重難點(diǎn)專題04 函數(shù)中的雙變量問題（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專題04函數(shù)中的雙變量問題內(nèi)容速覽 題型4換元法(整體法) 題型1二次函數(shù)中的雙變量問題一元二次函數(shù)中的雙變量問題，注意對稱軸的使用【例題1】(2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測)二次函數(shù)y=x2-2x+2與y=-x2+為【分析】根據(jù)交點(diǎn)處切線垂直得到,再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.【詳解】解：設(shè)該交點(diǎn)為(x?,y?),因為f'(x)=2x-2,則f'(x?)=2x?-2,因為g'(x)=-2x+a,則g'(x?)=-2x?+a,所以(2x?-2)·(-2x?+a)=-1,yi=x2-2x?+2=-x1+ax?+b,,,52521滿足有唯一滿足有唯一f(1-x)=f(1+x),且在區(qū)間[-1,0]上的最大值為3,若函數(shù)g(x)=If(x)l-mxf(x)≥2x整理后即為4a2+b2≤4ab+8a+4b-4,由得(2a-1)x2+2,進(jìn)而f(10)=36.式即可求出其范圍.∵f(x)值域為[0,+],則a取則a取正數(shù))過點(diǎn)(1,1),值域為(0,+co),則ac的最大值為;實數(shù)a滿足1-b=λ√a,值范圍為,利用基本不等式結(jié)合0<a<1,即可求取值范圍.∵開口向上且值域為[0,+], ,,當(dāng)且僅當(dāng),,等號成立.值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.題型2構(gòu)造函數(shù)法劃重點(diǎn)劃重點(diǎn)一些雙變量問題具有相同的形式，我們可以通過構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行變量統(tǒng)一，找到共同的函數(shù)，分析所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小，最值取值范圍等問題.A.ln(y-x+1)>0B.ln(ylnxyInxy【分析】觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，通過移項，可構(gòu)造函,通過判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到x和y的關(guān)系，然后根據(jù)選項驗證即可.由于不能得出|xy|與1的大小關(guān)系，故不能確定C、D是否正確，,結(jié)合函)的單調(diào)性得到y(tǒng)>x,從而得到y(tǒng)>x>z.②兩式相加,因為y>1,eY>0,所,又因為e2>0,所以z<0;所以f(x)=x-Inx在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增，即x>Inx,【變式2-1】2.(2021·山東泰安·統(tǒng)考模擬說法正確的是()2a=Inb-2b,判斷B;利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性可判斷A對數(shù)可得lna-令f(x)=Inx-2x,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，根據(jù)f(a)=f(b)可求出a的范圍；令g(x)=Inx-ln(1-x)-4x+2,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性可判斷D來.來【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性與恒成立問題.其中構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-2)3+所以In(x+2y-3)≤x+2y-3-1,In(2xe×≥x+1,e?≥x2+1(x≥0).【答案】[1,+],由g'(x)=0,得x=e,當(dāng)x∈(-,0),g(x)<0,故xlnaInxlnx),當(dāng)0<a<1,x→0,f'(x)→+o,當(dāng)x→+o,f'(x)→-A.AC.CD.(e,+oo)【分析】把不等式成立，轉(zhuǎn)化為mxeZ≥2xlnx=2elnx·lnx恒成立，設(shè)函數(shù),即mez≥2lnx,,即mez≥2lnx,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為mxeZ≥2xlnx=2elnx.lnx恒成立，所以當(dāng)x=e,函數(shù)h(x)取得最大值，最大值,即實數(shù)m的取值范圍,導(dǎo)數(shù)1則x=e時，取得最大值e由,導(dǎo)數(shù)【答案】(1-e,1)取值范圍.得Inx+ln(2-2t)≤2tx+e2x,所以0<(22t)x≤e2x,即調(diào)遞增從而0<1-t≤e,即t的取值范圍是(1-e故答案為：(1-e,1)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒(能)成立問題的解法：(1)恒成立：Vx∈D,f(x)>0?f(x)min>0;Vx∈D,f(x)<0?f(x)max<0;(2)能成立：3x∈D,f(x)>0?f(x)max>0;3x∈D,f(x)<0?f(x)min<0.(1)恒成立：a>f(x)?a>f(x)max;a<f(x)?a<f(x)min;(2)能成立：a>f(x)?a>f(x)min;a<f(x)?a<f(x)max.題型4換元法(整體法)22【變式4-1】1.(2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí))若實數(shù)x,y滿足2cos2(x+y-1)=且且【變式4-1】2.(2021·杭州二模)若x,y∈R,設(shè)M=x2-2xy+3y2-x+y,則M最小值為當(dāng)且僅當(dāng)y=0,取等號.恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.A.b的最小值為4B.b的最小值為6C.b的最小值為8D.b的最小值為10,f(x)max=f(2)=4-2a<4;則即b≥6,所以b的最小值為6.決和分類討論思想，屬于中檔題.【變式5-1】1.(2022春·金華期末)若存在正實數(shù)b,使得ab(a+b)=b-a,則A.實數(shù)a的最大值為√2+1B.實數(shù)a的最小值為√2+1C.實數(shù)a的最大值為√2-1D.實數(shù)a的最小值為√2-1組，解不等式組求得a的取值范圍，進(jìn)而求出正確選項.不和題意，故這是關(guān)于b的一元二次方程，依題意可知，該方程在b>0上有解，注意到b?·b?=1,所以解得0<a≤√2-1,故實數(shù)a的最大值為√2-1,于中檔題.【變式5-1】2.(2021·浦江縣模擬)已知實數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=1,則ab+c的最小值為B.BD.D【詳解】分析：先分離出a2+b2,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進(jìn)而求出最小值.值詳解：若ab+c取最小值，則ab異號，c<0,根據(jù)題意得：1-c2=a2+b2,又由a2+b2≥2|ab|=-2ab,即有1-c2≥-2ab,;,即ab+c的最小值為-1,故選C.知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，b2+c2-ab-bc-1=0有解，則△=(-b)2-4(b2+c2-bc-1)≥0,再將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的不等式-3b2-4c2+4bc+4≥0有解，從而(4c)2-4×(得到結(jié)果.符合條件.有解，則△=(-b)2-4(b2+c2-bc-1)≥0,即則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的不等式-3b2-4c2+4bc+4≥0有解，,所1f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，則m的取值范圍是.【答案】(-o,1),解得m<1,故答案為：(-,1).題型6變換主元法劃重點(diǎn)劃重點(diǎn)B.BC.CD.D則則,檔題.ab≥mab恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是【答案】(-,2)【分析】將原不等式等價轉(zhuǎn)化為m-1≤(+xlnx)min(x>0),構(gòu)造函數(shù)(【詳解】:對任意正實數(shù)a,b,a2+(lnb-lna)b2+ab≥mab恒成立，即a2+(Inb-lna)b2≥(m-1)ab恒成立，∴φ'(x)在(0,+0)上單調(diào)遞增，φ'(x)>0,·φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+o)上單調(diào)遞增，故答案為：(-,2【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于難題.數(shù)的值域問題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得到結(jié)果.【詳解】若a>0,,f(x)在(0.)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，綜所以q(a)≤q(2)=In2,當(dāng)且僅當(dāng)α=2時等號成立.故答案為題型7參變分離條件，得出1,即可求解.又由φ(0)=-1<0,φ(1)=e-1>0,所以存在唯一的xo∈(0,1)使得φ(xo)=0,1【變式7-1】1.已知函數(shù)f(x)=mln(x+1)-3x-3mx記g(x)=mln(x+1)-3x-3-mx+3e×=m[ln(x+1)-x]+3(e*-x-1),時等號成立),即m=3符合題意，排除D,【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查了分類討論思想，注意小題小做的技巧，是一道綜合題.【變式7-1】2.(2021秋·江西月考)對任意x(,不等式1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為().A.AC.C【分析】通過參變分離，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的值【詳解】原不等式可化為m<e*-xlnxx>3xo,使得t'(xo)=0,,xo=-Inxo,.,所以a≤-4。,或x<-√2有相同的最小值，則因為a>0,所以1-a<1,a(x2-2)2+b(x2-2)=ax?-4ax2+4a-2a(x2axax