根式函數(shù)值域

探究含有根式的函數(shù)值域問題含根式的函數(shù)的值域或者最值問題在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中時(shí)常遇到，因其解法靈活，又缺乏統(tǒng)一的規(guī)律，給我們?cè)斐闪撕艽蟮睦щy，導(dǎo)致有些學(xué)生遇到根式就害怕。為此，本文系統(tǒng)總結(jié)此類函數(shù)值域的求解方法，供學(xué)生參考學(xué)習(xí)。1.平方法例1：求y=v1-x+、：x+3的值域兩邊同時(shí)平方得：:—(x+1)解：由題意知函數(shù)定義域?yàn)椋蹆蛇呁瑫r(shí)平方得：:—(x+1)y2二4+2X2-2x+3=4+2利用圖像可得y2el4,8］，又知y〉0「.ye析：平方法求值域適用于平方之后可以消去根式外面未知量的題型。把解析式轉(zhuǎn)化為y2=a+幾擊的形式，先求y2的范圍，再得出y的范圍即值域。2.換元法例2：求值域1)y二2x-px一12)y=x+\；4-x2解:(1)首先定義域?yàn)椋?,+4，令t=、；x-1(t>0)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為0te0te[0,+8)，ye15"8析：當(dāng)函數(shù)解析式由未知量的整數(shù)冪與根式構(gòu)成，并且根式內(nèi)外的未知量的次冪保持一致?？梢钥紤]用代數(shù)換元的方法把原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，再進(jìn)行值域求解。則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為：y=則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為：y=2sina+2cosa=2J2sina(2)首先，函數(shù)定義域?yàn)閤el-2,2］，不妨設(shè)x二2sina，令ae兀兀一一勺込_

析：形如題目中的解析式，考慮用三角換元的方法，在定義域的前提下，巧妙地規(guī)定角的取值范圍，避免絕對(duì)值的出現(xiàn)。不管是代數(shù)換元還是三角換元，它的目的都是為了去根式，故需要根據(jù)題目靈活選擇新元，并注意新元的范圍。3.數(shù)形結(jié)合法例3:1)求y3.數(shù)形結(jié)合法例3:1)求y二fG-2)+占十8)2)求y=、：，X2—2x+2十￥X2—6x+13的最小值。解:(1)y=(-2)+的值域。2+|x+8|+(I其解析式的幾何意義為數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)x,到兩定點(diǎn)2與-8的距離之和，結(jié)合數(shù)軸不難得至【」yg1o,+』+(I(2)解析式可轉(zhuǎn)化為y=定義域?yàn)镽，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝔e—1^1+C-3)+4-(x—1)+(0—1)+G-3)+G-2)由它的形式聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式，分別表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)的距離之和。點(diǎn)P(x,0)到A(1,l)和B(3,2)的距離之和。即y=PA+PB，結(jié)合圖形可知y=PA!+PB=近3，其中A心,—1)min析:根據(jù)解析式特點(diǎn)，值域問題轉(zhuǎn)化成距離問題，結(jié)合圖形得出最值，進(jìn)而求出了值域。例4：1)求y=x+1一耳3-x2+2x的值域2)求y=2、.：x+1+—x的值域解：(1)函數(shù)定義域?yàn)閤g令u=-兀2十2x，v=x+1消去x可得U2+C—2)=4當(dāng)xgI—1,3］時(shí)，ugIo,2］，vgt),4〕169169原解析式可化為y=v-u，即v=u+y原值域問題可轉(zhuǎn)化為：過(guò)圓弧U2+C-2)=4(uwb,2],velo,4])上的一動(dòng)點(diǎn)Cv),且斜率為i的直線系v=u+y在v軸上的截距y的范圍問題。結(jié)合圖形可得,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)°，4)時(shí)，y二4，當(dāng)直線與圓弧相切時(shí)y二2-彳袒maxmin所以原函數(shù)的值域?yàn)長(zhǎng)—141,4]2)函數(shù)定義域?yàn)閤e1-1,6]令u=2jx+1，v=壬6-x，消去x可得U2+4v2=28其中ue0,2^71ve原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為y二U2+4v2=28其中ue0,2^71ve原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為y二v+u，即v=-u+y原值域問題可轉(zhuǎn)化為：過(guò)橢圓+—=1287(ue0,2^7]ve0,「71上的一點(diǎn)C,卩)且斜率為-1的直線系v=—u+數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)g汀時(shí)，y在卩軸上的截距y的范圍問題。當(dāng)直線與橢圓弧相切時(shí)，u2+4v2=28消去u得5v2-2yv+y2-28=0v=-u+yy7miny=35或者y=r：35舍去)得ye析：本組題目借助于直線與曲線的位置關(guān)系(常用的是直線與圓，直線與橢圓)，巧妙地把復(fù)雜的值域問題轉(zhuǎn)化成截距問題，不管是把值域問題轉(zhuǎn)化成動(dòng)定點(diǎn)間的距離問題還是直線與曲線的位置關(guān)系問題，數(shù)形結(jié)合的方法，都可以巧妙地避開復(fù)雜的運(yùn)算，使運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，但要求解析式具有某種明顯的幾何意義。向量法例5：求y=12、19-x+5叮x-10的最大值。解：解析式的定義域是xe10,19]，解析式可以看成是2個(gè)向量的數(shù)量積，不妨設(shè)^=(12,5)，b^C；?刁，五二^),所以y=b，其中|罰=13，慣3，根據(jù)向量的數(shù)量積定義得從農(nóng)|￡|肉=39,當(dāng)且僅當(dāng)￡和b同向的時(shí)候，“二”成立，即1^I—10=^■■19—1，x=1915，

因?yàn)閤=1915G110,19],所以最大值為39。169利用函數(shù)單調(diào)性例6：求函數(shù)y=匸2x+4一、6-x的值域解：函數(shù)定義域?yàn)閤el-2,6]，易知函數(shù)在L2,6]上是單調(diào)遞增數(shù)列。當(dāng)x=一2時(shí)，丁=一2J2，當(dāng)x=6時(shí)，丁-4minmax所以函數(shù)的值域?yàn)閥e-2邁,4]析：若函數(shù)解析式可以比較方便判斷他的單調(diào)性，那用這種方法就比較簡(jiǎn)潔。尤其是在填空題中，從函數(shù)的單調(diào)性入手可以提高做題的速度。導(dǎo)數(shù)法例7解：求函數(shù)y?2x+4-、：x+3例7解：函數(shù)定義域?yàn)閤e1-2,+a))函數(shù)定義域?yàn)楫?dāng)x--2時(shí)，02,匚+3―叮2x+4〉0y打0函數(shù)在L2'+")上單調(diào)遞增，又f(-2)=-1-1,+』.函數(shù)的值域?yàn)槲觯簩?dǎo)數(shù)法是求函數(shù)值域的一個(gè)有力的工具，只不過(guò)含根式的函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程比較繁瑣，在實(shí)際操作的時(shí)候，注意運(yùn)算的準(zhǔn)