第二節(jié)期權(quán)定價模型

第二節(jié)金融期權(quán)的定價模型一、金融期權(quán)價格構(gòu)成（一）金融期權(quán)的內(nèi)在價值

1、含義：期權(quán)的內(nèi)在價值，即履約的價值，指期權(quán)合約本身所具有的價值，也是期權(quán)的買方立即執(zhí)行期權(quán)能獲得的收益。期權(quán)的內(nèi)在價值取決于協(xié)定價格與標的物市場價格的關(guān)系。期權(quán)的內(nèi)在價值不會小于零。

根據(jù)內(nèi)在價值，期權(quán)可分為實值、虛值和平值三種?？礉q期權(quán)的內(nèi)在價值

C(T)=max[0,S(T)-K]看跌期權(quán)的內(nèi)在價值P(T)=max[K-S(T),0]

2、內(nèi)在價值的計算(二)金融期權(quán)的時間價值

1、含義

期權(quán)的時間價值，即外在價值，指期權(quán)購買者為購買期權(quán)而實際付出的期權(quán)費超過該期權(quán)的內(nèi)在價值的那部分價值。2、時間價值=期權(quán)價格-內(nèi)在價值Thetimevaluerepresentstheinvestors'beliefsthattheycanmakemoremoneybysellingorexercisingtheoptionatsomefuturedate.

（三）期權(quán)價格的有關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1:在期權(quán)到期日，期權(quán)價格等于其內(nèi)在價值（時間價值為0）。

性質(zhì)2:在期權(quán)到期日之前，美式期權(quán)價格大于或等于其內(nèi)在價值性質(zhì)3:對于具有相同標的資產(chǎn)和在相同執(zhí)行價格的兩個期權(quán)，距到期日較長的期權(quán)，其價格較高.

性質(zhì)4:對于具有相同標的資產(chǎn)和在相同到期日的兩個看漲期權(quán)，執(zhí)行價格越小的期權(quán)，其價格較高；對于具有相同標的資產(chǎn)和在相同到期日的兩個看跌期權(quán)，執(zhí)行價格越高的期權(quán)，其價格較高；

（三）期權(quán)價格的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)5:看漲期權(quán)的價格，不會高于標的資產(chǎn)的價格；Ifthepremiumofthecalloptionisgreaterthanthepriceofitsunderlyingasset:Today:buytheasset,writethecallandreceive$(C-S).Ifthecallisexerciseddeliverthestockandget$E.Ifitnotexercisedyoukeepboth$(C-S)andtheunderlyingasset.

性質(zhì)6:看跌期權(quán)的價格，不會高于執(zhí)行價格；（四）影響期權(quán)價格的主要因素1、協(xié)定價格與市場價格及兩者的關(guān)系

（1）決定期權(quán)的內(nèi)在價值

（2）決定期權(quán)的時間價值

協(xié)定價格與市場價格差距越大，時間價值越小，

協(xié)定價格與市場價格差距越小，時間價值越大，

當期權(quán)處于平值時，時間價值最大。2、權(quán)利期間（期權(quán)剩余的有效時間）期權(quán)期間越長，套期保值時間越長，期權(quán)時間價值越大隨著期權(quán)期間縮短，期權(quán)時間價值的增幅是遞減的。3、標的資產(chǎn)的收益：標的資產(chǎn)收益率越高，看漲期權(quán)價格越低，看跌期權(quán)價格越高。4、標的資產(chǎn)價格的波動性：標的資產(chǎn)價格波動性越大，期權(quán)價格越高5、利率：利率對看漲期權(quán)價格有正向影響，利率對看跌期權(quán)價格有負向影響各因素對期權(quán)價格的影響其中：+為期權(quán)價格上升-為期權(quán)價格下降看漲期權(quán)的價格X45°內(nèi)在價值期權(quán)價格時間價值S0C

看跌期權(quán)的價格X內(nèi)在價值期權(quán)價格時間價值S0P期權(quán)時間價值與權(quán)利期間的關(guān)系6543210權(quán)利期間時間價值二、看漲——看跌期權(quán)平價關(guān)系（一）假設(shè)條件看漲、看跌期權(quán)具有相同的執(zhí)行價格和相同的到期日，并且都是歐式期權(quán)。（二）平價關(guān)系1、無收益資產(chǎn)的平價關(guān)系

構(gòu)造如下兩個組合：

PortfolioA:一份歐式看漲期權(quán)的多頭和現(xiàn)金。PortfolioB:一份歐式看跌期權(quán)的多頭和一單位標的資產(chǎn)在T,組合A的價值為:組合B的價值為:因此，在t,兩組合的價值應(yīng)相等

（二）平價關(guān)系2、有固定收益資產(chǎn)的平價關(guān)系

WhereDisthePRESENTVALUEofthedividendspaidovertheentirelifeoftheoption.Thatis,wesubstitute(S-D)forS.（二）平價關(guān)系3、期貨期權(quán)的平價關(guān)系

構(gòu)造如下兩個組合：

PortfolioA:一份歐式期貨看漲期權(quán)的多頭和現(xiàn)金。PortfolioB:一份歐式期貨看跌期權(quán)的多頭和一份期貨合約和現(xiàn)金。在T,組合A的價值為:組合B的價值為:因此，在t,兩組合的價值應(yīng)相等

（二）平價關(guān)系

4、美式期權(quán)的平價關(guān)系（1）標的資產(chǎn)無收益的平價關(guān)系

（2）標的資產(chǎn)有收益的平價關(guān)系

三、期權(quán)定價模型

（一）二項式定價模型與期貨定價相同，我們可以利用無套利定價原理對期權(quán)定價。方法是：構(gòu)造一個證券組合，其贏利與期權(quán)正好相同(現(xiàn)金流復(fù)制方法)。BlackandScholes(1973)正是應(yīng)用這種方法得出了著名的期權(quán)定價公式。二項式定價模型，盡管簡單，但原理與BlackandScholes公式是相同的1、實例

假設(shè)當前的無風險利率為20%,股票當前的價格為60$，到時期末，股票價格要么下降到30$或上升到90$.

90

60

30

到時期末，執(zhí)行價格為60$的期權(quán)的價值要么是0或30.

30

C

0

Cu=max[(u·s-k),o]Cd=max[(d·s-k),o]1、實例設(shè)我們購買0.5股股票，并且從銀行借入12.50$.

則有：

30=0.5×90-12.5×(1+0.2)

0.5×60-12.5=17.5

0=0.5×30-12.5×(1+0.2)

可見，這個組合與看漲期權(quán)的盈虧完全相同，因此，看漲期權(quán)的價值與這個組合的價值相同，為$17.50.(C=17.5)如果期權(quán)的交易價格為$18.50，情況如何？此時，將出現(xiàn)套利機會。1、實例構(gòu)造下列組合：賣出一份看漲期權(quán)：

買入由0.5份股票和$12.50現(xiàn)金組成的組合（由股票和債券的組合復(fù)制看漲期權(quán)）。在T時刻，兩個組合的收益相同，在時間t，投資者的凈收益為$1.00（18.5-17.5）問題：如果期權(quán)目前的交易價為$16.50，那么，你的套利組合應(yīng)如何構(gòu)建？1、實例假設(shè)?份股票+L現(xiàn)金可以復(fù)制看漲期權(quán)當股票價格上升到90$，則：90×?+1.2L=30

當股票價格下降到30$，則：30×?+1.2L=0

這樣：?=0.5，L=-12.5

組合與看漲期權(quán)對股票價格的敏感性相同。這個敏感性稱為套期保值比率或稱為看漲期權(quán)的?系數(shù)：?=?C/?S=(30-0)/(90-30)=0.5

復(fù)制組合應(yīng)包括?份股票、借入L現(xiàn)金2、一般的二項式定價模型在實際中，股票的價格不僅是兩個值，可能有多個值。我們可以通過縮短每一步的時間周期，采取多步驟的方法，構(gòu)造二叉樹模型的方法來模擬股票的多個值。為求解多階段的二叉樹模型，我們只要重復(fù)求解單階段的二叉樹模型即可，因此，我們首先要得出一般的單階段二叉樹模型。（1）一般的單階段的二叉樹模型符號設(shè)：

S：標的物現(xiàn)行價格

u：標的物價格可能上漲倍率（u1）

d：標的物價格可能下降倍率（d1）R=1+單周期的無風險利率

為了防止出現(xiàn)套利機會，要求：

d<R<u

當股票價格上升時，Su=u×S；當股票價格下降時，Sd=d×S在到期日，期權(quán)的盈虧為：如果股票價格上升：Cu=max[(u·s-k),o]如果股票價格下降：Cd=max[(d·s-k),o]（1）一般的單周期的二叉數(shù)模型構(gòu)造下列組合：買入?份股票+

以無風險利率借入L現(xiàn)金以復(fù)制看漲期權(quán)，則：?u×S+R×L=Cu

?d×S+R×L=Cd

解之，得：

?=(Cu-Cd)/(u×S-d×S)

L=-(dCu-uCd)/[R×(u-d)]

注意：對看漲期權(quán)來說，L總是負值（總是借入資金）。問題：導(dǎo)出復(fù)制看跌期權(quán)組合的計算公式。Risk-NeutralProbability記：

C=?S+L

C=1/R×(q×Cu+(1-q)×Cd)

如果q是股票價格上漲的概率，則看漲期權(quán)的價格是期權(quán)未來價值的期望值的貼現(xiàn)值。衍生證券的風險中性定價如果每個人都是風險中性的，股票的期望收益率將等于無風險收益率R.在風險中性的世界中，股票上升的概率為q（注意在實際中，股票上升的概率為p，投資者是風險厭惡的

）看漲期權(quán)的價格是期權(quán)未來價值的期望值的貼現(xiàn)值：

C=1/R×{q×Cu+(1-q)×Cd}

一般公式為：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

此公式說明衍生證券的價格是其盈虧貼現(xiàn)值的期望值(風險中性的世界中)

（2）二期間二叉樹模型（價格關(guān)系圖）SSuSdSu2SudSd2CdCCuCu2Cd2Cud（2）兩階段二叉樹模型根據(jù)單階段模型：

Cu=(q×Cuu+(1-q)×Cud)/R

Cd=(q×Cud+(1-q)×Cdd)/R

當?shù)玫紺u、Cd，再使用單階段模型，得：C=1/R2×{q2×Cuu+2×(1-q)×q×Cud+(1-q)2×Cdd}

同樣，這也是一般模型的特例：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

標的資產(chǎn)價格變化及風險中性概率的估計在二叉樹模型中，確定u,d,andq是關(guān)鍵，這里應(yīng)用風險中性定價法估計這些數(shù)值。在風險中性世界中：所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；未來現(xiàn)金流可以用期望值按無風險利率貼現(xiàn)假設(shè)股票的價格遵從幾何布朗運動，記：r為連續(xù)復(fù)利的無風險收益率，S為期初的證券價格，則在很小

?t末證券價格的期望值為：對一個價格遵從幾何布朗運動的股票來說，在?t內(nèi)證券價格變化的方差為（）σ為股票價格以年計的波動標準差。根據(jù)方差的定義，有：

假設(shè)d=1/u（Cox,Ross,Rubinstein的條件），解上面的三式，得u,d,andq的估計值為：

易變性對期權(quán)定價的影響

看漲期權(quán)的價格是收益貼現(xiàn)值的期望，當標的資產(chǎn)的易變性增加時，標的資產(chǎn)價格出現(xiàn)極端值的概率增加，那么看漲期權(quán)處于實值或虛值的可能性增加，因此，波動性越高，盈虧貼現(xiàn)的期望值就越高，看漲期權(quán)的價格就越高。

Whataboutaputoption?

Example:theMulti-periodBinomialModel

Example（續(xù)）:美式期權(quán)(看跌期權(quán))的例子美式看跌期權(quán):執(zhí)行價格是$52,股票價格按比例20%上升或下降,無風險利率是5%要在每個節(jié)點檢驗提前執(zhí)行是否最佳在最后節(jié)點,美式期權(quán)價值與歐式期權(quán)相同其它節(jié)點,取如下兩者中較大者:提前執(zhí)行所得的收益f=[qfu+(1-q)fd]e-rΔtR=1+5%=1.05,u=1.2d=0.8505.13614847203220601.428612.040CBA節(jié)點B,提前執(zhí)行期權(quán)的損益為-$8,按公式計算值為$1.4286,選擇$1.4147.節(jié)點C,提前執(zhí)行期權(quán)的損益為$12.0,按公式計算值為$9.5238.選擇$12.0.節(jié)點A,提前執(zhí)行期權(quán)的損益為$2.0,按公式計算值為$5.1361.選擇$5.1361.（3）二叉樹模型的擴展有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價記標的資產(chǎn)支付連續(xù)紅利率為i,在風險中性條件下，可以用r-i替代上面公式中r即可，其他不變。這時，對于期貨期權(quán)，可以將期貨看成支付連續(xù)紅利率為r的證券，則

（3）二叉樹模型的擴展支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價若標的資產(chǎn)在未來某一確定時間將支付已知紅利率（紅利與資產(chǎn)價格之比），我們可以通過調(diào)整各節(jié)點上的證券價格，計算期權(quán)價格，調(diào)整方法為：如果時刻在除權(quán)日之前，則各結(jié)點處的證券價格不變，為：如果時刻在除權(quán)日之后，則各結(jié)點處的證券價格為利率是時間依賴的情況在二叉樹模型的中，假定無風險利率是常數(shù)，這顯然與實際不符。合理的假設(shè)是，即在時刻t的結(jié)點上，其應(yīng)用的利率等于t到之間的的遠期利率。其他條件不變，這樣，資產(chǎn)價格上升的概率為：（4）構(gòu)造樹圖的其他方法q=0.5的二叉樹圖如果在上面分析中，不假定d=1/u，而令q=0.5，則當?shù)母唠A小量可以忽略時，得：方差控制技術(shù)基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似（如其他條件相同的歐式和美式期權(quán)），我們可以得到期權(quán)B的解析定價公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。記為期權(quán)B的真實價值（解析解），為期權(quán)A的較優(yōu)估計值，分別表示用同一種方法計算出的期權(quán)估計值。假設(shè)用數(shù)值計算出的期權(quán)B的誤差等于期權(quán)A的誤差，即：可以證明，當與之間相關(guān)系數(shù)較大時，這說明這個方法減少了期權(quán)A的價值估計的方差，我們利用和的信息改進了對期權(quán)A的價值的估計。（二）布萊克——斯科爾斯模型當二項式模型的區(qū)間長度很小，區(qū)間個數(shù)達到無窮時，二項式模型收斂于Black-Scholes模型1、假設(shè)條件期權(quán)的標的物為一風險資產(chǎn)，允許賣空，并且完全可分在期權(quán)到期日前，標的資產(chǎn)無任何收益和支付。標的資產(chǎn)的交易是連續(xù)的，其價格的變動也是連續(xù)的，均勻的，既無跳空上漲，又無跳空下跌。標的資產(chǎn)價格的波動性為一已知常數(shù)。存在著一個固定不變的無風險利率，交易者可以按此利率無限制地借入或貸出。期權(quán)是歐式的，到期日前不執(zhí)行，不存在無風險套利機會標的物的價格服從于對數(shù)正態(tài)分布，股票的收益率服從正態(tài)分布。

AComparisonofLognormalDistributionwitha25-periodBinomialApproximation

2、布萊克——斯科爾斯微分方程（1）Ito過程與Ito引理Ito過程Ito引理若變量x遵從Ito過程，則變量x與t的函數(shù)G將遵從下列過程（2）證券價格自然對數(shù)變化過程證券價格的變化過程衍生證券價格的變化過程

證券價格自然對數(shù)變化過程令G=lnS,代入上式得：（3）布萊克——斯科爾斯微分方程推導(dǎo)：

由上面的公式得：構(gòu)造如下組合：該組合在后必定沒有風險，因此，該組合在中的瞬時收益率一定等于的無風險收益率。這樣有：將有關(guān)式子代入得：化簡得：邊界條件：C(T)=max[0,S(T)-K]2、無收益股票歐式看漲期權(quán)定價的Black-Scholes模型假設(shè)每個投資者都是風險中性的，利用風險中性定價模型，DerivativeP