近三全國新課標高考數(shù)試卷試題分析

2011~2013年全國新課標數(shù)學試題試卷分析高三數(shù)學組周繼軒縱觀2011~2013年的新課標高考數(shù)學試題，整體感覺是：試卷結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定；考查內(nèi)容相對穩(wěn)定，仍然遵循主干知識重點考查的原則；對能力的考查力度逐年提升?，F(xiàn)把2011~2013年全國課標卷所考查的知識點的情況以及相鄰兩年的對比分析如下。一、2011~2013年全國課標卷考查的知識點對比：高考數(shù)學試卷考點分析題型題號201320122011選擇1集合集合復數(shù)的運算2復數(shù)的運算排列組合函數(shù)基本性質(zhì)3三角函數(shù)恒等變換復數(shù)的運算命題框圖4框圖圓錐曲線（橢圓）概率5平面向量（夾角）數(shù)列三角函數(shù)角的終邊6三角函數(shù)圖像平移框圖三視圖7排列組合三視圖圓錐曲線（雙曲線）離心率8線性規(guī)劃圓錐曲線（雙曲線）二項式定理9三視圖三角函數(shù)單調(diào)性定積分10解析幾何（拋物線）函數(shù)的圖象平面向量命題11函數(shù)命題立體幾何三角函數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)12立體幾何（體積）函數(shù)函數(shù)填空13不等式的解法平面向量線性規(guī)劃14圓錐曲線（雙曲線）線性規(guī)劃圓錐曲線（橢圓）15概率統(tǒng)計（正態(tài)分布）概率統(tǒng)計（正態(tài)分布）立體幾何16三角函數(shù)等差數(shù)列數(shù)列前n項和三角函數(shù)（解三角形)解答17數(shù)列通項公式求角數(shù)列通項公式數(shù)列前n項和解三角形數(shù)列前n項和18統(tǒng)計的數(shù)字特征函數(shù)解析式線線垂直概率概率數(shù)字特征二面角的大小19面面垂直線線垂直概率二面角的大小二面角的大小概率數(shù)字特征20橢圓圓的半徑拋物線圓的方程軌跡方程圓的方程點到直線的距離點到直線的距離21函數(shù)解析式單調(diào)區(qū)間函數(shù)解析式單調(diào)區(qū)間參數(shù)求值則：解得：，則解法1：高次函數(shù)求最值利用導數(shù)進行研究，則求導后不能直接判斷導函數(shù)與0的大小關(guān)系，那么能否可以解不等式呢，我們知道高次不等式的求解往往能夠因式分解，那么能否因式分解呢？利用特殊根的方法進行驗證得到：，則中一定有一個因式，則利用多項式除法進行因式分解：學生會多項式除法嗎？如果不會直接因式分解難度不??！即：則，的三個根為令，利用序軸表根法得：在時，則函數(shù)單調(diào)遞增；在時，則函數(shù)單調(diào)遞減則計算量不小，但結(jié)果非常完美！解法2：函數(shù)有對稱軸，則一定是函數(shù)的一個極值點即：則，一定能夠因式分解，且一定含有一個因式，利用多項式除法從而得：，其余同【方法1】解法3：把握函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，直接對函數(shù)因式分解利用整體代換求最值令，則當時，學生解題存在的問題：（1）不能夠通過兩組特殊值得到的方程組從而求出，而是總想只利用一組特殊值建立的等量關(guān)系后通過減元進行處理（2）求出后不能對導函數(shù)進行因式分解，一是不會利用特殊值找根，二是不能夠利用對高次不等式進行因式分解；（3）求出單調(diào)區(qū)間后求極大值時（）由于運算量大導致錯誤。（2013年11題）已知函數(shù)=，若||≥，則的取值范圍是....解法1：注意到時函數(shù)為二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，因此采用特殊到一般的思路得到部分答案，利用答案C、D的區(qū)別驗證1是否滿足即可：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ，當=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C，故選D.解法2：數(shù)形結(jié)合法，即作出函數(shù)的圖象，利用圖象直觀得到答案：作出函數(shù)的圖象，如圖，恒成立，需函數(shù)的圖象永遠在函數(shù)圖象的上方，而函數(shù)圖象是一條過原點的直線，圖中的兩條紅線均不滿足要求，而藍線表示函數(shù)在原點處的切線，此時切線的斜率為，則的取值范圍為.備注：在利用數(shù)形結(jié)合解決問題時，部分同學對斜率大于0的紅線產(chǎn)生疑問，即當且很小時，在軸的左側(cè)滿足，在軸的右側(cè)是不是也滿足？即判斷方程在的情況下是否一定有解？解決如下：不妨將方程轉(zhuǎn)化為，令，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又，則，則函數(shù)單調(diào)遞減;利用極限知識可知：（涉及到了洛密達法則）則，即在上一定有解.解法三：分離參數(shù)法解決恒成立問題由于函數(shù)為分段函數(shù)，則分兩段考慮即可當時，原命題等價轉(zhuǎn)化為：恒成立，分離參數(shù)得：

恒成立，令由解法二中備注知識可得：，則需；當時，原命題等價轉(zhuǎn)化為：恒成立，即恒成立，從而得到綜上可得：選D解法四：構(gòu)造函數(shù)法解決恒成立問題當時，原命題等價轉(zhuǎn)化為：恒成立，即恒成立，令，則在時單調(diào)遞增，則需當時，原命題等價轉(zhuǎn)化為：恒成立，令

令分母大于0，分子中系數(shù)為與0大小關(guān)系不定，故需分類討論：當時，顯然分子小于0，則，故函數(shù)單調(diào)遞增，則成立；當時也成立當時，令由于不知道與定義域中0的大小關(guān)系，故分類（1）當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減由于，則函數(shù)的圖象大致如下圖1或2；圖象1圖象2若為圖象1，顯然成立，若為圖象2，則不成立，需要考慮函數(shù)在的極限，顯然為無窮減無窮型，不妨考慮兩個函數(shù)圖象的變化圖象1圖象2即的圖象變化，如下圖：當時，則不成立；備注：或者利用解法二中的備注來解決；（2）當時，在遞增，在上單調(diào)遞減，則在上遞減，又，故不成立綜上可得：的取值范圍為.知識點與方法整理：該題雖然為小題，但在解題過程中用到了大量的知識點與方法，現(xiàn)整理如下：（1）當時，基本不等式；（2）高等數(shù)學中的洛密達法則求型函數(shù)的極限；（3）分離參數(shù)法；（4）構(gòu)造函數(shù)法此題最好的方法是利用圖象或特殊到一般結(jié)合排除法最為簡單，尤其是在考場上，建議用最直接的方法得到答案，而且在構(gòu)造函數(shù)時發(fā)現(xiàn)當時不容易解決，但能夠解決。反思與總結(jié)：我們僅看以上兩例，但不難看出新課標命題的一些基本特征，掌握了這些特征，能對我們高考的輔導起到指導作用?，F(xiàn)將我的體會分享如下：主干知識重點考查，但追求知識點的覆蓋面：試題主要內(nèi)容分布在函數(shù)（含導數(shù)）、不等式、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計、三角等主干知識上，不刻意追求知識的覆蓋面，如新增內(nèi)容中函數(shù)的零點、二分法、冪函數(shù)、莖葉圖、條件概率、全稱命題與特稱命題、合情推理與演繹推理、獨立性檢驗等今年就沒有涉及到。而對支撐學科知識體系的重點知識，考查時保持了較高的比例，構(gòu)成了數(shù)學試卷的主體。注重對數(shù)學思想的詮釋和對數(shù)學能力的考查：新課標試卷命題按照考查基礎知識的同時，注重考查能力的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)，既考查了考生對中學數(shù)學的基礎知識、基本技能的掌握程度，又考查了對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質(zhì)的理解水平。加大了試卷的區(qū)分度：新課標試卷命題遵循了考試大綱所提倡的“高考應有較高的信度、效度、必要的區(qū)分度和適當?shù)碾y度”這一原則。很多題目似曾相識，但又不完全相同，