2024屆山東省齊魯名校高三上學期第一次（9月）學業(yè)質量聯(lián)合檢測數學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2024屆山東省齊魯名校高三上學期第一次（9月）學業(yè)質量聯(lián)合檢測數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據集合的交并補運算即可求解.【詳解】因為，，所以．故選：D2．已知復數，則在復平面內復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據復數的除法運算化簡復數，即可由復數幾何意義求解.【詳解】因為，所以復數在復平面內對應的點是，位于第一象限．故選：A3．某商店共有，，三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種【答案】C【分析】根據分步乘法計數原理即可求解.【詳解】由分步乘法計數原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．故選：C4．記為數列的前項和，若則（

）A．5 B．7 C．9 D．12【答案】A【分析】由代入求解即可.【詳解】由得，，所以．故選：A.5．已知向量，，函數，下列四個點中，可為圖象對稱中心的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據數量積的坐標運算，結合輔助角公式化簡，即可由整體法求解對稱中心.【詳解】由題意．令，，所以，，所以圖象的對稱中心為，故函數的圖象的一個對稱中心可以是．故選：B6．某公司年會的抽獎環(huán)節(jié)準備了甲、乙、丙、丁四個封閉的盒子，盒子內裝有現金．為活躍氣氛，主持人通過大屏幕給出四個提示，且只有一個提示是真的．提示1：四個盒子中裝的現金不都是3000元；提示2：乙盒子中裝的現金是3000元；提示3：四個盒子中裝的現金都是3000元；提示4：丁盒子中裝的現金不是5000元，由此可以推斷（

）A．甲盒子中裝的現金是3000元 B．乙盒子中裝的現金是3000元C．丙盒子中裝的現金是3000元 D．丁盒子中裝的現金是5000元【答案】D【分析】根據提示1和提示3矛盾可判斷提示2和4是假的．進而可判斷.【詳解】因為提示1和提示3矛盾，所以提示1和提示3一真一假，因此提示2和4是假的．提示2為假能夠推斷乙盒子中裝的現金不是3000元，故B錯誤；由提示4為假可知，丁盒子中裝的現金是5000元，故D正確；由提示2和提示4為假能判斷提示1正確，提示3錯誤，但無法判斷甲、丙兩個盒子中裝的現金是多少，故A，C錯誤．故選：D7．已知函數的極小值為，極小值點為，零點為．若底面半徑為1的圓錐的高，則該圓錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數求出a，b，再求出函數的零點c，然后利用圓錐表面積公式求解作答.【詳解】函數的定義域為，求導得，令，解得，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，因此函數的極小值，極小值點，令，解得，即，于是，圓錐的母線長為，所以該圓錐的表面積為．故選：B8．已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點，直線與軸交于點，點在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】D【分析】首先寫出直線點斜式方程并求出點，由向量線性運算的坐標表示可以求出，將其代入雙曲線方程即可求解.【詳解】由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因為，不妨設，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.二、多選題9．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊位于第三象限，且與單位圓交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先利用三角函數的定義求出，，，再根據二倍角公式以及兩角和的正弦公式，求解可判斷.【詳解】由三角函數定義，得，得．又是第三象限角，，所以，所以，，，故A正確，B錯誤；，故C正確；，則，故D正確．故選：ACD.10．在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計數據中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數據指標．如圖是某專業(yè)機構統(tǒng)計的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結論正確的是（

）

A．8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B．1-12月校車銷量的同比增長率的平均數小于環(huán)比增長率的平均數C．1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D．1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差【答案】BCD【分析】由統(tǒng)計圖數據對選項逐一判斷可得答案.【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯誤；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數為負數，環(huán)比增長率的平均數是正數，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．故選：BCD.11．已知函數及其導函數的定義域均為，記．若滿足，的圖象關于直線對稱，且，則（

）A． B．為奇函數C． D．【答案】ACD【分析】對于A由，得，等式兩邊同時求導，即可得到的圖象關于點對稱；對于B由函數的性質可知應滿足（為常數），當時，不是奇函數；對于C可知，，所以；對于D由對稱性及周期性可知，即可判斷.【詳解】由，得，等式兩邊同時求導，得即，故的圖象關于點對稱，故A正確；因為的圖象關于直線對稱，故的圖象關于直線對稱，即為偶函數，則，所以應滿足（為常數），當時，不是奇函數，故B錯誤；因為，，所以，故C正確；因為的圖象關于點對稱，關于軸對稱，且，所以，，，在一個周期內，，所以，故D正確．故選：ACD12．已知正六棱柱的底面邊長為2，側棱長為，所有頂點均在球的球面上，則（

）A．直線與直線異面B．若是側棱上的動點，則的最小值為C．直線與平面所成角的正弦值為D．球的表面積為【答案】BD【分析】由直線的位置關系判斷A，由展開圖求最短距離判斷B，建立空間直角坐標系，由空間向量坐標運算判斷C，根據對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點處,由球的表面積公式判斷D．【詳解】對于A，如圖①，連接，，則，，所以，所以直線與直線共面，故A錯誤；對于B，將平面沿著翻折到與平面共面的位置，得到矩形，如圖②所示．因為底面邊長為2，，所以，則的最小值為，故B正確；對于C，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖①所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，．設平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個法向量為．設直線與平面所成角為，則，故C錯誤；對于D，如圖③，設球的半徑為，根據對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點處.,則，所以球的表面積，故D正確．

故選：BD【點睛】關鍵點睛：本題考查空間異面直線的判斷，展開求最值問題，線面角的求法以及幾何體的外接問題.對于選項B的關鍵是將包含線段的兩個平面展開在同一平面然后由共線時線段和最小，得出答案；對于外接球問題的關鍵是根據幾何體的特征先確定出球心的位置，從而得出球體的半徑，屬于難題.三、填空題13．已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位數是，第75百分位數為，則．【答案】【分析】由中位數、百分位數的概念結合對數運算、冪運算即可求解.【詳解】由題意得，，所以．故答案為：.14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上任意一點，的面積的最大值為，的焦距為2，則雙曲線的實軸長為．【答案】4【分析】根據橢圓焦點三角形的性質即可列方程求解，進而可求解.【詳解】由于的面積為，由題意知所以故雙曲線的方程為，則的實軸長為4．故答案為：4

15．已知的展開式中第4項與第6項的二項式系數相等，寫出展開式中的一個有理項．【答案】，，（寫出其中一個即可）【分析】由題意知，求出，求出展開式的通項，令，求出，代入通項即可得出答案.【詳解】由題意知，所以，整理得，解得或（舍去），所以的展開式的通項為：，，．若為有理項，則，所以，4，8，故展開式中所有的有理項為：，，．故答案為：，，16．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，P為內一點．若點P滿足，且，則的最大值為．【答案】【分析】由三角形內心的性質與半角公式求解【詳解】由，得，即，整理可得，故點P在的平分線上，同理可得點P在的平分線上，所以點P為的內心．如圖，延長，交于點D，過點P作，，垂足分別為E，F，

設，，由，得，由D，A，C三點共線得，所以．因為，所以，代入得，當且僅當，即時等號成立，故的最大值為．四、解答題17．已知函數（，）在一個周期內的圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象．

(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)在中，若，，，求．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）由函數的圖象，求得，再由三角函數的圖象變換，得到，結合三角函數的性質，即可求解；（2）因為，求得或，結合余弦定理和勾股定理，即可求解.【詳解】（1）解：由函數的圖象，可得，即，所以，又由最高點是，所以，即，因為，所以，可得，所以，將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象．令，所以，故的單調遞增區(qū)間為．（2）解：因為，所以．又因為，所以，所以或，所以或，當時，由余弦定理得，所以；當時，由勾股定理，得，所以．故邊的長為或．18．記等比數列的前項和為，已知，，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據等比數列基本量的計算即可求解，（2）由錯位相減法，結合等比數列求和公式即可求解.【詳解】（1）設的公比為，由，，，成等差數列，得，．當時，，符合題意，所以；當時，所以，，則．綜上，或．（2）當時，，所以；當時，，所以，則，所以，所以．綜上，或19．如圖，在三棱錐中，平面，，，是的中點，為上的動點．

(1)證明：平面平面；(2)平面時，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）根據空間中垂直關系的轉化，即可求證，（2）建立空間直角坐標系，，利用法向量的夾角求解.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以平面平面．又，平面平面，平面，所以平面,又平面，所以．又，是的中點，所以．又，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為平面，平面，平面平面，所以．又是的中點，所以是的中點，則，，，，，，所以，，，則平面的一個法向量為．設平面的法向量為，則即令，得，，所以平面的一個法向量為．設平面與平面的夾角為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為．

20．研學旅行作為一種新興的教學方式，越來越受中學生的青睞，國家也頒布了一系列政策推進研學旅行發(fā)展．為了解學生對“暑期研學旅行”的滿意度，某教育部門對180名初一至高三的中學生進行了問卷調查．參與問卷調查的男女比例為5：4，女生初、高中比例為3：1．(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據的獨立性檢驗，判斷“暑期研學旅行”的滿意度與性別是否有關聯(lián)；性別滿意度合計滿意不滿意男生80女生50合計(2)該教育部門采用分層隨機抽樣的方法從參與問卷調查的女生中抽取了8名學生．現從這8名學生中隨機抽取4人進行座談，設抽取的女生是初中生的人數為，求的分布列及數學期望．附：，其中．0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，認為“暑期研學旅行”的滿意度與性別有關聯(lián)(2)分布列見解析，3【分析】（1）先求出男，女生抽取的人數，列出列聯(lián)表，求出，然后對照參照表，從而得出答案.（2）先求出取的初中女生，高中女生的人數，得出的可能取值，并求出對應的概率，得出分布列，然后求出數學期望.【詳解】（1）男生人數為，女生人數為，則列聯(lián)表如下表所示：性別滿意度合計滿意不滿意男生8020100女生503080合計13050180零假設為：“暑期研學旅行”的滿意度與性別無關聯(lián)．根據列聯(lián)表中的數據，經計算得到，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“暑期研學旅行”的滿意度與性別有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），則的可能取值為2，3，4，，，，所以的分布列為234故21．已知拋物線，為的焦點，過點的直線與交于，兩點，且在，兩點處的切線交于點，當與軸垂直時，．(1)求的方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用拋物線過的點求拋物線方程；（2）方法一：利用導函數求出拋物線的切線方程，再根據韋達定理以及三角形的全等關系證明，方法二：利用導函數求出拋物線的切線方程，再根據韋達定理以及兩點間的距離該公司證明.【詳