線性方程組求解

第三章線性方程組§1消元法一、線性方程組的初等變換現(xiàn)在討論普通線性方程組。所謂普通線性方程組是指形式為(1）的方程組,其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)，稱為線性方程組的系數(shù),稱為常數(shù)項(xiàng).方程組中未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)不一定相等。系數(shù)的第一種指標(biāo)表達(dá)它在第個(gè)方程,第二個(gè)指標(biāo)表達(dá)它是的系數(shù).所謂方程組（1）的一種解就是指由個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組，當(dāng)分別用代入后，(1）中每個(gè)等式都變成恒等式.方程組(1)的解的全體稱為它的解集合.解方程組事實(shí)上就是找出它全部的解,或者說,求出它的解集合。如果兩個(gè)方程組有相似的解集合，它們就稱為同解的。顯然，如果懂得了一種線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那么這個(gè)線性方程組就基本上擬定了。確切地說,線性方程組(1)能夠用下面的矩陣（2）來表達(dá)。事實(shí)上,有了(2)之后，除去代表未知量的文字外線性方程組（1)就擬定了,而采用什么文字來代表未知量固然不是實(shí)質(zhì)性的。在中學(xué)所學(xué)代數(shù)里學(xué)過用加減消元法和代入消元法解二元、三元線性方程組。事實(shí)上,這個(gè)辦法比用行列式解線性方程組更有普遍性.下面就來介紹如何用普通消元法解普通線性方程組.例如，解方程組第二個(gè)方程組減去第一種方程的2倍，第三個(gè)方程減去第一種方程，就變成第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程的2倍，把第二第三兩個(gè)方程的次序交換,即得這樣，就容易求出方程組的解為（9，-1，-6）.分析一下消元法，不難看出，它事實(shí)上是重復(fù)地對方程組進(jìn)行變換，而所用的變換也只是由下列三種基本的變換所構(gòu)成：1。用一非零數(shù)乘某一方程；2.把一種方程的倍數(shù)加到另一種方程;3。交換兩個(gè)方程的位置。定義1變換1，2，3稱為線性方程組的初等變換.二、線性方程組的解的情形消元的過程就是重復(fù)施行初等變換的過程。下面證明,初等變換總是把方程組變成同解的方程組.下面我們來闡明，如何運(yùn)用初等變換來解普通的線性方程組。對于方程組(1），首先檢查的系數(shù)。如果的系數(shù)全為零，那么方程組(1)對沒有任何限制，就能夠取任何值，而方程組（1)能夠看作的方程組來解.如果的系數(shù)不全為零，那么運(yùn)用初等變換3，能夠設(shè).運(yùn)用初等變換2，分別把第一種方程的倍加到第個(gè)方程(）。于是方程組（1）就變成（3）其中這樣，解方程組(1)的問題就歸結(jié)為解方程組(4）的問題。顯然(4）的一種解,代入(3）的第一種方程就定出的值,這就得出(3)的一種解；（3)的解顯然都是（4)的解。這就是說，方程組（3)有解的充要條件為方程組(4）有解，而(3）與（1)是同解的，因之，方程組（1)有解的充要條件為方程組(4)有解。對(4）再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步步作下去，最后就得到一種階梯形方程組.為了討論起來方便,不妨設(shè)所得的方程組為（5)其中.方程組（5）中的“0=0”這樣某些恒等式可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)，這時(shí)去掉它們也不影響(5）的解。并且（1)與(5)是同解的?，F(xiàn)在考慮（5）的解的狀況。如（5）中有方程，而。這時(shí)不管取什么值都不能使它成為等式.故（5)無解,因而（1)無解.當(dāng)是零或（5）中根本沒有“0=0"的方程時(shí)，分兩種狀況：1).這時(shí)階梯形方程組為（6)其中.由最后一種方程開始，的值就能夠逐個(gè)地唯一決定了.在這個(gè)情形，方程組(6）也就是方程組（1）有唯一的解。例1解線性方程組2）。這時(shí)階梯形方程組為其中.把它改寫成（7）由此可見，任給一組值，就唯一地定出的值，也就是定出方程組(7)的一種解。普通地,由（7)我們能夠把通過表達(dá)出來，這樣一組體現(xiàn)式稱為方程組(1）的普通解，而稱為一組自由未知量。例2解線性方程組從這個(gè)例子看出，普通線性方程組化成階梯形，不一定就是(5）的樣子，但是只要把方程組中的某些項(xiàng)調(diào)動一下，總能夠化成(5）的樣子。以上就是用消元法解線性方程組的整個(gè)過程.總起來說就是，首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的某些恒等式“0=0”（如果出現(xiàn)的話）去掉。如果剩余的方程當(dāng)中最后的一種等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解,否則有解.在有解的狀況下，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù),那么方程組有唯一的解;如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)不大于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組就有無窮多個(gè)解.定理1在齊次線性方程組中,如果,那么它必有非零解.矩陣(10)稱為線性方程組(1）的增廣矩陣.顯然，用初等變換化方程組（1）成階梯形就相稱于用初等行變換化增廣矩陣（10）成階梯形矩陣.因此，解線性方程組的第一步工作能夠通過矩陣來進(jìn)行,而從化成的階梯形矩陣就能夠鑒別方程組有解還是無解,在有解的情形，回到階梯形方程組去解.例3解線性方程組§2維向量空間定義2所謂數(shù)域上一種維向量就是由數(shù)域中個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組(1)稱為向量（1)的分量.用小寫希臘字母來代表向量。定義3如果維向量的對應(yīng)分量都相等，即.就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作.維向量之間的基本關(guān)系是用向量的加法和數(shù)量乘法體現(xiàn)的。定義4向量稱為向量的和，記為由定義立刻推出：交換律：。(2)結(jié)合律:。（3)定義5分量全為零的向量稱為零向量，記為0；向量稱為向量的負(fù)向量，記為。顯然對于全部的,都有.(4).(5）（2）-(5）是向量加法的四條基本運(yùn)算規(guī)律。定義6定義7設(shè)為數(shù)域中的數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為由定義立刻推出：，（6)，(7），(8）.(9)（6)-（9)是有關(guān)數(shù)量乘法的四條基本運(yùn)算規(guī)則.由（6）—(9)或由定義不難推出：,（10），（11)。（12）如果,那么。(13)定義8以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域上的維向量空間。在時(shí),3維實(shí)向量空間能夠認(rèn)為就是幾何空間中全體向量所成的空間.以上已把數(shù)域上全體維向量的集合構(gòu)成一種有加法和數(shù)量乘法的代數(shù)構(gòu)造,即數(shù)域上維向量空間。向量普通是寫成一行:。有時(shí)也能夠?qū)懗梢涣校?為了區(qū)別,前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同.§3線性有關(guān)性普通向量空間除只有一種零向量構(gòu)成的零空間外,都含有無窮多個(gè)向量，這些向量之間有如何的關(guān)系,對于搞清向量空間的構(gòu)造至關(guān)重要。一、線性有關(guān)與線性無關(guān)兩個(gè)向量之間最簡樸的關(guān)系是成比例.所謂向量與成比例就是說有一數(shù)使。定義9向量稱為向量組的一種線性組合，如果有數(shù)域中的數(shù)，使，其中叫做這個(gè)線性組合的系數(shù)。例如，任一種維向量都是向量組(1）的一種線性組合.向量稱為維單位向量。零向量是任意向量組的線性組合.當(dāng)向量是向量組的一種線性組合時(shí)，也說能夠經(jīng)向量組線性表出.定義10如果向量組中每一種向量都能夠經(jīng)向量組線性表出，那么向量組就稱為能夠經(jīng)向量組線性表出。如果兩個(gè)向量組互相能夠線性表出，它們就稱為等價(jià)。由定義有，每一種向量組都能夠經(jīng)它本身線性表出.同時(shí)，如果向量組能夠經(jīng)向量組線性表出，向量組能夠經(jīng)向量組線性表出，那么向量組能夠經(jīng)向量組線性表出.向量組之間等價(jià)含有下列性質(zhì)：1）反身性：每一種向量組都與它本身等價(jià)。2）對稱性：如果向量組與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).3）傳遞性:如果向量組與等價(jià),與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).定義11如果向量組中有一種向量是能夠由其他的向量的線性表出，那么向量組線性有關(guān).從定義能夠看出，任意一種包含零向量的向量組一定是線性有關(guān)的。向量組線性有關(guān)就表達(dá)或者(這兩個(gè)式子不一定能同時(shí)成立）.在為實(shí)數(shù)域，并且是三維時(shí),就表達(dá)向量與共線。三個(gè)向量線性有關(guān)的幾何意義就是它們共面。定義11′向量組稱為線性有關(guān)的，如果有數(shù)域中不全為零的數(shù)，使這兩個(gè)定義在的時(shí)候是一致的。定義12一向量組不線性有關(guān)，即沒有不全為零的數(shù)，使就稱為線性無關(guān)；或者說，一向量組稱為線性無關(guān),如果由能夠推出由定義有，如果一向量組的一部分線性有關(guān),那么這個(gè)向量組就線性有關(guān)。換句話說,如果一向量組線性無關(guān)，那么它的任何一種非空的部分組也線性無關(guān).特別地,由于兩個(gè)成比例的向量是線性有關(guān)的，因此，線性無關(guān)的向量組中一定不能包含兩個(gè)成比例的向量。定義11′包含了由一種向量組構(gòu)成的向量組的情形。單獨(dú)一種零向量線性有關(guān)，單獨(dú)一種非零向量線性無關(guān)。不難看出,由維單位向量構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的。具體判斷一種向量組是線性有關(guān)還是線性無關(guān)的問題能夠歸結(jié)為解方程組的問題。要判斷一種向量組(2）與否線性有關(guān)，根據(jù)定義11，就是看方程（3）有無非零解。(3)式按分量寫出來就是(4）因之,向量組線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方程組(4)只有零解.例1判斷的向量與否線性有關(guān)。例2在向量空間里，對于任意非負(fù)整數(shù)線性無關(guān)。例3若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).從而，如果向量組(2）線性無關(guān)，那么在每一種向量上添一種分量所得到的維的向量組(5)也線性無關(guān).定理2設(shè)與是兩個(gè)向量組.如果1）向量組能夠經(jīng)線性表出，2），那么向量組必線性有關(guān).推論1如果向量組能夠經(jīng)向量組線性表出，且線性無關(guān)，那么。推論2任意個(gè)維向量必線性有關(guān).推論3兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)的向量組,必含有相似個(gè)數(shù)的向量.定理2的幾何意義是清晰的：在三維向量的情形，如果，那么能夠由向量線性表出的向量固然都在所在的平面上，因而這些向量是共面的，也就是說，當(dāng)時(shí)，這些向量線性有關(guān).兩個(gè)向量組與等價(jià)，就意味著它們在同一平面上.二、極大線性無關(guān)組定義13一向量組的一種部分組稱為一種極大線性無關(guān)組,如果這個(gè)部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一種向量（如果尚有的話)，所得的部分向量組都線性有關(guān)。一種線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組就是這個(gè)向量組本身.極大線性無關(guān)組的一種基本性質(zhì)是,任意一種極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。例4看的向量組在這里｛｝線性無關(guān),而,因此｛｝是一種極大線性無關(guān)組.另首先,｛｝,{｝也都是向量組｛｝的極大線性無關(guān)組。由上面的例子能夠看出，向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的。但是每一種極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)，因而，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組都是等價(jià)的。定理3一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相似個(gè)數(shù)的向量.定理3表明，極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)與極大線性無關(guān)組的選擇無關(guān)，它直接反映了向量組本身的性質(zhì).因此有定義14向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.一向量組線性無關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相似.每一向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià).由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無關(guān)組也等價(jià).因此,等價(jià)的向量組必有相似的秩。含有非零向量的向量組一定有極大線性無關(guān)組,且任一種線性無關(guān)的部分向量都能擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組。全部由零向量構(gòu)成的向量組沒有極大線性無關(guān)組。規(guī)定這樣的向量組的秩為零?，F(xiàn)在把上面的概念與方程組的解的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系,給定一種方程組各個(gè)方程所對應(yīng)的向量分別是。設(shè)有另一種方程它對應(yīng)的向量為.則是的線性組合,當(dāng)且僅當(dāng)，即方程（B）是方程的線性組合.容易驗(yàn)證，方程組的解一定滿足(B）.進(jìn)一步設(shè)方程組它的方程所對應(yīng)的向量為。若可經(jīng)線性表出，則方程組的解是方程組的解.再進(jìn)一步,當(dāng)與等價(jià)時(shí),兩個(gè)方程組同解.例5（1）設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)；對個(gè)線性無關(guān)向量組，以上命題與否成立？（2）當(dāng)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)，當(dāng)線性無關(guān)時(shí),與否也線性無關(guān)?例6設(shè)在向量組中，且每個(gè)都不能表成它的前個(gè)向量的線性組合，證明線性無關(guān)?！?矩陣的秩一、矩陣的秩如果把矩陣的每一行當(dāng)作一種向量,那么矩陣就能夠認(rèn)為是由這些向量構(gòu)成的。同樣，如果把每一列當(dāng)作一種向量，那么矩陣也能夠認(rèn)為是由列向量構(gòu)成的。定義15所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩。例如，矩陣的行向量組是它的秩是3。它的列向量組是它的秩也是3.矩陣的行秩等于列秩，這點(diǎn)不是偶然的.引理如果齊次線性方程組（1）的系數(shù)矩陣的行秩，那么它有非零解.定理4矩陣的行秩與列秩相等。由于行秩等于列秩，因此下面就統(tǒng)稱為矩陣的秩。二、矩陣的秩與行列式的聯(lián)系定理5矩陣的行列式為零的充要條件是的秩不大于。推論齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式等于零.定義16在一種矩陣中任意選定行和列，位于這些選定的行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按原來的次序所構(gòu)成的級行列式，稱為的一種級子式.在定義中，固然有，這里表達(dá)中較小的一種.定理6一矩陣的秩是的充要條件為矩陣中有一種級子式不為零,同時(shí)全部級子式全為零。從定理的證明能夠看出,這個(gè)定理事實(shí)上包含兩部分，一部分是，矩陣的秩的充要條件為有一種級子式不為零；另一部分是，矩陣的秩的充要條件為的全部級子式全為零。從定理的證明還能夠看出，在秩為的矩陣中，不為零的級子式所在的行正是它行向量組的一種極大線性無關(guān)組，所在的列正是它列向量的一種極大線性無關(guān)組。三、矩陣的秩的計(jì)算在前面,作為解線性方程組的一種辦法，對矩陣作行的初等變換，把矩陣化成階梯形.事實(shí)上，這也是計(jì)算矩陣的秩的一種辦法.首先，矩陣的初等行變換是把行向量組變成一種與之等價(jià)的向量組.等價(jià)的向量組有相似的秩，因此，初等行變換不變化矩陣的秩。同樣初等列變換也不變化矩陣的秩.另首先，階梯形矩陣的秩就等于其中非零的行的數(shù)目。上面的討論闡明，為了計(jì)算一種矩陣的秩,只要用初等行變換把它變成階梯形，這個(gè)階梯形矩陣中非零的行的個(gè)數(shù)就是原來矩陣的秩。以上的討論還闡明，用初等變換化一種線性方程構(gòu)成階梯形，最后留下來的方程的個(gè)數(shù)與變換的過程無關(guān)，由于它就等于增廣矩陣的秩。例運(yùn)用初等變換求下面矩陣的秩：?！?線性方程組有解鑒別定理設(shè)線性方程組為(1)引入向量。(2)于是線性方程組（1）能夠改寫成向量方程。（3）顯然,線性方程組(1）有解的充要條件為向量能夠表成向量組的線性組合.用秩的概念，線性方程組(1）有解的條件能夠敘述以下：定理7（線性方程組有解鑒別定理)線性方程組(1）有解的充要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相似的秩.應(yīng)當(dāng)指出,這個(gè)鑒別條件與以前的消元法是一致的。用消元法解線性方程組(1)的第一步就是用初等行變換把增廣矩陣化成階梯形.這個(gè)階梯形矩陣在合適調(diào)動前列的次序之后可能有兩種情形：或者其中。在前一種情形，原方程組無解，而在后一種情形方程組有解.事實(shí)上,把這個(gè)階梯形矩陣最后一列去掉,那就是線性方程組(1)的系數(shù)矩陣通過初等行變換所化成的階梯形.這就是說,當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等時(shí),方程組有解；當(dāng)增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩加1時(shí)，方程組無解.以上的闡明能夠認(rèn)為是鑒別定理的另一種證明。根據(jù)克拉默法則，也能夠給出普通線性方程組的一種解法。設(shè)線性方程組(1）有解，矩陣與的秩都等于，而是矩陣的一種不為零的級子式（固然它也是的一種不為零的子式），為了方便起見，不妨設(shè)位于的左上角.顯然，在這種狀況下，的前行就是一種極大線性無關(guān)組,第行都能夠經(jīng)它們線性表出。因此，線性方程組(1)與（4)同解.當(dāng)時(shí),由克拉默法則，線性方程組（4）有唯一解，也就是線性方程組(1)有唯一解.當(dāng)時(shí)，將線性方程組（4)改寫為（5)（5）作為的一種方程組，它的系數(shù)行列式。由克拉默法則，對于的任意一組值，線性方程組(5），也就是線性方程組（1),都有唯一的解。就是線性方程組（1）的一組自由未知量。對(5)用克拉默法則,能夠解出:（6)（6)就是線性方程組（1）的普通解。例取如何的數(shù)值時(shí),線性方程組有唯一解，沒有解，有無窮多解？§6線性方程組解的構(gòu)造在解決線性方程組有解的鑒別條件之后，進(jìn)一步來討論線性方程組解的構(gòu)造。所謂解的構(gòu)造問題就是解與解之間的關(guān)系問題。一、齊次線性方程組的解的構(gòu)造設(shè)(1）是一齊次線性方程組，它的解所成的集合含有下面兩個(gè)重要性質(zhì)：1.兩個(gè)解的和還是方程組的解。2.一種解的倍數(shù)還是方程組的解。從幾何上看,這兩個(gè)性質(zhì)是清晰的。在時(shí)，每個(gè)齊次方程表達(dá)一種過得點(diǎn)的平面。于是方程組的解，也就是這些平面的交點(diǎn)，如果不只是原點(diǎn)的話，就是一條過原點(diǎn)的直線或一種過原點(diǎn)的平面.以原點(diǎn)為起點(diǎn),而端點(diǎn)在這樣的直線或平面上的向量顯然含有上述的性質(zhì)。對于齊次線性方程組，綜合以上兩點(diǎn)即得，解的線性組合還是方程組的解.這個(gè)性質(zhì)闡明了,如果方程組有幾個(gè)解,那么這些解的全部可能的線性組合就給出了諸多的解.基于這個(gè)事實(shí)，我們要問：齊次線性方程組的全部解與否能夠通過它的有限的幾個(gè)解的線性組合給出？定義17齊次線性方程組(1)的一組解稱為（1）的一種基礎(chǔ)解系，如果1）（1)的任一種解都能表成的線性組合；2)線性無關(guān).應(yīng)當(dāng)注意，定義中的條件2)是為了確?；A(chǔ)解系中沒有多出的解。定理8在齊次線性方程組有非零解的狀況下,它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于，這里表達(dá)系數(shù)矩陣的秩（下列將看到，也就是自由未知量的個(gè)數(shù)）.定理的證明事實(shí)上就是一種具體找基礎(chǔ)解系的辦法。由定義容易看出，任何一種線性無關(guān)的與某一種基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組都是基礎(chǔ)解系.二、普通線性方程組的解的構(gòu)造如果把普通線性方程組（9）的常數(shù)項(xiàng)換成0,就得到齊次線性方程組(1）.齊次線性方程組（1）稱為方程組（9)的導(dǎo)出組.方程組（9）的解與它的導(dǎo)出組(1)的之間有親密的關(guān)系：1.線性方程組（9）的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組(1）的解.2.線性方程組（9)的一種解與它的導(dǎo)出組（1）的一種解之和還是這個(gè)線性方程組的一種解。定理9如果是線性方程組(9）的一種特解，那么線性方程組(9)的任一種解都能夠表成其中是導(dǎo)出組(1)的一種解。因此，對于線性方程組(9)的任一種特解，當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，(10)就給出(9）的全部解。定理9闡明了，為了找出一線性方程組的全部解，只要找出它的一種特殊的解以及它的導(dǎo)出組的全部解就行了。導(dǎo)出組是一種齊次線性方程組，在上面已經(jīng)看到，一種齊次線性方程組的解的全體能夠用基礎(chǔ)解系來表達(dá).因此，根據(jù)定理我們能夠用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系來表出普通線性方程組的普通解；如果是線性方程組(9）的一種特解，是其導(dǎo)出組的一種基礎(chǔ)解系，那么(9)的任一種解都能夠表成推論在線性方程組(9）有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出組(1)只有零解.線性方程組的理論與解析幾何中有關(guān)平面與直線的討論有親密的關(guān)系.來看線性方程組(11)(11)中每一種方程表達(dá)一種平面，線性方程組（11）有無解的問題就相稱于這兩個(gè)平面有無交點(diǎn)的問題。我們懂得，兩個(gè)平面只有在平行而不重疊的情形沒有交點(diǎn)。(11)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別是與,它們的秩可能是1或者2.有三個(gè)可能的情形:1.秩=秩=1.這就是的兩行成比例，因而這兩個(gè)平面平行.又由于的兩行也成比例，因此這兩個(gè)平面重疊.方程組有解.2。秩=1，秩=2.這就是說，這兩個(gè)平面平行而不重疊.方程組無解。3。秩=2。這時(shí)的秩一定也是2。在幾何上就是這兩個(gè)平面不平行，因而一定相交。方程組有解.下面再來看看線性方程組的解的幾何意義。設(shè)矩陣的秩為2，這時(shí)普通解中有一種自由未知量，譬如說是，普通解的形式為(12）從幾何上看，兩個(gè)不平行的平面相交在一條直線。把（12)改寫一下就是直線的點(diǎn)向式方程。如果引入?yún)?shù)，令，(12)就成為（13)這就是直線的參數(shù)方程。(11）的導(dǎo)出方程組是（14）從幾何上看,這是兩個(gè)分別與(11）中平面平行的且過原點(diǎn)的平面，因而它們的交線過原點(diǎn)且與直線(12)平行。既然與直線(12）平行，也就是有相似的方向，因此這條直線的參數(shù)方程就是(15）(13)與（15)正闡明了線性方程組（11)與它的導(dǎo)出組(14）的解之間的關(guān)系。例1求線性方程組的一種基礎(chǔ)解系.例2設(shè)線性方程組用它的導(dǎo)出齊次方程組的基礎(chǔ)解系表達(dá)它的全部解?！?二元高次方程組一、結(jié)式的概念引理設(shè)是數(shù)域上兩個(gè)非零的多項(xiàng)式，它們的系數(shù)不全為零。于是與在中有非常數(shù)的公因式在中存在非零的次數(shù)不大于的多項(xiàng)式與次數(shù)不大于的多項(xiàng)式，使下面把引理中的條件變化一下.令由多項(xiàng)式相等的定義,等式(5)就是左右兩端對應(yīng)系數(shù)相等，即（6)如果把（6）當(dāng)作一種有關(guān)未知量的方程組，那么它是一種含個(gè)未知量,個(gè)方程的齊次線性方程組。顯然，引理中的條件：“在中存在非零的次數(shù)不大于的多項(xiàng)式與次數(shù)不大于的多項(xiàng)式,使（5）成立"就相稱于說，齊次線性方程組(6)有非零解。我們懂得,齊次線性方程組（6）有非零解的充要條件為它的系數(shù)矩陣的行列式等于零.把線性方程組(6）的系數(shù)矩陣的行列式的行列交換,再把后邊的行反號,取行列式就得.對任意多項(xiàng)式(它們可覺得零多項(xiàng)式)，我們稱上面的行列式為它們的結(jié)式，記為。綜合以上分析,就能夠證明定理10設(shè)是中兩個(gè)非零的多項(xiàng)式，于是它們的結(jié)式的充要條件是與在中有非常數(shù)的公因式或者它們的第一種系數(shù)全為零。當(dāng)是復(fù)數(shù)域時(shí)，兩個(gè)多項(xiàng)式有非常數(shù)公因式與有公共根是