第八章 因子分析

第八章因子分析指導(dǎo)老師：XXX教授授課人：XXX主講內(nèi)容引言§8.1因子分析的基本思想與模型§8.2參數(shù)估計(jì)8.2.1因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義8.2.2因子載荷矩陣的求解§8.3因子旋轉(zhuǎn)§8.4因子得分§8.5因子分析的展望和建議引言上一章我們對(duì)主成分分析作了討論。通常，只要變量之間存在一定的相關(guān)性，前幾個(gè)主成分往往就能具有較高的累計(jì)貢獻(xiàn)率，從而達(dá)到較好的降維目的。然而，在很多情況下值時(shí)對(duì)變量作了降維還不行，還必須對(duì)主成分給出符合實(shí)際背景和意義的解釋。進(jìn)行這種解釋往往正是主成分分析的困難之處。本章將介紹的因子分析(factoranalysis)可看作主成分分析的推廣和發(fā)展，也是利用降維方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種多元統(tǒng)計(jì)方法。因子分析研究相關(guān)矩陣或協(xié)方差矩陣的內(nèi)部依賴關(guān)系，它將多個(gè)變量綜合為少數(shù)幾個(gè)因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相互關(guān)系，得到了廣泛的應(yīng)用。因子分析的概念起源于20世紀(jì)初KarlPearson和CharlesSpearmen等人關(guān)于智力測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)工作，目前，因子分析已成功應(yīng)用于心理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，并因此促進(jìn)了理論的不斷豐富和完善。在解決實(shí)際問題和科學(xué)研究中，我們經(jīng)常會(huì)手機(jī)盡可能多的數(shù)據(jù)信息，希望能對(duì)問題有一個(gè)較全面、綜合的認(rèn)識(shí)；但有與理論發(fā)展和應(yīng)用技術(shù)的限制，很對(duì)變量無法在處理和分析中發(fā)揮作用，大量的信息反而成為了分析和解決問題的障礙。例如，在評(píng)價(jià)一個(gè)學(xué)小的綜合水平時(shí)，會(huì)收集到關(guān)于學(xué)校的眾多信息，包括學(xué)生人數(shù)、教師人數(shù)、學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽和英語競(jìng)賽獲獎(jiǎng)情況、實(shí)驗(yàn)室的規(guī)模、圖書館藏書量、每年科研人員論文數(shù)、師生比例等信息，但將這些海量信息集中在一起處理時(shí)，會(huì)感到煩亂繁雜而無從下手；同時(shí)，由于變量間存在一定的相關(guān)性和心系重疊現(xiàn)象，就更增加了處理的難度。為了解決這些問題，直接的辦法是減少變量的個(gè)數(shù)，但還不能使損失的信息量太多。因子分析方法是一種能夠降低變量的數(shù)量，并得到廣泛應(yīng)用的有效方法。利用因子分析方法處理數(shù)據(jù)，就是將眾多的變量綜合成較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)，這例如，國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平由很多不同產(chǎn)業(yè)因素決定，諸如制鞋業(yè)、家電業(yè)、服務(wù)業(yè)、鋼鐵產(chǎn)業(yè)、信息產(chǎn)業(yè)、種植業(yè)、養(yǎng)殖業(yè)等，利用因子分析，如果可以得到4個(gè)因子，經(jīng)過研究所有產(chǎn)業(yè)和這4個(gè)因子之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)有一個(gè)因子可能是代表工業(yè)產(chǎn)業(yè)的一個(gè)綜合，另外的分別代表農(nóng)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)和信息產(chǎn)業(yè)。

總之，因子分析是研究如何將眾多的變量利用為數(shù)不多的幾個(gè)因子表示，并且保證信息損失最小和因子間不具有顯著的相關(guān)性的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。些指標(biāo)稱為因子。因子的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于變量的數(shù)量，但因子能夠反映原始變量的大部分信息，同時(shí)，因子之間不具有顯著性的線性關(guān)系。不僅如此，利用因子分析得到的因子還能有效的解釋變量，這對(duì)于問題的進(jìn)一步分析和應(yīng)用有重要的意義?！?.1因子分析的基本思想與模型一．因子分析的基本思想

因子分析的基本思想是根據(jù)相關(guān)性大小將變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，不同組的變量相關(guān)性較低。每組變量代表一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，用一個(gè)不可觀測(cè)的綜合變量表示，這個(gè)基本結(jié)構(gòu)稱為公共因子。對(duì)于所研究的問題就可用最少個(gè)數(shù)的不可觀測(cè)的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來描述原來觀測(cè)的每一分量。二．因子模型在實(shí)際問題的研究中，描述某一問題(或過程)的指標(biāo)很多，有時(shí)多到幾十個(gè)。例如，為了充分了解中學(xué)生的知識(shí)和能力，常常需要設(shè)計(jì)大量的問題讓學(xué)生作答。這些問題涉及面很廣。但相互之間存在一定的聯(lián)系，一般來說，可歸結(jié)為文字表達(dá)、計(jì)算算推導(dǎo)、藝術(shù)修養(yǎng)、史地知識(shí)和生活常識(shí)五個(gè)方面，我們稱每個(gè)方面為一個(gè)因子。我們的目的也就是要從一些相互關(guān)聯(lián)的問題的回答中找出這少數(shù)幾個(gè)主要因子，每一個(gè)主要因子可以幫助我們對(duì)學(xué)生的知識(shí)和能力進(jìn)行分析和解釋。因子分析的另一個(gè)作用是對(duì)變量(或樣品)進(jìn)行分類處理。我們可以根據(jù)因子得分值，在因子鈾所構(gòu)成的空間中把變量(或樣品)點(diǎn)畫出來，形象直觀地達(dá)到分類的目的。例8.1某企業(yè)招聘人才，對(duì)每位應(yīng)聘者進(jìn)行外貌、申請(qǐng)書的形式、專業(yè)能力、討人喜歡的能力、自信心、洞察力、誠信、推銷本領(lǐng)、經(jīng)驗(yàn)、工作態(tài)度、抱負(fù)、理解能力、潛在能力、實(shí)際能力、適應(yīng)性的15個(gè)方面考核.這15個(gè)方面可歸結(jié)為應(yīng)聘者的表現(xiàn)力、親和力、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、專業(yè)能力4個(gè)方面，每一方面稱為一個(gè)公共因子。企業(yè)可根據(jù)這4個(gè)公共因子的情況來衡量應(yīng)聘者的綜合水平。為了給出因子分析模型,我們先看下面的兩個(gè)例子。例8.2在企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的評(píng)價(jià)中，經(jīng)濟(jì)效益的指標(biāo)體系有八項(xiàng)：固定資產(chǎn)利稅率、資金利稅率、銷售收入利稅率、資金利潤率、固定資產(chǎn)產(chǎn)值率、流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)、萬元產(chǎn)值能耗、全員勞動(dòng)生產(chǎn)率。這八項(xiàng)指標(biāo)可概括為贏利能力、資金和人力利用、產(chǎn)值能耗三個(gè)方面．這三個(gè)方面在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)中為主要因子，起著支配作用，企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就要在這三個(gè)公共因子方面下功夫。綜合上面的例子，我們給出因子分析的一般模型。設(shè)有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品觀測(cè)p個(gè)變量.為了對(duì)變量進(jìn)行比較,并消除由于觀測(cè)量綱的差異及數(shù)量級(jí)不同所造成的影響，將樣品觀測(cè)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使標(biāo)準(zhǔn)化后的變量的均值為0，方差為1。為了方便，我們將原始觀測(cè)值和變換后的新變量均用x表示。設(shè)原公共因子變量為經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的公共因子變量記為如果，（1）是可觀測(cè)隨機(jī)向量，且均值向量且協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣相等;（2）是不可觀測(cè)向量，其均值向量協(xié)方差矩陣即向量的各分量是相互獨(dú)獨(dú)立的;（3）與F相互獨(dú)立，且的協(xié)方差矩陣是對(duì)角陣，即（8.1）或者說，的各分量之間也是相互獨(dú)立的，則模型稱為因子模型。模型(8.1)的矩陣形式為其中此時(shí)(*)模型(8.1）中的稱為公共因子(也稱為主因子)，而它們是在各個(gè)原觀測(cè)變量的表達(dá)式中都共同出現(xiàn)的因子，是相互獨(dú)立的不可觀測(cè)的理論變量。公共因子的含義，必須結(jié)合具體問題的實(shí)際意義而定。稱為特殊因子,是向量的的分量所特有的因子，各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間都是相互獨(dú)立的。式(8.2)的矩陣中的元素稱為因子載荷，的絕對(duì)值越，對(duì)于大表明與的相依程度越大，或稱公共因子的載荷量大,故稱為公共因子載荷量，簡稱因子載荷。矩陣A稱為因子載荷矩陣。例8.2.1設(shè)隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣為則可分解為其中當(dāng)m=p時(shí)，任何協(xié)方差矩陣均可按(*)式進(jìn)行分解，如；可取而當(dāng)時(shí)，未必能作（*）式的分解.在因子分析的大多數(shù)應(yīng)用中，m較p小得多，一般很難準(zhǔn)確地作（*）式的分解，通常只能使這種分解近似地成立，近似程度越好，表明因子模型擬合得越佳?！?.2參數(shù)估計(jì)為了討論因子模型的參數(shù)估計(jì)方法，我們需要了解因子載荷矩陣A統(tǒng)計(jì)意義，這對(duì)于解釋因子分析的結(jié)果也是十分重要的?！?.2.1因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義一、因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義由式(8.1)知所以(8.5)與的協(xié)方差為即是與的協(xié)方差。另一方面，與的相關(guān)系數(shù)為因此，也是與的相關(guān)系數(shù)，它表示依賴的程度,反映了第i個(gè)變量對(duì)第j個(gè)公共因子的相對(duì)重要性，也就是變量與公共因子間的密切程度,同時(shí)也可將看作第i個(gè)變量在第j個(gè)公共因子上的權(quán)。二、變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義如果將因子載荷矩陣A中第i行元素的平方和記為即因子載荷矩陣中各行元素的平方和為稱它為變量的共同度。因?yàn)橐褜⒓僭O(shè)原始變量和主因子、特殊因子都進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理,所以的方差式(8.9)表明變量由兩部分組成，第一部分是它反映了全部公共因子對(duì)變量的影響，是全部公共因子對(duì)的方差貢獻(xiàn)。若全部公共因子對(duì)的方差貢獻(xiàn)接近于1，則表明該變量的幾乎全部原始信息都被選取的公共因子說明了。第二部分是特殊因子的方差，僅與變量本身的變化有關(guān)，稱為剩余方差。由式(8.9)知，增大則必減小，因此表示x的第i個(gè)分量對(duì)于F的每一分量的共同依賴為變量的共同度。三、公共因子的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義和記為如果將因子載荷矩陣A的第列的各元素的平方,即的值程度，故則表示第j個(gè)公共因子對(duì)于x的每個(gè)分量所提供方差的總和。稱為公共因子對(duì)x的方差貢獻(xiàn),它是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo),越大，表明公共因子對(duì)x的貢獻(xiàn)越大，或者說對(duì)x的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣A的所有都計(jì)算出來,使其按大小排序，就可以依此提取最有影響的公共因子。§8.2.2因子載荷矩陣的求解要建立一個(gè)實(shí)際問題的因子分析模型，重要的是進(jìn)行因子模型參數(shù)的估計(jì)，其中最關(guān)鍵的是要根據(jù)樣品數(shù)據(jù)矩陣估計(jì)載荷矩陣眾下面介紹兩種常用的載荷矩陣的估計(jì)方法。一、主成分法設(shè)隨機(jī)向量的均值為,協(xié)方差矩陣為為對(duì)應(yīng)的標(biāo)可以分解為為的特征值，準(zhǔn)正交化特征向量，則(8.11)差矩陣結(jié)構(gòu)，特殊因子的方差為0，載荷矩陣的第j列為因此除了常數(shù)因子之外，在第j個(gè)因子上的載荷就是第j個(gè)總體主成分的系數(shù)與式(8.4)比較，式(8．12)給出的表達(dá)式是精確的，但它并無實(shí)用價(jià)值，因?yàn)槲覀兊哪康氖菍で笥蒙贁?shù)幾個(gè)公共因子解釋協(xié)差結(jié)構(gòu)的因子模型。上面的分解是公共因子與變量個(gè)數(shù)一樣多的因子模型的協(xié)方我們通常略去式(8.11)中m-p項(xiàng)后對(duì)的貢獻(xiàn),于是得到式(8.13)是假定了因子模型中的特殊因子是不重要的，因而從的分解中忽略掉特殊因子的方差。若考慮特殊因子，則協(xié)方差矩陣為設(shè)S為樣本協(xié)方差矩陣，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后，變量的協(xié)方差矩陣就等于樣本相關(guān)矩陣R。對(duì)樣本協(xié)方差矩陣S或相關(guān)矩陣R作類似式(8.14)的分解，就可得到A和的一個(gè)解。因?yàn)橐蜃虞d荷矩陣A是前m個(gè)主成分系數(shù)的倍數(shù)，所以稱由這種分解得到的解為主成分解。一般地,設(shè)為樣本相關(guān)矩陣R的特征根，為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量。設(shè),則因子載荷矩陣為(8.15)共同度的估計(jì)為(8.16)一是根據(jù)具體問題的專業(yè)知識(shí)來確定，二是采用主成分分析中選取主成分個(gè)數(shù)的方法。例如，我們按所選取的公共因子的信息量的和占總體消息量達(dá)到一個(gè)適當(dāng)比例為止，我們可以從少到多逐步增加模型中公共因子個(gè)數(shù)m，使所選的主因子對(duì)樣本方差的貢獻(xiàn)累計(jì)達(dá)到85％以上。這個(gè)比例是可以根據(jù)具體問題調(diào)整的，關(guān)鍵是要有利于因子模型的解釋。如何選取公共因子的個(gè)數(shù)m呢?例8.3根據(jù)原始數(shù)據(jù)(表81)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)體系的八項(xiàng)指標(biāo)建立因子分析模型(何曉群,2003).表8.1全國重點(diǎn)水泥廠主要經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)廠家編號(hào)固定資產(chǎn)利稅率（%）資金利稅率（%）銷售收入利稅率（%）資金利潤率(%)固定資產(chǎn)產(chǎn)值率(%)流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)（d）萬元產(chǎn)值能耗(t)全員勞動(dòng)生產(chǎn)率116.6826.7531.8418.4053.255528.831.75219.7027.5632.9419.2059.825532.922.87315.2023.4032.9816.2446.786541.691.5347.298.9721.304.7634.396239.281.63529.4556.4940.7443.6875.326926.682.14632.9342.7847.9833.8766.465032.872.60725.3937.8536.7627.5668.186335.792.43815.0519.4927.2114.2156.137635.761.75919.8228.7833.4120.1759.257139.131.831021.1335.2039.1626.5252.476235.081.731116.7528.7229.6219.2355.765830.081.521215.8328.0326.4017.4361.196132.751.601316.5329.7332.4920.6350.416937.511.31142.22454.5931.0537.0067.956332.331.571512.9220.8225.1212.5451.076639.181.83解設(shè)為固定資產(chǎn)利稅率;為資金利稅率;稅率;為銷售收入利為資金利潤率;為固定資產(chǎn)產(chǎn)值率;為流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù);為萬元產(chǎn)位能耗;為萬元產(chǎn)位能耗;由原始數(shù)據(jù)計(jì)算出相關(guān)矩陣為(對(duì)稱部分未寫出)計(jì)算相關(guān)矩陣R的特征值，前三個(gè)特征值為它們對(duì)樣本方差的累積貢獻(xiàn)率為于是我們選m=3。因子載荷和共同度的估計(jì)列于表8.2中表8.2因子載荷與共同度的估計(jì)變量因子共同度載荷量0.9698-0.01360.22680.99210.91680.2955-0.11130.94020.8434-0.11790.36760.86030.94620.2625-0.03050.96520.90030.2162-0.06980.8622-0.30790.86430.19060.8781-0.66890.10050.64950.87930.5737-0.46700.27340.62195.0981.2700.8120.6370.7960.897由表8.2可得出企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)體系的因子分析模型(特殊因子忽略不計(jì))如下：由因子分析模型可知，第一個(gè)主因子主要由固定資產(chǎn)利稅率、資金利稅率、銷售收入利稅率、資金利潤率、固定資產(chǎn)產(chǎn)值率這五個(gè)指標(biāo)所決定，這五個(gè)指標(biāo)在主因子上的載荷均在0.8以上，它代表著企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的贏利能力，而且主因子的體系中的重要方面。企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益，就要在這個(gè)主因子方差貢獻(xiàn)己達(dá)63％之多，所以更說明是企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中流動(dòng)資金的周轉(zhuǎn)快慢對(duì)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益影響也很大，而流動(dòng)資金的周轉(zhuǎn)快慢與企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營及市場(chǎng)信息相關(guān)。企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就要在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的調(diào)整上想辦法，要生產(chǎn)適銷對(duì)路的產(chǎn)品，提高本企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率。第二個(gè)主因子主要由流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)所決定，說明產(chǎn)值和能耗反映的是投入與產(chǎn)出的關(guān)系.企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就不能忽視降低生產(chǎn)成本、提高勞動(dòng)生產(chǎn)率這些重要問題。第三個(gè)主因子主要由萬元產(chǎn)值能耗八和全員勞動(dòng)生產(chǎn)率所決定。這個(gè)主因子土要反映了企業(yè)的產(chǎn)值和能耗方面，方面下功夫。例8.4研究紐約股票市場(chǎng)上五種股票(AlliedChemical，Dupont，UnionCarbide，Exxon和Texaco)的周回升率(何曉群,2003)。這里，周回升率＝(本星期五市場(chǎng)收盤價(jià)一上星期五市場(chǎng)收盤價(jià))／上星期五市場(chǎng)收盤價(jià)。原始資料見王學(xué)仁等(1990)《實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析》，這組資料是對(duì)五種股票從1975年1月到1976年12月的獨(dú)立觀測(cè)值。解設(shè)分別為上述五種股票的周回升率，則從原始數(shù)據(jù)計(jì)算得到我們考慮樣本相關(guān)矩陣R的前兩個(gè)主成分，即m＝2，因子分析的主成分解列于表8.3。由表8.3可知，第一主因子代表了一般經(jīng)濟(jì)條件，稱為市場(chǎng)因子，所有股票在這個(gè)因子上的載荷都比較大,且大致相等。第二個(gè)主因子凡是化學(xué)股票(前三個(gè)都是化學(xué)工業(yè)公司)和石油股票(后兩個(gè)是石油公司)的一個(gè)“對(duì)照”,兩者分別有比較大的負(fù)、正載荷,生差異,通常稱為工業(yè)因子.歸納起來,可得如下結(jié)論：股票回升率由一般經(jīng)濟(jì)條件、工業(yè)部門活動(dòng)和各公司本身特殊活動(dòng)三部分決定.變量因子共同度載荷量

AlliedChemical0.783-0.2170.66

Dupont0.773-0.4580.81

UnionCarbide0.794-0.2340.69

Exxon0.7130.4720.73

Texaco0.71250.5240.78特征值2.8570.809累計(jì)貢獻(xiàn)0.5710.733使不同工業(yè)部門的股票產(chǎn)二、極大似然法如果假定公共因子F和特殊因子服從正態(tài)分布，那么我們能夠得到因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計(jì)。設(shè)為來自正態(tài)總體的隨機(jī)樣本，這里且與有聯(lián)合正態(tài)分布。由似然函數(shù)的理論知它通過依賴于A和.式(8．17)并不能惟一確定A，為此，可添加惟一性條件(8.18)這里是一個(gè)對(duì)角陣。用數(shù)值極大化方法可以得到極大似然估計(jì)和.極大似然估計(jì)和將使為對(duì)角矩陣，且使式(8.17)達(dá)到最大。共同度的極大似然估計(jì)為(8.19)第i個(gè)因子對(duì)總體樣本方差的貢獻(xiàn)為其中為第i個(gè)變量的方差。關(guān)于極大似然估計(jì)方法的理論推導(dǎo)和證明可參見張堯庭等(1997)《多元統(tǒng)計(jì)分析引論》。例8.5(續(xù)例8.4)取m=2，對(duì)股票價(jià)格數(shù)據(jù)應(yīng)用極大似然法做因子載荷的估計(jì)。解用極大似然法和主成分法估計(jì)的因子載荷列于表8.4。由表中數(shù)值可知，主成分法的公共因子對(duì)總體樣本方差的貢獻(xiàn)比極大似然法要大，這是因?yàn)橹鞒煞忠蜃臃治雠c主成分相聯(lián)系，而極大似然法具有方差極大化性質(zhì)。極大似然法得到的主因子可解釋為市場(chǎng)因子，這是因?yàn)樗凶兞吭谏隙加休^大的正載荷，這與例8.4的情況一致。第二個(gè)主因子的意義并不像主成分法那么清楚。載荷的符號(hào)雖然也形成化學(xué)勝票和石油股票的一個(gè)對(duì)照但有一些絕對(duì)值很小，因此可以把它看成僅僅是Dupont化學(xué)公司和Texaco石油公司之間的一個(gè)對(duì)比。表8．4基于極大似然法和主成分法的因子載荷估計(jì)變量極大似然估計(jì)主成分估計(jì)共同度共同度AlliedChemical0.6840.1890.500.783-0.2170.66

Dupont0.6940.5170.750.773-0.4580.81UnionCarbide0.6810.2480.530.794-0.2340.69

Exxon0.621-0.0730.390.7130.4720.73

Texaco0.792-0.4420.820.7120.5240.78累計(jì)貢獻(xiàn)0.4850.5980.5710.7338.3因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個(gè)主因子的明確意義，以便對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行深入分析。然而用上一節(jié)介紹的方法求出的主因子解，各主因子代表的變量并不很突出，容易使因子的意義含糊不清，不便于對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析。公共因子是否易于解釋，很大程度上取決于因子載荷矩陣A元素結(jié)構(gòu)。假設(shè)A是從相關(guān)矩陣R出發(fā)求得的，則即A的所有元素均在-1和1之間。如果載荷矩陣A的所有元素都接近0或則模型的公共因子就易于解釋。這時(shí)可將原始變量分成m個(gè)部分，第一部分對(duì)應(yīng)第一個(gè)公共因子第m部分對(duì)應(yīng)第m個(gè)公共因子反之，如果載荷矩陣A的元素多數(shù)居中，不大不小，則對(duì)模型的公共因子一般就不易作出解釋，此時(shí)應(yīng)該考慮進(jìn)行引資旋轉(zhuǎn)，是的旋轉(zhuǎn)之后的載荷矩陣在每列上元素的絕對(duì)值盡量的拉開大小距離，也就是hi進(jìn)肯呢個(gè)地使其中的一些元素接近于0，另一些元素接近于因子旋轉(zhuǎn)有方差最大正交旋轉(zhuǎn)法和斜交旋轉(zhuǎn)法等，本節(jié)只介紹方差最大正交旋轉(zhuǎn)方法。對(duì)公共因子作正交旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于對(duì)載荷矩陣A作一正交變換，右乘正交矩陣T，使B=AT能有更鮮明的實(shí)際意義。旋轉(zhuǎn)后的公共因子向量為它的幾何意義是在m維空間上對(duì)原因子軸作一剛性旋轉(zhuǎn)。因子旋轉(zhuǎn)不改變共性方差和殘差矩陣，這時(shí)因?yàn)閺亩赏ㄟ^適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)來得到我們比較滿意的公共因子。這種變換因子載荷矩陣的方法稱為因子旋轉(zhuǎn)。先考慮兩個(gè)因子的平面正交旋轉(zhuǎn)。設(shè)因子載荷矩陣為取為正交矩陣令（8.22）這樣他的目的是希望所得結(jié)果使載荷矩陣的每一列元素按其平方值盡可能大或者盡可能小，即向l和0兩極分化，也就是說因分成兩部分，一部分主要與第一因子有關(guān)，另一部分主要與第和這兩級(jí)數(shù)據(jù)的方差要盡可能的大，考慮各列的相對(duì)方差（8.23）這里取是為了消除符號(hào)不同的影響，除以除各個(gè)變量對(duì)公共因子依賴程度不同的影響。現(xiàn)在要求總的方是為了消達(dá)到最大值，于是考慮G對(duì)子的貢獻(xiàn)越分散越好。這實(shí)際上是希望將變量二因子有關(guān)，這也就是要求差達(dá)到最大，即要求使（8.24）其中這一公式的詳細(xì)理論證明參見張堯庭等(1997)《多元統(tǒng)計(jì)分析引論》。的導(dǎo)數(shù)，利用式（8.22）、式（8.23），經(jīng)過一些計(jì)算，就要取滿足可知要使當(dāng)公共因子數(shù)m>2時(shí)，可以每次取2個(gè)，全部配對(duì)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)次旋轉(zhuǎn)，但是旋轉(zhuǎn)完畢后，并不能認(rèn)為就已經(jīng)達(dá)到目的。還可以重新開始，進(jìn)行第二輪次配對(duì)旋轉(zhuǎn)。于是每經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)，A矩陣就發(fā)生變化，即從的各列相應(yīng)的相對(duì)方差之和只會(huì)比的大，記為各列方差之和，則有這是一個(gè)單調(diào)上升的序列，而它又是有界的，因此它一定會(huì)收斂兩列進(jìn)行,此時(shí)在公式(8.24)中，只時(shí)總是對(duì)A陣中第就行了。因此共需進(jìn)行需將到某一極限經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，它的總方差的變化不大了，就可停止旋轉(zhuǎn)。例8.6(續(xù)例8.5)對(duì)股票價(jià)格問題，用極大似然法給出的初始因子載荷和方差極大旋轉(zhuǎn)因子載荷(m=2)都列在表8.5中。表8.5旋轉(zhuǎn)前后的因子載荷變量因子載荷極大似然估計(jì)旋轉(zhuǎn)因子的載荷估計(jì)共同度AlliedChemical0.6840.1890.6010.3770.50Dupont0.6940.5170.8500.1640.75UnionCarbide0.6810.2480.6430.3350.53Exxon0.