吉林省長春市2021-2022學年高一數學下學期第一學程考試試題（解析版）

吉林省長春市2021-2022學年高一數學下學期第一學程考試試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.在復平面內，若復數對應的點的坐標為，則實數（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據復數和坐標系中的點的對應關系得到結果即可.【詳解】復數對應的點的坐標為由題干得到故選：D2.某工廠為了對40個零件進行抽樣調查，將其編號為00，01，…，38，39.現要從中選出5個，利用下面的隨機數表，從第一行第3列開始，由左至右依次讀取，則選出來的第1個零件編號是（）A.36 B.16 C.11 D.14【答案】A【解析】【分析】根據隨機數表的規(guī)則讀取編號．【詳解】從題中給的隨機數表第一行第3列開始從左往右開始讀取，重復的數字只讀一次，讀到的小于40的編號分別為36，33，26，16，11．所以出來的第1個零件編號是36．故選：A3.已知，，，則（）A.A，B，C三點共線 B.A，B，D三點共線C.A，C，D三點共線 D.B，C，D三點共線【答案】B【解析】【分析】根據向量的線性運算得到，從而可以獲得答案.【詳解】，又∵與有公共點B，∴A，B，D三點共線．故選：B.4.的三個內角??滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理即得.【詳解】因為，可設，由余弦定理可得.故選：B.5.若z是復數，且，則的最大值是（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】A【解析】【分析】利用復數模的幾何意義求解即可.【詳解】由已知得表示復平面內z對應的點的軌跡是以原點為圓心，半徑為2的圓，而表示的是復平面內對應的點到復數對應的點（6，－8）之間的距離，其最大值為，故選：A.6.已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數量積運算律化簡即得解.【詳解】解：因，所以，所以.故選：D7.如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A、B兩點，從A、B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°且A、B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為（）A.（）m B.（）mC.（）m D.（）m【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理求出PB，然后根據三角函數定義可得.【詳解】在中，，所以，由正弦定理得：，所以，樹的高度為.故選：A8.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中點，F是AB上一點，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】選定為基底表示目標向量，根據已知條件確定點的位置，再用基底表示，即可利用向量的數量積求得結果.【詳解】設，則，．所以解得．故故選：二?多選題（本大題共4小題，共20分，在每小題的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，選錯的得0分）9.已知為虛數單位，復數，，則下列結論正確的是（）A.的模為 B.的虛部為C.對應的點位于復平面第一象限 D.的共軛復數為【答案】ABC【解析】【分析】根據復數的相關概念依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，的模為，故正確；對于B選項，的虛部為，故正確；對于C選項，，對應的點的坐標為，在第一象限，故正確；對于D選項，的共軛復數為，故錯誤.故選：ABC10.下列命題正確的是（）A.B.相反向量，，滿足C.向量，能作為所在平面內的一組基底D.對于向量，，有不一定成立【答案】BC【解析】【分析】對于A：利用向量的減法直接求解；對于B：由直接判斷；對于C：根據基底的定義直接判斷；對于D：由計算可得.【詳解】對于A：.故A錯誤；對于B：因為，相反向量，，滿足.故B正確；對于C：對于向量，，因為向量與不平行，所以能作為所在平面內的一組基底.故C正確；對于D：對于向量，，有，所以.所以恒成立，故D錯誤.故選：BC11.有下列說法，其中錯誤的說法為（）A.?為實數，若，則與共線B.若?，則C.兩個非零向量?，若，則與垂直D.已知向量，，若在上的投影向量為（為與向量同向的單位向量），則【答案】ABD【解析】【分析】由向量共線的性質可判斷A；由零與任何向量共線，即可判斷B；；根據平面向量數量積的運算律判斷C；利用投影向量的概念可判斷D．【詳解】對于A選項，當時，與可以為任意向量，滿足，但與不一定共線，故A錯誤，對于B選項，如果、都是非零向量，，滿足已知條件，但是結論不成立，故B錯誤，對于C選項，若，所以，即，即，所以，∴與垂直，故C正確，對于D選項，由向量，，在上的投影向量為，∴，即，故D錯誤.故選：ABD.12.在中，角，，所對的對邊分別為，，，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，，，則滿足條件的有且僅有一個C.若，則是直角三角形D.若為銳角三角形，且.若，則外接圓面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用大角對大邊以及正弦定理可判斷A，利用正弦定理可判斷B，利用余弦定理化角為邊可判斷C，利用條件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可判斷D.詳解】對于A，若，則，由正弦定理可得，則，故A正確；

對于B，若，則,,因此滿足條件的有兩個，故B錯誤；

對于C，,則，整理得，故為直角三角形，故C正確；

對于D，由，可得，∴，又，∴，又為銳角三角形，∴，∴，當且僅當時，取等號，∴，由正弦定理可得，，（R為外接圓半徑）可得,∴外接圓面積的最小值為，故D正確.

故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共共20分.13.計算：___________.【答案】##【解析】【分析】利用復數的除法化簡可得結果.【詳解】.故答案為：.14.在中，角，，所對的邊分別為，，若，，，則_____________．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形內角和定理可求，根據正弦定理即可求的值．【詳解】在中，，，，則，由正弦定理可得：．故答案為：．15.某高中針對學生發(fā)展要求，開設了富有地方特色“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參加這兩個社團的學生共有800人，按照要求每人只能參加一個社團，各年級參加社團的人數情況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的，為了了解學生對兩個社團活動的滿意程度，從中抽取一個50人的樣本進行調查，則從高二年級“剪紙”社團的學生中應抽取________人．【答案】6【解析】【分析】先按分層抽樣求出高二年級人數，再按樣本占總體的比例得解.【詳解】因為“泥塑”社團的人數占總人數的，故“剪紙”社團的人數占總人數的，所以“剪紙”社團的人數為.因為“剪紙”社團中高二年級人數比例為，所以“剪紙”社團中高二年級人數為.由題意知，抽樣比為，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數為.故答案為:616.已知在邊長為的正三角形中，、分別為邊、上的動點，且，則的最大值為_________．【答案】##【解析】【分析】如圖建立直角坐標系，設（），則（），然后表示出可求得其最大值【詳解】如圖建系，則、、，則，，設（），則（），則，，∴，∴，當時，取最大值．故答案為：四?解答題：本題共4小題，每小題題10分17.設、、、為平面內的四點，且，，.（1）若，求點的坐標；（2）設向量，，若與平行，求實數的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設點，利用結合平面向量的坐標運算可得出關于、的方程組，由此可求得點的坐標；（2）求出向量與的坐標，利用共線向量的坐標表示可得出關于實數的方程，由此可求得實數的值.【詳解】（1）設，，即，則，解得，因此，點的坐標為；（2），，，，與平行，，解得.【點睛】本題考查利用向量相等求點的坐標，同時也考查了利用平面向量共線求參數，考查計算能力，屬于基礎題.18.已知函數.（1）求函數的單調遞減區(qū)間；（2）若，求函數的最小值.【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數解析式，然后利用正弦函數的性質即得；(2)根據正弦函數的性質即得.【小問1詳解】∵，由，，解得，，所以函數的單調遞減區(qū)間為，；小問2詳解】由，則，所以，所以，所以當時，函數有最小值為0．19.西昌市邛瀘旅游風景區(qū)在邛海舉行搜救演練，如圖，、是邛海水面上位于東西方向相距公里的兩個觀測點，現位于點北偏東、點西北方向的點有一艘漁船發(fā)出求救信號，位于點南偏西且與點相距公里的點的救援船立即前往營救，其航行速度為公里/小時.求：（1）觀測點與點處的漁船間的距離；（2）點的救援船到達點需要多長時間？【答案】（1）公里（2）小時【解析】【分析】（1）求出的三個內角，利用正弦定理可求得的長；（2）利用余弦定理求出，結合救援船行駛的速度可求得所需時間.【小問1詳解】解：在中，，，則，所以，，由正弦定理，所以，（公里）.【小問2詳解】解：在中，，，，由余弦定理可得，因此，救援船所需時間為（小時）.20.如圖：某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現準備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞.（1）若在內部取一點，建造連廊供游客觀賞，如圖①，使得點是等腰三角形的頂點，且，求連廊的長（單位為百米）；（2）若分別在，，上取點，，，并連建造連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞，如圖②，使得為正三角形，或者如圖③，使得平行，且垂直，則兩種方案的的面積分別設為，，則和哪一個更小？【答案】（1）百米（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得連廊的長；（2）分別表示出方案②和方案③的面積，利用三角函數求最值以及二次函數求最值即可.【小問1詳解】解：點是等腰三角形的頂點，且，且由余弦定理可得：解得：又在中，，在中，由余弦