計量經(jīng)濟學(xué)例題

第二章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：一元線性回歸模型例1.令kids表示一名婦女生育孩子的數(shù)目，educ表示該婦女接受過教育的年數(shù).生育率對教育年數(shù)的簡單回歸模型為（1）隨機擾動項包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關(guān)嗎？（2）上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？請解釋.解答：（1）收入、年齡、家庭狀況、政府的相關(guān)政策等也是影響生育率的重要的因素，在上述簡單回歸模型中，它們被包含在了隨機擾動項之中.有些因素可能與增長率水平相關(guān)，如收入水平與教育水平往往呈正相關(guān)、年齡大小與教育水平呈負相關(guān)等.（2）當歸結(jié)在隨機擾動項中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關(guān)時，上述回歸模型不能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響，因為這時出現(xiàn)解釋變量與隨機擾動項相關(guān)的情形，基本假設(shè)4不滿足.例2．已知回歸模型，式中E為某類公司一名新員工的起始薪金（元），N為所受教育水平（年）.隨機擾動項的分布未知，其他所有假設(shè)都滿足.（1）從直觀及經(jīng)濟角度解釋和.（2）OLS估計量和滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡單陳述理由.（3）對參數(shù)的假設(shè)檢驗還能進行嗎？簡單陳述理由.解答：（1）為接受過N年教育的員工的總體平均起始薪金.當N為零時，平均薪金為，因此表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金.是每單位N變化所引起的E的變化，即表示每多接受一年學(xué)校教育所對應(yīng)的薪金增加值.（2）OLS估計量和仍滿足線性性、無偏性及有效性，因為這些性質(zhì)的的成立無需隨機擾動項的正態(tài)分布假設(shè).（3）如果的分布未知，則所有的假設(shè)檢驗都是無效的.因為t檢驗與F檢驗是建立在的正態(tài)分布假設(shè)之上的.例3.在例2中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計量單位由元改為100元，估計的截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計的截距項與斜率項有無變化？解答：首先考察被解釋變量度量單位變化的情形.以E*表示以百元為度量單位的薪金，則.由此有如下新模型或.這里，.所以新的回歸系數(shù)將為原始模型回歸系數(shù)的1/100.再考慮解釋變量度量單位變化的情形.設(shè)N*為用月份表示的新員工受教育的時間長度，則N*=12N，于是或可見，估計的截距項不變，而斜率項將為原回歸系數(shù)的1/12.例4.對沒有截距項的一元回歸模型稱之為過原點回歸（regrissionthroughtheorigin）.試證明（1）如果通過相應(yīng)的樣本回歸模型可得到通常的的正規(guī)方程組則可以得到的兩個不同的估計值：，.（2）在基本假設(shè)下，與均為無偏估計量.（3）擬合線通常不會經(jīng)過均值點，但擬合線則相反.（4）只有是的OLS估計量.解答：（1）由第一個正規(guī)方程得或，求解得.由第2個下規(guī)方程得，求解得.（2）對于，求期望這里用到了的非隨機性.對于，求期望（3）要想擬合值通過點，必須等于.但，通常不等于.這就意味著點不太可能位于直線上.相反地，由于，所以直線經(jīng)過點.（4）OLS方法要求殘差平方和最小Min關(guān)于求偏導(dǎo)得，即.可見是OLS估計量.例5．假設(shè)模型為.給定個觀察值，，…，，按如下步驟建立的一個估計量：在散點圖上把第1個點和第2個點連接起來并計算該直線的斜率；同理繼續(xù)，最終將第1個點和最后一個點連接起來并計算該條線的斜率；最后對這些斜率取平均值，稱之為，即的估計值.（1）畫出散點圖，給出的幾何表示并推出代數(shù)表達式.（2）計算的期望值并對所做假設(shè)進行陳述.這個估計值是有偏的還是無偏的？解釋理由.（3）證明為什么該估計值不如我們以前用OLS方法所獲得的估計值，并做具體解釋.解答：（1）散點圖如下圖所示.（X2，Y2）（Xn，Yn）（X1，Y1）首先計算每條直線的斜率并求平均斜率.連接和的直線斜率為.由于共有－1條這樣的直線，因此（2）因為X非隨機且，因此這意味著求和中的每一項都有期望值，所以平均值也會有同樣的期望值，則表明是無偏的.（3）根據(jù)高斯－馬爾可夫定理，只有的OLS估計量是最付佳線性無偏估計量，因此，這里得到的的有效性不如的OLS估計量，所以較差.例6．對于人均存款與人均收入之間的關(guān)系式使用美國36年的年度數(shù)據(jù)得如下估計模型，括號內(nèi)為標準差：（1）的經(jīng)濟解釋是什么？（2）和的符號是什么？為什么？實際的符號與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話，你可以給出可能的原因嗎？（3）對于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？（4）檢驗是否每一個回歸系數(shù)都與零顯著不同（在1%水平下）.同時對零假設(shè)和備擇假設(shè)、檢驗統(tǒng)計值、其分布和自由度以及拒絕零假設(shè)的標準進行陳述.你的結(jié)論是什么？解答：（1）為收入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時人均儲蓄的預(yù)期平均變化量.（2）由于收入為零時，家庭仍會有支出，可預(yù)期零收入時的平均儲蓄為負，因此符號應(yīng)為負.儲蓄是收入的一部分，且會隨著收入的增加而增加，因此預(yù)期的符號為正.實際的回歸式中，的符號為正，與預(yù)期的一致.但截距項為負，與預(yù)期不符.這可能與由于模型的錯誤設(shè)定形造成的.如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變量將對截距項的估計產(chǎn)生影響；另一種可能就是線性設(shè)定可能不正確.（3）擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對被解釋變量變化的解釋能力.模型中53.8%的擬合優(yōu)度，表明收入的變化可以解釋儲蓄中53.8%的變動.（4）檢驗單個參數(shù)采用t檢驗，零假設(shè)為參數(shù)為零，備擇假設(shè)為參數(shù)不為零.雙變量情形下在零假設(shè)下t分布的自由度為n-2=36-2=34.由t分布表知，雙側(cè)1%下的臨界值位于2.750與2.704之間.斜率項計算的t值為0.067/0.011=6.09，截距項計算的t值為384.105/151.105=2.54.可見斜率項計算的t值大于臨界值，截距項小于臨界值，因此拒絕斜率項為零的假設(shè)，但不拒絕截距項為零的假設(shè).第三章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：多元線性回歸模型例1．某地區(qū)通過一個樣本容量為722的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動力受教育的一個回歸方程為式中，edu為勞動力受教育年數(shù)，sibs為該勞動力家庭中兄弟姐妹的個數(shù)，medu與fedu分別為母親與父親受到教育的年數(shù).問（1）sibs是否具有預(yù)期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預(yù)測的受教育水平減少一年，需要sibs增加多少？（2）請對medu的系數(shù)給予適當?shù)慕忉?（3）如果兩個勞動力都沒有兄弟姐妹，但其中一個的父母受教育的年數(shù)為12年，另一個的父母受教育的年數(shù)為16年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？解答：（1）預(yù)期sibs對勞動者受教育的年數(shù)有影響.因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個孩子接受教育的時間會越短.根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs前的參數(shù)估計值-0.094表明，在其他條件不變的情況下，每增加1個兄弟姐妹，受教育年數(shù)會減少0.094年，因此，要減少1年受教育的時間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個.（2）medu的系數(shù)表示當兄弟姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時，母親每增加1年受教育的機會，其子女作為勞動者就會預(yù)期增加0.131年的教育機會.（3）首先計算兩人受教育的年數(shù)分別為：10.36+0.13112+0.21012=14.452；

10.36+0.13116+0.21016=15.816.因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364例2．以企業(yè)研發(fā)支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（Y），以企業(yè)銷售額（X1）與利潤占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個有32容量的樣本企業(yè)的估計結(jié)果如下：其中括號中為系數(shù)估計值的標準差.（1）解釋log(X1)的系數(shù).如果X1增加10%，估計Y會變化多少個百分點？這在經(jīng)濟上是一個很大的影響嗎？（2）針對R&D強度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗它不雖X1而變化的假設(shè).分別在5%和10%的顯著性水平上進行這個檢驗.（3）利潤占銷售額的比重X2對R&D強度Y是否在統(tǒng)計上有顯著的影響？解答：（1）log(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時，log(X1)變化1個單位，Y變化的單位數(shù)，即Y=0.32log(X1)0.32(X1/X1)=0.32100%，換言之，當企業(yè)銷售X1增長100%時，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重Y會增加0.32個百分點.由此，如果X1增加10%，Y會增加0.032個百分點.這在經(jīng)濟上不是一個較大的影響.（2）針對備擇假設(shè)H1：，檢驗原假設(shè)H0：.易知計算的t統(tǒng)計量的值為t=0.32/0.22=1.468.在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的t分布的臨界值為1.699（單側(cè)），計算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè).意味著R&D強度不隨銷售額的增加而變化.在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311，計算的t值小于該值，拒絕原假設(shè)，意味著R&D強度隨銷售額的增加而增加.（3）對X2，參數(shù)估計值的t統(tǒng)計值為0.05/0.46=1.087，它比在10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認為它對Y在統(tǒng)計上沒有顯著的影響.例3．下表為有關(guān)經(jīng)批準的私人住房單位及其決定因素的4個模型的估計量和相關(guān)統(tǒng)計值（括號內(nèi)為p-值）（如果某項為空，則意味著模型中沒有此變量）.數(shù)據(jù)為美國40個城市的數(shù)據(jù).模型如下：式中housing——實際頒發(fā)的建筑許可證數(shù)量，density——每平方英里的人口密度，value——自由房屋的均值（單位：百美元），income——平均家庭的收入（單位：千美元），popchang——1980~1992年的人口增長百分比，unemp——失業(yè)率，localtax——人均交納的地方稅，statetax——人均繳納的州稅.變量模型A模型B模型C模型DC813(0.74)-392(0.81)-1279(0.34)-973(0.44)Density0.075(0.43)0.062(0.32)0.042(0.47)Value-0.855(0.13)-0.873(0.11)-0.994(0.06)-0.778(0.07)Income110.41(0.14)133.03(0.04)125.71(0.05)116.60(0.06)Popchang26.77(0.11)29.19(0.06)29.41(0.001)24.86(0.08)Unemp-76.55(0.48)Localtax-0.061(0.95)Statetax-1.006(0.40)-1.004(0.37)RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7R20.3490.3380.3220.3121.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6（1）檢驗?zāi)Ｐ虯中的每一個回歸系數(shù)在10%水平下是否為零（括號中的值為雙邊備擇p-值）.根據(jù)檢驗結(jié)果，你認為應(yīng)該把變量保留在模型中還是去掉？（2）在模型A中，在10%水平下檢驗聯(lián)合假設(shè)H0：(i=1，5，6，7).說明被擇假設(shè)，計算檢驗統(tǒng)計值，說明其在零假設(shè)條件下的分布，拒絕或接受零假設(shè)的標準.說明你的結(jié)論.（3）哪個模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標準.（4）說明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號是“錯誤的”.說明你的預(yù)期符號并解釋原因.確認其是否為正確符號.解答：（1）直接給出了P-值，所以沒有必要計算t-統(tǒng)計值以及查t分布表.根據(jù)題意，如果p-值<0.10，則我們拒絕參數(shù)為零的原假設(shè).由于表中所有參數(shù)的p-值都超過了10%，所以沒有系數(shù)是顯著不為零的.但由此去掉所有解釋變量，則會得到非常奇怪的結(jié)果.其實正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量時一定要謹慎，要有所選擇.本例中，value、income、popchang的p-值僅比0.1稍大一點，在略掉unemp、localtax、statetax的模型C中，這些變量的系數(shù)都是顯著的.（2）針對聯(lián)合假設(shè)H0：(i=1，5，6，7)的備擇假設(shè)為H1：(i=1，5，6，7)，中至少有一個不為零.檢驗假設(shè)H0，實際上就是參數(shù)的約束性檢驗，非約束模型為模型A，約束模型為模型D，檢驗統(tǒng)計值為顯然，在H0假設(shè)下，上述統(tǒng)計量滿足F分布，在10%的顯著性水平下，自由度為（4，32）的F分布的臨界值位于2.09和2.14之間.顯然，計算的F值小于臨界值，我們不能拒絕H0，所以(i=1，5，6，7)是聯(lián)合不顯著的.（3）模型D中的3個解釋變量全部通過顯著性檢驗.盡管R2與殘差平方和較大，但相對來說其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)的模型.（4）隨著收入的增加，我們預(yù)期住房需要會隨之增加.所以可以預(yù)期β3>0，事實上其估計值確是大于零的.同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會隨之增加，所以我們預(yù)期β4>0，事實其估計值也是如此.隨著房屋價格的上升，我們預(yù)期對住房的需求人數(shù)減少，即我們預(yù)期β3估計值的符號為負，回歸結(jié)果與直覺相符.出乎預(yù)料的是，地方稅與州稅為不顯著的.由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預(yù)期住房的需求將下降.雖然模型A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱.例4.在經(jīng)典線性模型基本假定下，對含有三個自變量的多元回歸模型：，你想檢驗的虛擬假設(shè)是H0：.（1）用的方差及其協(xié)方差求出.（2）寫出檢驗H0：的t統(tǒng)計量.（3）如果定義，寫出一個涉及0、、2和3的回歸方程，以便能直接得到估計值及其標準誤.解答：（1）由數(shù)理統(tǒng)計學(xué)知識易知.（2）由數(shù)理統(tǒng)計學(xué)知識易知，其中為的標準差.（3）由知，代入原模型得這就是所需的模型，其中估計值及其標準誤都能通過對該模型進行估計得到.第四章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：放寬基本假定的模型例1.下列哪種情況是異方差性造成的結(jié)果？（1）OLS估計量是有偏的。（2）通常的t檢驗不再服從t分布。（3）OLS估計量不再具有最佳線性無偏性。解答：第（2）與（3）種情況可能由于異方差性造成。異方差性并不會引起OLS估計量出現(xiàn)偏誤。例2.已知模型：，。上式中Y、X1、X2和Z的數(shù)據(jù)已知。假設(shè)給定權(quán)數(shù)，加權(quán)最小二乘法就是求下式中的各β，以使的該式最?。海?）求RSS對1、2和2的偏微分并寫出正規(guī)方程。（2）用Z去除原模型，寫出所得新模型的正規(guī)方程組。（3）把帶入（1）中的正規(guī)方程，并證明它們和在（2）中推導(dǎo)的結(jié)果一樣。解答：（1）由對各β求偏導(dǎo)得如下正規(guī)方程組：（2）用Z去除原模型，得如下新模型：；對應(yīng)的正規(guī)方程組如下所示：（3）如果用代替（1）中的，則容易看到與（2）中的正規(guī)方程組是一樣的。例3.已知模型。式中為某公司在第i個地區(qū)的銷售額；為該地區(qū)的總收入；為該公司在該地區(qū)投入的廣告費用（i=0，1，2……，50）。（1）由于不同地區(qū)人口規(guī)?？赡苡绊懼摴驹谠摰貐^(qū)的銷售，因此有理由懷疑隨機誤差項ui是異方差的。假設(shè)依賴于總體的容量，請逐步描述你如何對此進行檢驗。需說明：1）零假設(shè)和備擇假設(shè)；2）要進行的回歸；3）要計算的檢驗統(tǒng)計值及它的分布（包括自由度）；4）接受或拒絕零假設(shè)的標準。（2）假設(shè)。逐步描述如何求得BLUE并給出理論依據(jù)。解答：（1）如果依賴于總體的容量，則隨機擾動項的方差依賴于。因此，要進行的回歸的一種形式為。于是，要檢驗的零假設(shè)H0：，備擇假設(shè)H1：。檢驗步驟如下：第一步：使用OLS方法估計模型，并保存殘差平方項；第二步：做對常數(shù)項C和的回歸；第三步：考察估計的參數(shù)的t統(tǒng)計量，它在零假設(shè)下服從自由度為2的t分布；第四步：給定顯著性水平0.05（或其他），查相應(yīng)的自由度為2的t分布的臨界值，如果估計的參數(shù)的t統(tǒng)計值大于該臨界值，則拒絕同方差的零假設(shè)。（2）假設(shè)時，模型除以有：由于，所以在該變換模型中可以使用OLS方法，得出BLUE估計值。方法是對關(guān)于、、做回歸，不包括常數(shù)項。例4.以某地區(qū)22年的年度數(shù)據(jù)估計了如下工業(yè)就業(yè)回歸方程（-0.56）(2.3)(-1.7)(5.8)上式中Y為總就業(yè)量，X1為總收入，X2為平均月工資率，X3為地方政府的總支出。（1）試證明：一階自相關(guān)的DW檢驗是無定論的。（2）逐步描述如何使用LM檢驗。解答：（1）由于樣本容量n=22，解釋變量個數(shù)為k=3，在5%在顯著性水平下，相應(yīng)的上下臨界值為、。由于DW=1.147位于這兩個值之間，所以DW檢驗是無定論的。（2）進行LM檢驗：第一步，做Y關(guān)于常數(shù)項、lnX1、lnX2和lnX3的回歸并保存殘差；第二步，做關(guān)于常數(shù)項、lnX1、lnX2和lnX3和的回歸并計算；第三步，計算檢驗統(tǒng)計值(n-1)=210.996=20.916；第四步，由于在不存在一階序列相關(guān)的零假設(shè)下(n-1)呈自由度為1的分布。在5%的顯著性水平下，該分布的相應(yīng)臨界值為3.841。由于20.916>3.841，因此拒絕零假設(shè)，意味著原模型隨機擾動項存在一階序列相關(guān)。例5.某地區(qū)供水部門利用最近15年的用水年度數(shù)據(jù)得出如下估計模型：（-1.7）(0.9)(1.4)(-0.6)(-1.2)(-0.8)式中，water—用水總量（百萬立方米），house—住戶總數(shù)（千戶），pop——總?cè)丝冢ㄇ耍琾cy—人均收入（元），price—價格（元/100立方米），rain—降雨量（毫米）。（1）根據(jù)經(jīng)濟理論和直覺，請計回歸系數(shù)的符號是什么(不包括常量)，為什么？觀察符號與你的直覺相符嗎？（2）在10%的顯著性水平下，請進行變量的t-檢驗與方程的F-檢驗。T檢驗與F檢驗結(jié)果有相矛盾的現(xiàn)象嗎？（3）你認為估計值是（1）有偏的；（2）無效的或（3）不一致的嗎？詳細闡述理由。解答：（1）在其他變量不變的情況下，一城市的人口越多或房屋數(shù)量越多，則對用水的需求越高。所以可期望house和pop的符號為正；收入較高的個人可能用水較多，因此pcy的預(yù)期符號為正，但它可能是不顯著的。如果水價上漲，則用戶會節(jié)約用水，所以可預(yù)期price的系數(shù)為負。顯然如果降雨量較大，則草地和其他花園或耕地的用水需求就會下降，所以可以期望rain的系數(shù)符號為負。從估計的模型看，除了pcy之外，所有符號都與預(yù)期相符。（2）t統(tǒng)計量檢驗單個變量的顯著性，F(xiàn)統(tǒng)計值檢驗變量是否是聯(lián)合顯著的。這里t檢驗的自由度為15-5-1=9，在10%的顯著性水平下的臨界值為1.833。可見，所有參數(shù)估計值的t值的絕對值都小于該值，所以即使在10%的水平下這些變量也不是顯著的。這里，F(xiàn)統(tǒng)計值的分子自由度為5，分母自由度為9。10%顯著性水平下F分布