吉林省長(zhǎng)春市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)程考試試題（解析版）

吉林省長(zhǎng)春市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一學(xué)程考試試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)和坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到結(jié)果即可.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為由題干得到故選：D2.某工廠為了對(duì)40個(gè)零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號(hào)為00，01，…，38，39.現(xiàn)要從中選出5個(gè)，利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列開(kāi)始，由左至右依次讀取，則選出來(lái)的第1個(gè)零件編號(hào)是（）A.36 B.16 C.11 D.14【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表的規(guī)則讀取編號(hào)．【詳解】從題中給的隨機(jī)數(shù)表第一行第3列開(kāi)始從左往右開(kāi)始讀取，重復(fù)的數(shù)字只讀一次，讀到的小于40的編號(hào)分別為36，33，26，16，11．所以出來(lái)的第1個(gè)零件編號(hào)是36．故選：A3.已知，，，則（）A.A，B，C三點(diǎn)共線 B.A，B，D三點(diǎn)共線C.A，C，D三點(diǎn)共線 D.B，C，D三點(diǎn)共線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到，從而可以獲得答案.【詳解】，又∵與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選：B.4.的三個(gè)內(nèi)角??滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理即得.【詳解】因?yàn)椋稍O(shè)，由余弦定理可得.故選：B.5.若z是復(fù)數(shù)，且，則的最大值是（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求解即可.【詳解】由已知得表示復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，而表示的是復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（6，－8）之間的距離，其最大值為，故選：A.6.已知向量，滿(mǎn)足，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算律化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：因，所以，所以.故選：D7.如圖所示，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)尖的仰角為30°，45°且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為（）A.（）m B.（）mC.（）m D.（）m【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理求出PB，然后根據(jù)三角函數(shù)定義可得.【詳解】在中，，所以，由正弦定理得：，所以，樹(shù)的高度為.故選：A8.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】選定為基底表示目標(biāo)向量，根據(jù)已知條件確定點(diǎn)的位置，再用基底表示，即可利用向量的數(shù)量積求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，．所以解得．故故選：二?多選題（本大題共4小題，共20分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，選錯(cuò)的得0分）9.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的模為 B.的虛部為C.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第一象限 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，的模為，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，的虛部為，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，的共軛復(fù)數(shù)為，故錯(cuò)誤.故選：ABC10.下列命題正確的是（）A.B.相反向量，，滿(mǎn)足C.向量，能作為所在平面內(nèi)的一組基底D.對(duì)于向量，，有不一定成立【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A：利用向量的減法直接求解；對(duì)于B：由直接判斷；對(duì)于C：根據(jù)基底的定義直接判斷；對(duì)于D：由計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，相反向量，，滿(mǎn)足.故B正確；對(duì)于C：對(duì)于向量，，因?yàn)橄蛄颗c不平行，所以能作為所在平面內(nèi)的一組基底.故C正確；對(duì)于D：對(duì)于向量，，有，所以.所以恒成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.有下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的說(shuō)法為（）A.?為實(shí)數(shù)，若，則與共線B.若?，則C.兩個(gè)非零向量?，若，則與垂直D.已知向量，，若在上的投影向量為（為與向量同向的單位向量），則【答案】ABD【解析】【分析】由向量共線的性質(zhì)可判斷A；由零與任何向量共線，即可判斷B；；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷C；利用投影向量的概念可判斷D．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿(mǎn)足，但與不一定共線，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，如果、都是非零向量，，滿(mǎn)足已知條件，但是結(jié)論不成立，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，若，所以，即，即，所以，∴與垂直，故C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，由向量，，在上的投影向量為，∴，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.12.在中，角，，所對(duì)的對(duì)邊分別為，，，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，，，則滿(mǎn)足條件的有且僅有一個(gè)C.若，則是直角三角形D.若為銳角三角形，且.若，則外接圓面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用大角對(duì)大邊以及正弦定理可判斷A，利用正弦定理可判斷B，利用余弦定理化角為邊可判斷C，利用條件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可判斷D.詳解】對(duì)于A，若，則，由正弦定理可得，則，故A正確；

對(duì)于B，若，則,,因此滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，,則，整理得，故為直角三角形，故C正確；

對(duì)于D，由，可得，∴，又，∴，又為銳角三角形，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，∴，由正弦定理可得，，（R為外接圓半徑）可得,∴外接圓面積的最小值為，故D正確.

故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共共20分.13.計(jì)算：___________.【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.14.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，若，，，則_____________．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求，根據(jù)正弦定理即可求的值．【詳解】在中，，，，則，由正弦定理可得：．故答案為：．15.某高中針對(duì)學(xué)生發(fā)展要求，開(kāi)設(shè)了富有地方特色“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社團(tuán)，已知報(bào)名參加這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人，按照要求每人只能參加一個(gè)社團(tuán)，各年級(jí)參加社團(tuán)的人數(shù)情況如下表：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，為了了解學(xué)生對(duì)兩個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的滿(mǎn)意程度，從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取________人．【答案】6【解析】【分析】先按分層抽樣求出高二年級(jí)人數(shù)，再按樣本占總體的比例得解.【詳解】因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)為.因?yàn)椤凹艏垺鄙鐖F(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為，所以“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)為.由題意知，抽樣比為，所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為.故答案為:616.已知在邊長(zhǎng)為的正三角形中，、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)________．【答案】##【解析】【分析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)（），則（），然后表示出可求得其最大值【詳解】如圖建系，則、、，則，，設(shè)（），則（），則，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，取最大值．故答案為：四?解答題：本題共4小題，每小題題10分17.設(shè)、、、為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，，.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量，，若與平行，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，利用結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、的方程組，由此可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出向量與的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)，，即，則，解得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），，，，與平行，，解得.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量相等求點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)也考查了利用平面向量共線求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；(2)根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問(wèn)1詳解】∵，由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；小問(wèn)2詳解】由，則，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為0．19.西昌市邛瀘旅游風(fēng)景區(qū)在邛海舉行搜救演練，如圖，、是邛海水面上位于東西方向相距公里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東、點(diǎn)西北方向的點(diǎn)有一艘漁船發(fā)出求救信號(hào)，位于點(diǎn)南偏西且與點(diǎn)相距公里的點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為公里/小時(shí).求：（1）觀測(cè)點(diǎn)與點(diǎn)處的漁船間的距離；（2）點(diǎn)的救援船到達(dá)點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】（1）公里（2）小時(shí)【解析】【分析】（1）求出的三個(gè)內(nèi)角，利用正弦定理可求得的長(zhǎng)；（2）利用余弦定理求出，結(jié)合救援船行駛的速度可求得所需時(shí)間.【小問(wèn)1詳解】解：在中，，，則，所以，，由正弦定理，所以，（公里）.【小問(wèn)2詳解】解：在中，，，，由余弦定理可得，因此，救援船所需時(shí)間為（小時(shí)）.20.如圖：某公園改建一個(gè)三角形池塘，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚(yú)供游客觀賞.（1）若在內(nèi)部取一點(diǎn)，建造連廊供游客觀賞，如圖①，使得點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，且，求連廊的長(zhǎng)（單位為百米）；（2）若分別在，，上取點(diǎn)，，，并連建造連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚(yú)類(lèi)供游客觀賞，如圖②，使得為正三角形，或者如圖③，使得平行，且垂直，則兩種方案的的面積分別設(shè)為，，則和哪一個(gè)更小？【答案】（1）百米（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得連廊的長(zhǎng)；（2）分別表示出方案②和方案③的面積，利用三角函數(shù)求最值以及二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，且，且由余弦定理可得：解得：又在中，，在中，由余弦