人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （等邊三角形）課件教學(xué)

第十三章軸對(duì)稱人教版·八年級(jí)上冊(cè)等邊三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定．（重點(diǎn)）2.能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．（難點(diǎn)）復(fù)習(xí)導(dǎo)入定義：

的三角形叫做等腰三角形.兩邊相等性質(zhì)1：等邊對(duì)等角三線合一性質(zhì)2：等腰三角形判定性質(zhì)定義：兩邊相等.等角對(duì)等邊.對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形，有

條對(duì)稱軸.1ABC圖形對(duì)稱軸探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)三角形按照邊是怎么分類的？底≠腰三角形等腰三角形一般三角形底=腰探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)所以說(shuō)等邊三角形是三條邊都相等的特殊的等腰三角形.那么等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).探索新知

思考1

把等腰三角形的性質(zhì)1（等邊對(duì)等角）用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)ABC三角形內(nèi)角和為180°AB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C∠A=∠B=∠C=60°探索新知

思考2

把等腰三角形的性質(zhì)2（三線合一）用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.探索新知等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線相互重合，即“三線合一”.

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)ABCBC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線“三線合一”.AB邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線“三線合一”.AC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線“三線合一”.探索新知

思考3

把等腰三角形的對(duì)稱性用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？ABCBC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線所在直線為對(duì)稱軸.AB邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線所在直線為對(duì)稱軸.AC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線所在直線為對(duì)稱軸.

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)探索新知等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸，分別為每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線所在直線.

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)圖形等腰三角形等邊三角形性質(zhì)邊角三線合一對(duì)稱性每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合三個(gè)角都相等，3條對(duì)稱軸1條對(duì)稱軸兩個(gè)底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)例1

如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．又∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠E=30°．∴∠DBC=∠E．∴DB=DE．EABCD探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)【變式】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=（）A.15°B.20°C.25°D.30°AEABCDFG探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)【變式】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若DE=DB，求CE的長(zhǎng).解：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，∴∠ABC=∠ACB=60°，BD為∠ABC的平分線，∴∠DBE=∠ABC=30°.∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.EABCD探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)【變式】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若DE=DB，求CE的長(zhǎng).∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),

∴CE=CD=.EABCD探索新知等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等性質(zhì)？？？判定？？？該怎么證明呢？

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求證：△ABC是等邊三角形.證明：∵∠A=∠B,∴BC=AC.∵∠B=∠C,∴AC=AB.

∴AB=BC=AC，則△ABC是等邊三角形.ABC等邊三角形的判定方法1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.探索新知

等腰三角形只要滿足一個(gè)角是60°，就可以判定它是等邊三角形？你同意這樣的說(shuō)法嗎？試著證明一下吧！

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知證明：∵AB=AC，∠B=60°,∴∠C=∠B=60°.

∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°,∴∠A=∠B=∠C.

∴△ABC是等邊三角形.ABC已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.求證：△ABC是等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定當(dāng)60°角為底角時(shí)探索新知已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.求證：△ABC是等邊三角形.證明：∵AB=AC,∴∠C=∠B.

∵∠A=60°,∴∠B+∠C=180°-∠A=120°.∴∠A=∠B=∠C=60°.

∴△ABC是等邊三角形.ABC

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定當(dāng)60°角為頂角時(shí)探索新知等邊三角形的判定方法2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知圖形等腰三角形等邊三角形判定邊（定義）角特殊法三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知例2

如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.

∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等邊三角形.ABCDE想一想：本題還有其他證法嗎？

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知【變式】如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是邊AB，AC上一點(diǎn)，且BD=CE.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠A=60°.

∵BD=CE，

∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE,

∴△ADE是等邊三角形.ABCDE

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知

知識(shí)點(diǎn)

等腰三角形的判定判定一個(gè)三角形是等邊三角形的方法選擇：若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；若已知三角關(guān)系，一般選用判定方法1；若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定方法2.課堂小結(jié)等邊三角形的性質(zhì)與判定定義性質(zhì)三邊都相等的三角形是等邊三角形.邊角三邊相等三個(gè)角都等于60°三線合一每條邊上都具有“三線合一”性質(zhì)對(duì)稱性是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸判定定義法三角法三邊都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等腰三角形法有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形課堂練習(xí)1.下列條件中不能得到等邊三角形的是（）A.有一個(gè)角是60°的等腰三角形B.三邊相等的三角形C.有兩個(gè)內(nèi)角是60°的三角形D.有兩個(gè)外角相等的等腰三角形D2.已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8，一個(gè)內(nèi)角為60°，則它的周長(zhǎng)為

．24課堂練習(xí)3.如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)

．100°4.等邊三角形ABC的兩條角平分線BD和CE相交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為

．120°ABCDEF第3題圖

第4題圖課堂練習(xí)5.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則∠BDF+∠CEF=

.【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠DFE＝∠A＝60°.120°60°60°60°60°12根據(jù)三角形內(nèi)角和易得∠BDF+∠1＝120°，∠CEF+∠2＝120°.∴∠1＝120°-∠BDF，∠2＝120°-∠CEF.根據(jù)平角為180°易得∠1+∠2＝120°.∴∠BDF+∠CEF=120°.故答案為120°．課堂練習(xí)解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠EDB=∠EDC，∠ACB=60°.又ED=ED，∴△EDB≌△EDC（SAS）.∴∠EBD=∠ECD=45°.∴∠ACE=∠ACB-∠ECD=60°-45°=15°.6.如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC=45°，求∠ACE的度數(shù).ABCDE課堂練習(xí)7.如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AD=CE，則∠BCD+∠CBE的大小是多少？解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.又AD=CE，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴∠ACD=∠CBE.∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.EDBCA課堂練習(xí)8.在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．13.3.1等腰三角形13.3.1

等腰三角形R·八年級(jí)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱

目錄0102030405復(fù)習(xí)導(dǎo)入探索新知鞏固練習(xí)課堂小結(jié)作業(yè)布置復(fù)習(xí)導(dǎo)入什么是等腰三角形？什么是三角形？探索新知仔細(xì)觀察自己剪出的等腰三角形紙片，你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)等腰三角形的特征嗎？同學(xué)們剪下的等腰三角形紙片大小不同，形狀各異，是否都具有上述所概括的特征？在練習(xí)本上任意畫一個(gè)等腰三角形，把它剪下來(lái)，折一折，上面得出的結(jié)論仍然成立嗎？由此你能概括出等腰三角形的性質(zhì)嗎？探索新知

等腰三角形的性質(zhì):性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高相互重合（三線合一）．探索新知

由上面的操作過(guò)程獲得啟發(fā)，我們可以利用三角形的全等證明這些性質(zhì).ABCD如圖，△ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD.證明：

AB=AC，∵BD=CD，

AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SSS）．∴∠B=∠C．探索新知AＢCD∴∠BAD=∠CAD，∠BDA

=∠CDA．∵∠BDA

+∠CDA=180°，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．探索新知

在等腰三角形性質(zhì)的探索過(guò)程和證明過(guò)程中“折痕”“輔助線”發(fā)揮了非常重要的作用，由此，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么特征？

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對(duì)稱軸．探索新知知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用

例1如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD．

求△ABC各角的度數(shù)．解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，于是在△ABC

中，有∠A

+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°解得x=36°.所以，在△ABC

中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.探索新知知識(shí)點(diǎn)3探索等腰三角形的判定定理

我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等.反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？探索新知ABC

證明：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D.在△BAD和△CAD中，D∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD

．

∴AB=AC．

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC．探索新知

等腰三角形的判定方法：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．符號(hào)語(yǔ)言：∵在△ABC中，∠B=∠C，∴

AB=AC．ABC探索新知知識(shí)點(diǎn)4等腰三角形判定的應(yīng)用

例1求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求證：AB=AC.ABCDE12探索新知證明：∵

AD∥BC，∴∠1=∠B（），

∠2=∠C（）．兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴

AB=AC（）．等角對(duì)等邊ABCDE12探索新知DC

例3

已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高的長(zhǎng)為h，求作這個(gè)等腰三角形.作法：（1）作線段AB=a；（2）作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點(diǎn)D；（3）在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h；（4）連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形.ABMNah鞏固練習(xí)

練習(xí)1在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù).72°30°鞏固練習(xí)練習(xí)2如圖，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），

AD是底邊BC上的高.標(biāo)出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度

數(shù)，并寫出圖中所有相等的線段.鞏固練習(xí)練習(xí)3如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C

的度數(shù).鞏固練習(xí)練習(xí)4如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的

度數(shù).解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵AD=AC，∴∠ADC=∠C.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.設(shè)∠B=x，則∠BAC=2∠BAD=2x，∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x，∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠B=36°.鞏固練習(xí)ABCD共有3個(gè)等腰三角形．△ABC、

△DAB、△BCD

練習(xí)5如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，圖中一共有幾個(gè)等腰三角形？找出其中的一個(gè)等腰三角形給予證明．鞏固練習(xí)練習(xí)6如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙沿著對(duì)角線折疊，重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？ABCDCE解：是等腰三角形∵△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴△EBD是等腰三角形.鞏固練習(xí)練習(xí)7已知：△ABC，D為AC的中點(diǎn)，BD=AC.求證：∠ABC=90°.證明：∵D為AC的中點(diǎn)，

BD=AC.∴AD=BD=DC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠DBC.∵∠A+∠ABC+∠C=2（∠ABD+∠DBC）=2∠ABC=180°.∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.鞏固練習(xí)練習(xí)8如圖，AC和BD相交于O點(diǎn)，