第6章線性控制系統(tǒng)的校正方法

第6章線性控制系統(tǒng)的校正方法

目錄6-1

引言

6-2

校正裝置及其特性

6-3

頻率法串聯(lián)校正

6-4

根軌跡法串聯(lián)校正

6-5

反饋校正

6-6

復(fù)合校正

6-7

基于MATLAB的控制系統(tǒng)校正

1前幾章介紹了線性控制系統(tǒng)的分析方法，并利用這些方法分析了控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。在實際工程控制問題中，當(dāng)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)不能滿足要求時，就必須在系統(tǒng)原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上引入新的附加環(huán)節(jié)，以作為同時改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能的手段。這種添加新的環(huán)節(jié)去改善系統(tǒng)性能的過程稱為對控制系統(tǒng)的校正，或者稱為控制系統(tǒng)的設(shè)計，把附加的環(huán)節(jié)稱為校正裝置。工業(yè)過程控制中所用的PID控制器就屬于校正裝置。2

6-l引言6.1.1性能指標(biāo)

性能指標(biāo)是衡量控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的尺度，也是系統(tǒng)設(shè)計的技術(shù)依據(jù)。校正裝置的設(shè)計通常是針對某些具體性能指標(biāo)來進(jìn)行的。系統(tǒng)常用的性能指標(biāo)有以下兩類。1．穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)有：靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka和穩(wěn)態(tài)誤差ess，它們能反映出系統(tǒng)的控制精度。32．動態(tài)性能指標(biāo)(l)時域性能指標(biāo)有：上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)整時間ts、最大超調(diào)量(或最大百分比超調(diào)量)M

p；(2)頻域性能指標(biāo)包括開環(huán)頻域指標(biāo)和閉環(huán)頻域指標(biāo)。4

正確選擇各項性能指標(biāo)，是控制系統(tǒng)設(shè)計中的一項最為重要的工作。不同系統(tǒng)對指標(biāo)的要求應(yīng)有所側(cè)重，如調(diào)速系統(tǒng)對平穩(wěn)性和穩(wěn)態(tài)精度要求嚴(yán)格，而隨動系統(tǒng)則對快速性能要求很高。另外，性能指標(biāo)的提出應(yīng)切合實際，滿足生產(chǎn)要求，切忌盲目追求高指標(biāo)而忽視經(jīng)濟(jì)性，甚至脫離實際。總之，系統(tǒng)性能指標(biāo)既要滿足設(shè)計的需要，又不過于苛刻，以便容易實現(xiàn)。56.1.2校正方式

校正裝置的設(shè)計是自動控制系統(tǒng)全局設(shè)計中的重要組成部分。設(shè)計者的任務(wù)是在不改變系統(tǒng)被控對象的情況下，選擇合適的校正裝置，并計算和確定其參數(shù)，以使系統(tǒng)滿足所要求的各項性能指標(biāo)。按照校正裝置在系統(tǒng)中的聯(lián)接方式，控制系統(tǒng)的校正方式可以分為串聯(lián)校正、反饋（并聯(lián)）校正和復(fù)合校正三種方式。61．串聯(lián)校正如果校正裝置Gc(s)串聯(lián)在系統(tǒng)的前向通道中，則稱其為串聯(lián)校正，如圖6-1所示。2．反饋校正如果校正裝置Gc(s)設(shè)置在系統(tǒng)的局部反饋回路的反饋通道上，則稱其為反饋校正，如圖6-2所示。

圖6-1串聯(lián)校正圖6-2反饋校正73．復(fù)合校正復(fù)合校正是校正裝置Gc(s)設(shè)置在系統(tǒng)反饋回路之外采用的校正方法，如圖6-3所示。其中圖6-3(a)為按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正形式，圖6-3(b)為按擾動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正形式。

(a)按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正

(b)按擾動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正圖6-3復(fù)合校正8實際中究竟選擇何種校正裝置和校正方式，主要取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特點、采用的元件、信號的性質(zhì)、性能指標(biāo)等要求。一般來說，串聯(lián)校正比反饋校正簡單、且易實現(xiàn)。串聯(lián)校正裝置通常設(shè)于前向通道中能量較低的部位上，且采用有源校正網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)。反饋校正的信號是從高功率點傳向低功率點，故通常不采用有源元件，另外反饋校正還可以消除系統(tǒng)中原有部分參數(shù)或非線性因素對系統(tǒng)性能的不良影響。前饋校正或干擾補(bǔ)償常作為反饋控制系統(tǒng)的附加校正而組成復(fù)合校正系統(tǒng)，對既要求穩(wěn)態(tài)誤差小，同時又要求動態(tài)特性好的系統(tǒng)尤為適用。96-2校正裝置及其特性6.2.1PID控制器PID控制器是比例積分微分控制器的簡稱，它的控制規(guī)律是比例、積分和微分三種控制作用的疊加，又稱為比例微分積分校正。在工業(yè)生產(chǎn)自動控制的發(fā)展歷程中，PID控制器是歷史最久、生命力最強(qiáng)的基本控制方式，它的基本原理卻比較簡單，其基本PID控制器的傳遞函數(shù)可描述為

(6-1)式中，Kp為比例系數(shù)或增益(視情況可設(shè)置為正或負(fù))；Ti為積分時間；Td為微分時間。10設(shè)計者的問題是如何恰當(dāng)?shù)亟M合這些環(huán)節(jié)，確定連接方式以及它們的參數(shù)，以便使系統(tǒng)全面滿足所要求的性能指標(biāo)。當(dāng)Ti=

；Td=0時，PID控制器可實現(xiàn)比例控制作用，所對應(yīng)的比例控制器的傳遞函數(shù)為

(6-2)當(dāng)Ti=

時，PID控制器可實現(xiàn)比例微分控制作用，所對應(yīng)的比例微分控制器的傳遞函數(shù)為

(6-3)當(dāng)Td=0時，PID控制器可實現(xiàn)比例積分控制作用，所對應(yīng)的比例積分控制器的傳遞函數(shù)為

(6-4)11其中式(6-5)中微分作用項多了一個慣性環(huán)節(jié)，這是因為采用實際元件很難實現(xiàn)理想微分環(huán)節(jié)。在系統(tǒng)校正中的作用，從濾波器的角度來看，PD控制器是一高通濾波器，屬超前校正裝置；PI控制器是一低通濾波器，屬滯后校正裝置；而PID控制器是由其參數(shù)決定的帶通濾波器，屬滯后-超前校正裝置。下面主要對用無源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的校正裝置說明其特性。實際工業(yè)中PID控制器的傳遞函數(shù)為

(6-5)126.2.2超前校正裝置如果校正裝置的輸出信號在相位上超前于輸入信號，即校正裝置具有正的相位特性，則稱這種校正裝置為超前校正裝置，對系統(tǒng)的校正稱為超前校正。1.超前校正裝置的傳遞函數(shù)根據(jù)PD控制器的傳遞函數(shù)式(6-3)可知其頻率特性為可以看出，在正弦函數(shù)作用下，PD控制器輸出信號的相位超前于輸入信號，超前角為arctg(ωTd)。當(dāng)ω

→∞時，arctg(ωTd)→90°。因此PD控制器就是超前校正裝置。13另外，在控制系統(tǒng)中，還可以采用無源或有源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成超前校正裝置。圖6-4所示為RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的超前校正裝置，該裝置的傳遞函數(shù)為令則(6-6)14同理，由電氣或機(jī)械構(gòu)成的超前校正裝置也具有以上相同的傳遞函數(shù)。它們都具有與PD控制器想類似的頻率特性，實際上是一種帶慣性的比例微分控制器。超前校正裝置的零點，極點均位于負(fù)實軸上，如上圖6-5所示。其中零點總位于極點的右邊起主要作用，零、極點之間的距離由

值確定。超前網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的超前相角為

(6-7)

15由式(6-7)可知，

越大，超前相角越小，其微分作用也越弱。另外從校正裝置的表達(dá)式來看，采用無源相位超前校正裝置時，系統(tǒng)的開環(huán)增益要下降

倍。即

越小，系統(tǒng)的開環(huán)增益要下降的也越多，故一般取

=0.2

0.05。為了補(bǔ)償超前裝置帶來的幅值衰減，通常在采用無源RC超前校正裝置的同時串入一個放大倍數(shù)Kc=1/

的放大器。超前校正裝置加放大器后，式(6-6)所示超前校正裝置的傳遞函數(shù)可表示為

(6-8)其頻率特性

(6-9)

162．超前校正裝置的極坐標(biāo)圖

由超前校正裝置的頻率特性表達(dá)式(6-9)知，當(dāng)時，時，在極坐標(biāo)圖上的軌跡為一半園，園心為，

半徑為，當(dāng)變化時，一直為正，且有一最大超前相位角，它與的關(guān)系可由圖6-6求得。17根據(jù)圖6-6，由得最大超前相角

(6-10)對應(yīng)最大超前相角的頻率，可令求得，即

(6-11)最大超前相角

m僅與

值有關(guān)，

愈小，輸出信號相位超前愈多，另一方面

的選擇要考慮系統(tǒng)的高頻噪聲。183．超前校正裝置的對數(shù)坐標(biāo)圖超前校正裝置頻率特性在對數(shù)坐標(biāo)圖上的轉(zhuǎn)折頻率為和且當(dāng)時，

時，

時，

1920超前校正裝置的頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖如圖6-7所示。相頻曲線具有正相角，即網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出在相位上超前于輸入，故稱為超前校正網(wǎng)絡(luò)。由圖6-7可見超前校正裝置是一個高通濾波器（高頻通過，低頻被衰減），它主要能使系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)得到顯著改善，而穩(wěn)態(tài)精度的提高則較小。超前校正裝置是通過起相位超前效應(yīng)獲得所需效果。216.2.3滯后校正裝置如果校正裝置的輸出信號在相位上落后于輸入信號，即校正裝置具有負(fù)的相位特性，則稱這種校正裝置稱為滯后校正裝置，對系統(tǒng)的校正稱為滯后校正。1．滯后校正裝置的傳遞函數(shù)根據(jù)PI控制器的傳遞函數(shù)式(6-4)可知其頻率特性為22可以看出，在正弦函數(shù)作用下，PI控制器輸出信號的相位滯后于輸入信號，滯后角。當(dāng)時，。因此PI控制器就是滯后校正裝置。另外，在控制系統(tǒng)中，還可以采用無源或有源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成超前校正裝置。圖6-8所示為RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的滯后校正裝置，該裝置的傳遞函數(shù)為23令則(6-12)同理，由電氣或機(jī)械構(gòu)成的滯后校正裝置也具有以上相同的傳遞函數(shù)。當(dāng)β足夠大時，即，則式(6-12)可寫成

即電氣或機(jī)械構(gòu)成的滯后校正裝置相當(dāng)于一個比例積分控制器。24滯后校正裝置的零點，極點均位于負(fù)實軸上，如圖6-9所示。其中極點總位于零點的右邊起主要作用，零、極點之間的距離由值確定。根據(jù)式(6-12)所示滯后校正裝置的傳遞函數(shù)，可得其頻率特性為

(6-13)252．滯后校正裝置的極坐標(biāo)圖

由滯后校正裝置的頻率特性表達(dá)式(6-13)知，當(dāng)時

在極坐標(biāo)圖上的軌跡為一半園，園心為，半徑為，當(dāng)變化時，一直為負(fù)，且有一最大滯后相位角，它與β的關(guān)系可由圖6-10求得。

26同理可求得最大滯后相角和對應(yīng)最大滯后相角的頻率

(6-14)

(6-15)273．滯后校正裝置的對數(shù)坐標(biāo)圖滯后校正裝置頻率特性在對數(shù)坐標(biāo)圖上的轉(zhuǎn)折頻率為和，且當(dāng)時，時，時，滯后校正裝置的頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖如圖6-11所示。相頻曲線具有負(fù)相角，即網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出在相位上滯后于輸入，故稱為滯后校正網(wǎng)絡(luò)。28由圖6-11可見滯后校正裝置是一個低通濾波器（低頻通過，高頻被衰減），且

值愈大，抑制高頻噪聲的能力愈強(qiáng)，抗高頻干擾性能越好，但是響應(yīng)速度變慢，故滯后校正能使穩(wěn)態(tài)精度得到顯著提高，但瞬態(tài)響應(yīng)時間卻隨之而增加。應(yīng)用滯后校正裝置的目的，主要是利用其高頻衰減特性。296.2.4滯后-超前校正裝置若校正裝置在某一頻率范圍內(nèi)具有負(fù)的相位特性，而在另一頻率范圍內(nèi)卻具有正的相位特性，這種校正裝置稱滯后-超前校正裝置，對系統(tǒng)的校正稱為滯后-超前校正。1．滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)由式(6-1)可知PID控制器的傳遞函數(shù)為或

(6-16)30式(6-16)中的項即為PI控制器的滯后校正裝置，項即為PD控制器的超前校正裝置。另外，在控制系統(tǒng)中，還可以采用無源或有源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成滯后-超前校正裝置，下面主要對用無源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的校正裝置說明其特性。圖6-12所示為RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的滯后-超前校正裝置，該裝置的傳遞函數(shù)為31令則

(6-17)式(6-17)等號右邊的第一項產(chǎn)生滯后網(wǎng)絡(luò)的作用，第二項產(chǎn)生超前網(wǎng)絡(luò)的作用。具有與PID控制器相類似的特性。滯后-超前校正裝置的零點、極點均位于負(fù)實軸上，如圖6-13所示。322．滯后-超前校正裝置的極坐標(biāo)圖 根據(jù)滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)式(6-17)，可得其極坐標(biāo)圖如圖6-14所示，由圖6-14可知，當(dāng)時，相位角為負(fù)，而當(dāng)時，相位角為正。在相位角等于零時的頻率為

(6-18)333．滯后-超前校正裝置的對數(shù)坐標(biāo)圖滯后-超前校正裝置頻率特性在對數(shù)坐標(biāo)圖上的轉(zhuǎn)折頻率為、、和，且當(dāng)時，；時，滯后-超前校正裝置的頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖如圖6-15所示。由圖可知，曲線低頻段具有負(fù)相角，即當(dāng)時，它起滯后網(wǎng)絡(luò)的作用，而高頻段具有正相角，即當(dāng)時，它起超前網(wǎng)絡(luò)的作用。它綜合了滯后裝置和超前裝置的特點，即可同時提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)特性，故稱滯后-超前校正裝置。346-3頻率法串聯(lián)校正

在設(shè)計、分析控制系統(tǒng)時，最常用的方法是頻率法。應(yīng)用頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行校正，其目的是改變頻率特性的形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標(biāo)。頻率特性法設(shè)計校正裝置主要是通過對數(shù)頻率特性(Bode圖)來進(jìn)行。開環(huán)對數(shù)頻率特性的低頻段決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)確定低頻段的斜率和高度；為保證系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定裕量（45

左右），開環(huán)對數(shù)頻率特性在剪切頻率ωc附近的斜率應(yīng)為-20dB/dec，而且應(yīng)具有足夠的中頻寬度，以保證在系統(tǒng)參數(shù)變化時，相位裕量變化不大；為抑制高頻干擾對系統(tǒng)的影響，高頻段應(yīng)盡可能迅速衰減。356.3.1頻率法的串聯(lián)超前校正超前校正裝置的主要作用是通過其相位超前效應(yīng)來改變頻率響應(yīng)曲線的形狀，產(chǎn)生足夠大的相位超前角，以補(bǔ)償原來系統(tǒng)中元件造成的過大的相位滯后。因此校正時應(yīng)使校正裝置的最大超前相位角出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率(幅頻特性的幅值穿越頻率)ωc處。串聯(lián)超前校正是利用超前校正裝置的正相角來增加系統(tǒng)的相位裕量，以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。利用頻率法設(shè)計超前校正裝置的步驟:36(1)根據(jù)性能指標(biāo)對穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；(2)利用確定的開環(huán)增益K，畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；(3)確定為使相位裕量達(dá)到要求值，所需增加的超前相位角φc，即(6-19)式中，

0為要求的相位裕量；

是因為考慮到校正裝置影響剪切頻率的位置而附加的相位裕量，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-40dB/dec時，取

=50

150，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段斜率為-60dB/dec時，取

=150

200；37(4)令超前校正裝置Gc(s)的最大超前相位角φｍ=φｃ，則由下式可求出校正裝置的參數(shù)α；(6-20)(5)若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率ωｍ作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ω’c，則有即可得(6-21)可見，未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性幅值等于時的頻率，即為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ω’c；38(6)根據(jù)ωｍ=ω’c，利用下式求超前校正裝置的參數(shù)T(6-22) 由此可得，超前校正裝置加放大器Kｃ=1/

后的傳遞函數(shù)為(6-23)(7)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求，若不滿足要求，可增大ε值，從第三步起重新計算。39例6-1設(shè)有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=20(1/s)，相位裕量

0≥50°，幅值裕量Kg≥10dB，試確定串聯(lián)校正裝置。4041由圖6-16可知，校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率rad/s；相位穿越頻率；相位裕量幅值裕量從本例看出，串聯(lián)超前校正裝置使得系統(tǒng)的相位裕量增大，從而降低了系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量；增加了系統(tǒng)的頻帶寬度，使系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快。但是必須指出，在有些情況下，串聯(lián)超前校正的應(yīng)用受到限制。例如，當(dāng)未校正系統(tǒng)的相位裕量和要求的相位裕量相差很大時，超前校正網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)

值將會過小，而使系統(tǒng)的帶寬過大，不利抑制高頻噪聲。另外，未校正系統(tǒng)的相角在所需剪切頻率附近急劇向負(fù)值增大時，采用串聯(lián)超前校正往往效果不大。此時應(yīng)考慮其它類型的校正裝置。dB，故系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求。426.3.2頻率法的串聯(lián)滯后校正

當(dāng)一個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是滿足要求的，為改善穩(wěn)態(tài)性能，而又不影響其動態(tài)響應(yīng)時，可采用串聯(lián)滯后校正裝置。具體方法是增加一對相互靠得很近并且靠近坐標(biāo)原點的開環(huán)零、極點，使系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)提高

倍，而不影響中、高頻段特性。串聯(lián)滯后校正裝置還可利用其低通濾波特性，將系統(tǒng)高頻部分的幅值衰減，降低系統(tǒng)的剪切頻率，提高系統(tǒng)的相位裕量，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它動態(tài)性能，但應(yīng)同時保持未校正系統(tǒng)在要求的開環(huán)剪切頻率附近的相頻特性曲線基本不變43滯后校正裝置的主要作用是在高頻段造成幅值衰減，降低系統(tǒng)的剪切頻率，以便能使系統(tǒng)獲得充分的相位裕量，但應(yīng)同時保證系統(tǒng)在新的剪切頻率附近的相頻特性曲線變化不大。利用頻率法設(shè)計滯后校正裝置的步驟為：(1)根據(jù)性能指標(biāo)對穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；(2)利用已確定的開環(huán)增益K，畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；44(3)如未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，尋找一新的剪切頻率ω’c，在ω’c處的相位角應(yīng)滿足下式∠GK(jω’c)=-180°+r0+ε(6-24)式中，r0為要求的相位裕量；ε是為補(bǔ)償滯后校正裝置的相位滯后而附加的相位角，一般取ε=50

120；(4)為使滯后校正裝置Gc(s)對系統(tǒng)的相位滯后影響較小（一般限制在50

120），其最大滯后相角處的頻率ωm應(yīng)遠(yuǎn)小于ω’c（即ωm<<ω’c）。因此，一般取滯后校正裝置的第二個穿越頻率：ω2=1/T=(1/2

1/10)ω’c，ω2取得愈小，對系統(tǒng)的相位裕量影響愈小，但太小則校正裝置的時間常數(shù)T將很大，這也是不允許的；45(5)確定使校正后系統(tǒng)的幅值曲線在新的剪切頻率ω’c處下降到0dB所需的衰減量20lg|GK(jω’c)|因ωm<<ω’c，所以滯后校正裝置在新的剪切頻率ω’c處有20lg|Gc(jω’c)|≈-20lgβ根據(jù)在新的剪切頻率ω’c處，校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅值必為零，即20lg|GK(jω’c)Gc(jω’c)|=20lg|GK(jω’c)|+20lg|Gc(jω’c)|=0可得β=|GK(jω’c)|(6-25)由此可得，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為(6-26)46

(6)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求，若不滿足要求，可增大ε值，從第三步起重新計算。47例6-2設(shè)有一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=5(1/s)，相位裕量

0≥40°，幅值裕量Kg≥10dB，試確定串聯(lián)校正裝置。48496.3.3頻率法的串聯(lián)滯后-超前校正如果系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性均不滿足要求，則需采用滯后-超前校正裝置，其中滯后-超前校正裝置中的超前部分可以提高系統(tǒng)的相位裕量，同時使頻帶變寬，改善系統(tǒng)的動態(tài)特性；而滯后校正部分則主要用來提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。50滯后-超前校正裝置的超前校正部分，因增加了相位超前角，并且在幅值穿越頻率(剪切頻率)上增大了相位裕量，提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性；滯后部分在幅值穿越頻率以上，將使幅值特性產(chǎn)生顯著的衰減，因此在確保系統(tǒng)有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性的前提下，容許在低頻段上大大提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。利用頻率法設(shè)計滯后-超前校正裝置的步驟為：(1)根據(jù)性能指標(biāo)對穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；(2)畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；

51(3)如果未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，則選擇未校正系統(tǒng)相頻特性曲線上相位角等于-1800的頻率，即將原系統(tǒng)相位穿越頻率ωg作為校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ω’c；(4)利用ω’c確定滯后校正部分的參數(shù)T1和β。通常選取滯后校正部分的第二個穿越頻率ω1=1/T1=(1/10)ω’c，并取β=10；(5)根據(jù)校正后系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率ω’c處的幅值必為0dB確定超前校正部分的參數(shù)T2；(6)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，并檢驗系統(tǒng)的性能指標(biāo)是否已全部滿足要求。52例6-3設(shè)有單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求Kv=10(1/s)，相位裕量

0=50°，幅值裕量Kg>10dB，試設(shè)計一個串聯(lián)滯后超前-校正裝置，來滿足要求的性能指標(biāo)。53546-4根軌跡法串聯(lián)校正

當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是以時域指標(biāo)給出時，例如給定了要求的超調(diào)量Mp、上升時間tr、調(diào)整時間ts、阻尼比

及無阻尼自然振蕩頻率

n、穩(wěn)態(tài)誤差ess等時域性能指標(biāo)，則采用根軌跡法進(jìn)行設(shè)計和校正系統(tǒng)是很有效的。利用根軌跡法進(jìn)行校正，其實質(zhì)就是將系統(tǒng)閉環(huán)極點位于根平面上希望的位置上，使系統(tǒng)滿足所提出的性能指標(biāo)

和

n的要求。556.4.1根軌跡法的串聯(lián)超前校正設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-27)則可得相應(yīng)的開環(huán)放大系數(shù)（又稱靜態(tài)誤差系數(shù)）為

(6-28)56假設(shè)一個系統(tǒng)在所要求的增益值K下是不穩(wěn)定的，或者雖屬穩(wěn)定，但系統(tǒng)具有不理想的瞬態(tài)響應(yīng)特性(超調(diào)量過大、調(diào)節(jié)時間過長)，在這種情況下，就有必要在虛軸和原點附近對根軌跡進(jìn)行修正，以便使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于根平面上希望的位置上。這個問題可以通過在前向通道上串聯(lián)一個適當(dāng)?shù)某靶Ｕb置來解決。若串聯(lián)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為(6-29)57為補(bǔ)償超前校正裝置的幅值衰減，在串入一個放大倍數(shù)為Kc=1/

的補(bǔ)償放大器。這時，校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-30)若s1是根據(jù)性能指標(biāo)確定的希望閉環(huán)主導(dǎo)極點之一，則s1應(yīng)在G(s)的根軌跡上，它一定滿足幅值和相角條件，即(6-31)和(6-32)58最后再驗證一下根據(jù)性能指標(biāo)確定的閉環(huán)主導(dǎo)極點s1，2是否可作為系統(tǒng)校正后的真正主導(dǎo)極點，若可則說明按二階系統(tǒng)性能指標(biāo)設(shè)計的Gc(s)可使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到希望的性能指標(biāo)。

根據(jù)以上分析，可歸納出用根軌跡法設(shè)計超前校正裝置的步驟為：(1)根據(jù)要求的性能指標(biāo)，確定希望主導(dǎo)極點s1，2的位置應(yīng)用對二階系統(tǒng)的分析，根據(jù)要求的

、

n，便可求得希望的閉環(huán)極點(6-33)59(2)繪制原系統(tǒng)根軌跡，確定希望主導(dǎo)極點s1，2是否落在根軌跡上，若已在根軌跡上，則表明原系統(tǒng)不需增加校正裝置，只要調(diào)整增益就能滿足給定要求；如果根軌跡不能通過希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點，則表明僅調(diào)整增益不能滿足給定要求，需增加校正裝置。如果原系統(tǒng)根軌跡位于期望極點的右側(cè)，則應(yīng)串入超前校正裝置；若串聯(lián)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為(6-34)則校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)（包括補(bǔ)償放大器）為(6-35)60(3)由校正后系統(tǒng)的相位條件，計算超前校正裝置應(yīng)提供的超前相角

c根據(jù)校正后系統(tǒng)的相位條件：可得(6-36)(4)由校正后系統(tǒng)的幅值條件，求校正裝置零、極點位置以及參數(shù)

和T對于給定的

c，校正裝置的零、極點位置不是唯一的。在此常采用使系數(shù)

為最大可能值的方法確定零、極點的。根據(jù)圖6-19所示的超前校正裝置的超前相角

c與pc和zc間的幾何關(guān)系圖，由

zcos1和

pcos1可得61

（6-37）

（6-38）則（6-39）由

得62由此，便可根據(jù)式(6-37)、式(6-38)和式(6-39)確定校正裝置零、極點位置以及參數(shù)

和T，即，(6-40)(5)校驗系統(tǒng)的性能指標(biāo)，如果系統(tǒng)不滿足要求指標(biāo)，適當(dāng)調(diào)整零、極點位置。如果需要大的靜態(tài)誤差系數(shù)，則應(yīng)采用其它方案。63例6-4設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)超調(diào)量Mp

25

，過渡過程時間ts

0.7s，靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

12(1/s)，試確定超前校正裝置Gc(s)。

64656.4.2根軌跡法的串聯(lián)滯后校正如果系統(tǒng)已具有滿意的動態(tài)特性，但是其穩(wěn)態(tài)性能不能滿意要求，這時的校正的目的主要是為了增大開環(huán)增益，并且不應(yīng)使瞬態(tài)特性有明顯的變化，這意味著系統(tǒng)在引入滯后校正裝置后，根軌跡在閉環(huán)極點附近不應(yīng)有顯著改變，同時又能較大幅度地提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，這個問題可通過在前向通道上串聯(lián)一個適當(dāng)?shù)臏笮Ｕb置來解決。66

1）為了避免原系統(tǒng)在閉環(huán)極點附近的根軌跡有顯著改變，滯后校正裝置的相位角應(yīng)當(dāng)限制在不大的角度內(nèi)（一般限制在50左右），為此應(yīng)使滯后校正裝置的零、極點盡量靠近在一起，并且使它們靠近s平面的坐標(biāo)原點，這樣已校正系統(tǒng)的閉環(huán)極點，將從它們的原來位置稍稍離開，因而系統(tǒng)的瞬態(tài)特性將基本上保持不變。2）當(dāng)滯后校正裝置零、極點靠得很近時，有這表明可以把系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)大約增加到

倍，而不影響系統(tǒng)的瞬態(tài)特性。673）如果滯后校正裝置的零、極點距離坐標(biāo)原點很近，在滿足s1+1/T≈s1+1/βT的條件下，

值可以取的較大，一般取

=10左右。4）增大開環(huán)增益意味著增大靜態(tài)誤差系數(shù)，減少穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)，則靜態(tài)誤差系數(shù)K為：如果滯后校正裝置為(6-41)68則校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

(6-42)它表明校正后系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)增加Kc

倍，靜態(tài)誤差減小Kc

倍。

根據(jù)以上分析，可歸納出用根軌跡法設(shè)計滯后校正的設(shè)計步驟為：(1)畫出原系統(tǒng)的根軌跡，根據(jù)要求的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)，在根軌跡上確定希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點s1，2；如果系統(tǒng)要求的阻尼比為ξ，則可根據(jù)根軌跡與θ的交點求出系統(tǒng)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點s1，2；69(2)根據(jù)幅值條件，確定與閉環(huán)主導(dǎo)極點s1，2對應(yīng)的開環(huán)增益設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則根據(jù)幅值條件，得

(6-43)70原系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)為

(6-44)(3)確定滿足性能指標(biāo)而應(yīng)增大的誤差系數(shù)值，從而確定

取值范圍的最小值若原系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)為K，要求的靜態(tài)誤差系數(shù)為K*，則應(yīng)增大的誤差系數(shù)值為K*/K，則串聯(lián)放大器的增益Kc

應(yīng)大于K*/K，即

值應(yīng)大于K*/K；71(4)確定滯后校正裝置的零、極點為了能使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)增加，而又不使校正前后系統(tǒng)在閉環(huán)極點附近的根軌跡有顯著改變，滯后校正裝置的零、極點應(yīng)靠近坐標(biāo)原點選??；(5)繪出校正后系統(tǒng)的根軌跡，并求出它與的交點，將其作為新的希望的閉環(huán)極點s1，2；(6)由新的希望的閉環(huán)極點，根據(jù)幅值條件，確定串聯(lián)放大器的增益Kc；(7)校驗校正后系統(tǒng)各項性能指標(biāo)，如不滿足要求，可適當(dāng)調(diào)整校正裝置零、極點。72例6-5已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)滿足阻尼比

=0.45，靜態(tài)速度誤差系數(shù)K*v

7(1/s)，試確定滯后校正裝置Gc(s)。

73746.4.3根軌跡法的串聯(lián)滯后-超前校正從上述可看到，超前校正適用于改善系統(tǒng)動態(tài)特性，而對穩(wěn)態(tài)性能只能提供有限的改進(jìn)。如果穩(wěn)態(tài)性能相當(dāng)差，超前校正就無能為力。而滯后校正常用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而保持原系統(tǒng)的動態(tài)特性不變。如果系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性均較差時，通常采用滯后-超前校正。滯后-超前校正裝置設(shè)計步驟為：(1)根據(jù)要求的性能指標(biāo)，確定希望主導(dǎo)極點s1，2的位置；75(2)為使閉環(huán)極點位于希望的位置，計算滯后-超前校正中超前部分應(yīng)產(chǎn)生的超前相角

c；根據(jù)校正后系統(tǒng)的相位條件：可得(6-45)(3)若滯后-超前校正裝置的