人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系）一元二次方程教師教學(xué)課件

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2.一元二次方程的求根公式是什么？回顧舊知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)1.一元二次方程的一般形式是什么？同學(xué)們，我們來做一個(gè)游戲，看誰(shuí)能更快速的說出下列一元二次方程的兩根和與兩根積？

（1）x2+3x+2=0（2）6x2+x-2=0

（3）2x2-3x

+1=0方程

x1

x2x1+x2

x1x2

x2+3x+2=06x2+x-2=0

2x2-3x

+1=0

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)有兩個(gè)根：韋達(dá)定理：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根那么說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=0x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-說一說：例1:方程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2

不解方程，求下列代數(shù)式的值：

(1)(2)(3)

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，常用類型還有:例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,

求它的另一個(gè)根及k的值.解法一：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1由根與系數(shù)的關(guān)系，得2＋x2=k+12x2=3k解得x2=－3

k=－2答:方程的另一個(gè)根是－3,k的值是－2.解法二：把x=2代入方程,得4-2(k+1)+3k=0解得k=-2則此方程為x2+x-6=0(x+3)(x-2)=0∴x1＝－3,x2＝2答：方程的另一個(gè)根是－3,k的值是－2.例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,

求它的另一個(gè)根及k的值.411412則：＝＝試一試：2、設(shè)x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個(gè)根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：x1+x2=-2,x1x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=∵1.已知一元二次方程2x2+mx+3=0的一個(gè)根是1，則另一個(gè)根是______練練一解:設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1,x2,其中x1=1.

根據(jù)x1.x2=，

即1.

x2

∴x2

應(yīng)用新知一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韋達(dá)定理）常數(shù)項(xiàng)一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)注意系數(shù)符號(hào)。歸納小結(jié)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

韋達(dá)，1540

年出生于法國(guó)的波亞圖，他把符號(hào)系統(tǒng)引入代數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績(jī)，稱他為“代數(shù)學(xué)之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2導(dǎo)入新課-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程兩根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.將二次項(xiàng)系數(shù)化為1

對(duì)于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一樣的規(guī)律嗎？講授新課對(duì)于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)Δ≥0時(shí)，設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1，x2，此時(shí)x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究結(jié)論如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為

x1，x2，那么，注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”．探究結(jié)論例1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=-15．先化為一般式定理應(yīng)用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=．練習(xí)1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）3x2

+

7x

-

9=0；（2）

2x2-4x+9=0．（2）解：a=2，b=-4，c=9．

Δ

=b2-4ac

=(-4)2–4×2×9=-56<0．

∴方程無實(shí)數(shù)根．（1）解：a=3，b=7，

c=-9．

Δ

=b2-4ac

=72–4×3×(-9)=157>0．

∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=-3．定理應(yīng)用例2

設(shè)

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個(gè)根，則(1)x1+x2=

，x1·x2=

．（x1+x2）2–2x1x2∴原式=42–2×1=1441(x1+1)(x2+1)=(2)求下列式子的值：x12+x22=x1x2+(x1+x2)+1∴原式=1+4+1=6定理應(yīng)用∵x1+x2=4，x1x2=1∵x1+x2=4，x1x2=1∴原式∵x1+x2=4，x1x2=1x1+x2=

４

，x1·x2=1變式

設(shè)

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個(gè)根，求下列式子的值：(x1-x2)2

定理應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容應(yīng)用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是

x1，x2，那么