時(shí)間/效勞設(shè)施總的效勞時(shí)間=1-效勞設(shè)施總的空閑時(shí)間/效勞設(shè)施總的效勞時(shí)間10/16/202323與排隊(duì)論模型有關(guān)的LINGO函數(shù)1.@peb(load,S)該函數(shù)返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load，系統(tǒng)中有S個(gè)效勞臺(tái)且允許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)繁忙的概率，也就是顧客等待的概率2.@pel(load,S)該函數(shù)返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load，系統(tǒng)中有S個(gè)效勞臺(tái)且不允許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)損失的概率，也就是顧客得不到效勞離開的概率3.@pfs(load,S,K)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load，顧客數(shù)為K,平行效勞臺(tái)數(shù)量為S時(shí)，有限源的Poisson效勞系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期望值10/16/202324等待制排隊(duì)模型等待制排隊(duì)模型中最常見的模型是：M/M/S/∞,即顧客到達(dá)系統(tǒng)的相繼到達(dá)時(shí)間間隔獨(dú)立，且服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布〔即輸入過程為過程〕，效勞臺(tái)的效勞時(shí)間也獨(dú)立同分布，且服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無限，允許永遠(yuǎn)排隊(duì)10/16/202325等待制排隊(duì)模型的根本參數(shù)1.顧客等待的概率:Pwait=@peb(load,S),其中S是效勞臺(tái)或效勞員的個(gè)數(shù)，load=λ/μ=RT,其中R=λ,T=1/μ，R是顧客的平均到達(dá)率，T是平均效勞時(shí)間2.顧客的平均等待時(shí)間：Wq=Pwait·T/(S-load),其中T/(S-load)可以看成一個(gè)合理的長度間隔，3.顧客的平均逗留時(shí)間、隊(duì)長和等待隊(duì)長〔little公式〕Ws=Wq+1/μ=Wq+TLs=λ·Ws=RWsLq=λ·Wq=RWq10/16/202326等待制排隊(duì)模型實(shí)例1.S=1(M/M/1/∞)例1：某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供效勞，新來維修的顧客到達(dá)后，假設(shè)已有顧客正在接受效勞，那么需要排隊(duì)等待，假設(shè)來維修的顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均每小時(shí)4人，維修時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6min,試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)。2.S=3(M/M/S/∞)例2：設(shè)打印室有3名打字員，平均每個(gè)文件的打印時(shí)間為10min,而文件到達(dá)率為每小時(shí)15件，試求該打印室的主要數(shù)量指標(biāo)。10/16/202327等待制排隊(duì)模型實(shí)例例1：Model:S=1;R=4;T=6/60;load=R*T;Pwait=@peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;End例2：Model:S=3;R=15;T=10/60;load=R*T;Pwait=@peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;END10/16/202328損失制排隊(duì)模型損失制排隊(duì)模型通常記為M/M/S/S,當(dāng)S個(gè)效勞器被占用后，顧客自動(dòng)離去10/16/202329損失制排隊(duì)模型的根本參數(shù)1.系統(tǒng)損失的概率：Plost=@pel(load,S)2.單位時(shí)間內(nèi)平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)：λe=Re=λ(1-Plost)=R(1-Plost)3.系統(tǒng)的相對(duì)通過能力(Q)與絕對(duì)通過能力(A)Q=1-Plost,A=λe·Q=λ(1-Plost)2=Re·Q=R(1-Plost)24.系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)占用效勞臺(tái)的均值:Ls=λe/μ=Re·T注意：在損失制系統(tǒng)中，Lq=0,即等待隊(duì)長為05.系統(tǒng)效勞臺(tái)的效率：η=Ls/S6.顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間:Ws=1/μ=T注意：在損失制系統(tǒng)中，Wq=0,即等待時(shí)間為010/16/202330損失制排隊(duì)模型實(shí)例S=1(M/M/1/1)例1：設(shè)某條線，平均每分鐘有0.6次呼喚，假設(shè)每次通話時(shí)間平均為1.25min,求系統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù)指標(biāo)。model:S=1;R=0.6;T=1.25;load=R*T;Plost=@pel(load,S);Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T,eta=L_s/S;endEta->η10/16/202331損失制排隊(duì)模型實(shí)例S>1(M/M/S/S)例2：某單位交換臺(tái)有一臺(tái)200門內(nèi)線的總機(jī)，在上班8小時(shí)內(nèi)，有20%的內(nèi)線分機(jī)平均每40min要一次外線，80%的分機(jī)平均間隔120min要一次外線。又知外線打入內(nèi)線的平均每分鐘1次。假設(shè)與外線通話的時(shí)間為平均3min，并且上述時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布，如果要求的通話率為95%，問該交換臺(tái)應(yīng)設(shè)置多少條外線？10/16/202332損失制排隊(duì)模型實(shí)例例2：分析：1)交換臺(tái)的效勞分成兩類，第一類內(nèi)線打外線，其強(qiáng)度為λ1=〔0.2×60/40+0.8×60/120〕×200=140第二類是外線打內(nèi)線，其強(qiáng)度為λ2=1×60=60因此總的強(qiáng)度為λ=λ1+λ2=140+60=2002)按題目要求，系統(tǒng)損失的概率不能超過5%，即Plost≤0.053〕外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越少越好Model:R=200;T=3/60;load=R*T;Plost=@pel(load,S);Plost<=0.05;Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T;eta=L_s/S;Min=S;@gin(S);end10/16/202333混合制排隊(duì)模型混合制排隊(duì)模型通常記為：M/M/S/K,即有S個(gè)效勞臺(tái)或效勞員，系統(tǒng)空間容量為K，當(dāng)K個(gè)位置已被顧客占用時(shí)，新到的顧客自動(dòng)離去，當(dāng)系統(tǒng)中有空位置時(shí)，新到的顧客進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)等待。10/16/202334閉合式排隊(duì)模型設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有M個(gè)效勞臺(tái)，顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時(shí)間和效勞臺(tái)的效勞時(shí)間均為負(fù)指數(shù)分布，而系統(tǒng)的容量和潛在的顧客數(shù)都為K，顧客到達(dá)率為λ，效勞臺(tái)的平均效勞率為μ，這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊(duì)模型，記為：M/M/S/K/K10/16/202335閉合式排隊(duì)模型的根本參數(shù)1.平均隊(duì)長：Ls=@pfs(load,S,K),load=K·λ/μ=KRT即:系統(tǒng)的負(fù)荷=系統(tǒng)的顧客數(shù)×顧客到達(dá)率×顧客的效勞時(shí)間2.單位時(shí)間平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù):λe=λ〔K－Ls〕=R(K－Ls)=Re3.顧客處于正常情況的概率:P=(K－Ls)/K4.平均逗留時(shí)間、平均等待隊(duì)長和平均排隊(duì)等待時(shí)間Ws=Ls/λe=Ls/ReLq=Ls－λe/μ=Ls-Re·TWq=Ws－1/μ=Ws－T5.每個(gè)效勞臺(tái)的工作強(qiáng)度:Pwork=λe/(Sμ)10/16/202336排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化模型1.系統(tǒng)效勞時(shí)間確實(shí)定例：某工人照管4臺(tái)自動(dòng)機(jī)床，機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間平均為負(fù)指數(shù)分布，假定平均每周有一臺(tái)機(jī)床損壞需要維修，機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)單位時(shí)間內(nèi)平均收入100元，而每增加一單位μ的維修費(fèi)用為75元，求使總利益到達(dá)最大的μ*分析：這是一個(gè)