應(yīng)力與應(yīng)變分析課件

第七章 應(yīng)力與應(yīng)變分析§7-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析§7-6

廣義胡克定律§7-7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能小

結(jié)1第1頁/共59頁§7-1

一點的應(yīng)力狀態(tài)一、一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)受力構(gòu)件一點處各個不同截面上的應(yīng)力情況研究應(yīng)力狀態(tài)的目的找出該點的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進行失效分析。二、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法——單元體法1．單元體圍繞構(gòu)件內(nèi)一點截取的微小正六面體。具有以下特點：代表一點的應(yīng)力狀態(tài)；每個面上的應(yīng)力均布，應(yīng)力正負用箭頭方向表示；平行面上的應(yīng)力大小相同、方向相反；三個相互垂直面上的應(yīng)力已知。2第2頁/共59頁單元體上的應(yīng)力分量單元體上的應(yīng)力分量共有九個，獨立分量有六個；應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：xOzydzdxXYZOσyσydy

σzσzτyzτyzτzyτyxτyxτxyτzy

τxyσxσxτzxτxzτzxτxz第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸；兩角標(biāo)相同時，只用一個角標(biāo)來表示。例如τ

表示x面上xy平行于y軸的切應(yīng)力，σx表示x面上平行于x軸的正應(yīng)力；3)面的方位用其法線方向表示，例如x面表示法線平行于x軸的面；§7-1一點的應(yīng)力狀態(tài)3第3頁/共59頁：切應(yīng)力互等定理應(yīng)力矩陣：截取單元體的方法與原則在一點用與三個坐標(biāo)軸(笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)，依

問題和構(gòu)件形狀而定)垂直的平面截取，因其微小，看成微小正六面體；單元體各個面上的應(yīng)力已知或可求；幾種受力情況下截取單元體方法：§7-1一點的應(yīng)力狀態(tài)4第4頁/共59頁MeMeFFMeMe橫截面、周向面、直徑面各一對，從上表面截取Cτσσ橫截面、周向面、直徑面各一對B一對橫截面，兩對縱截面Aσ=F/Aστ=Me

/WpABFC§7-1一點的應(yīng)力狀態(tài)5第5頁/共59頁BCAFABCτBτCσCσCσAσA§7-1一點的應(yīng)力狀態(tài)6第6頁/共59頁三、應(yīng)力狀態(tài)的分類(按主應(yīng)力)主應(yīng)力、主單元體、主平面的概念主平面：單元體上切應(yīng)力為零的平面主單元體：各面均為主平面的單元體，主單元體上 有三對主平面；旋轉(zhuǎn)y'x'σ2z'σ3σ1σxσzτxzτxyτzxτzyτyzτyxσy3)主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力，用σ1、σ2、σ3表示，且σ1≥σ2≥σ3。xyz(找主平面、主單元體和主應(yīng)力)§7-1

一點的應(yīng)力狀態(tài)7第7頁/共59頁4)圍繞一點至少存在一個主單元體，應(yīng)力分析的主要目的就是尋找主單元體和主應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)；平面應(yīng)力狀態(tài)：有二個主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)，也稱為二向應(yīng)力狀態(tài)；三向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)，也稱為空間應(yīng)力狀態(tài)；單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)；平面和空間應(yīng)力狀態(tài)又稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。§7-1

一點的應(yīng)力狀態(tài)8第8頁/共59頁§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)一般表現(xiàn)為：單元體上有一對側(cè)面應(yīng)力為零，而其它四個側(cè)面上應(yīng)力都平行于應(yīng)力為零的側(cè)面。σxτxy一、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法1．平面應(yīng)力狀態(tài)的表示方法(一般表現(xiàn)形式σ)yσyσxτyxσyτyx9第9頁/共59頁τxyσxσx2．任意α角斜截面以及與之相垂直斜截面上的應(yīng)力1)公式推導(dǎo)AByx

xατx'y'τxyσxσσxτxyτyxσyσyyx'

x'y'y'dAααστxy''x'σy'α§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析10第10頁/共59頁2)α角斜截面應(yīng)力公式由三角變換得3)α與α

+90o斜截面應(yīng)力公式的矩陣表達式§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析11第11頁/共59頁坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣y'αxx'ααyy'xyOτxyσxτyxσyxx'x'y'αxy'σx'yx'ατx'y'x

y

xy4)推導(dǎo)公式時，σ

、σ

、τ

、α角均假設(shè)為正，實際計算時應(yīng)代入各參量的正負。α

：以x軸正向為起線，逆時針轉(zhuǎn)至x'正向者為正，反之為負；σ

：拉為正，壓為負；τ

：使微元產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正；反之為負。單元體上所繪σ、τ，數(shù)值代表大小，箭頭方向代表正負。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析12第12頁/共59頁3．主應(yīng)力及其方位1)由主平面定義：，得：：可求出兩個相差90o的α0值，對應(yīng)兩個互相垂直主平面。2)即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向正應(yīng)力的極值。主應(yīng)力大小由σ

'、σ

"、0按代數(shù)值大小排序得出：§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析13第13頁/共59頁5)判斷σ'、σ"作用方位(與兩個α0如何對應(yīng))a)由：求得一個α0：b)τxy箭頭指向第幾象限(一、四)，則σ'(較大主應(yīng)力)

在第幾象限，即先判斷σ

’大致方位，再判斷其與算得的α0相對應(yīng)，還是與

α0+90o相對應(yīng)。6)τxyα0*σ

"'σ

"'α0*§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析14第14頁/共59頁：：極值切應(yīng)力1)可求出兩個相差90o的α1值，對應(yīng)兩個互相垂直的極值切應(yīng)力方位。極值切應(yīng)力極值切應(yīng)力方位與主應(yīng)力方位的關(guān)系 極值切應(yīng)力平面與主平面成45o§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析15第15頁/共59頁σαατα例7-1

圖示單元體，試求：①α=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。解：1)α=30o斜截面上的應(yīng)力2)主應(yīng)力與主單元體3)極值切應(yīng)力4)討論并證明：同一單元體任意垂直平面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)。σ

"

40

4020

σ

'1340.9o30σ

'單位：σ

M"Pa§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析16第16頁/共59頁τABCD例7-2分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)。Me3)圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意點為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸線成45o斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的切應(yīng)力；對于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉(zhuǎn)破壞時，通常是橫截面上的最大切應(yīng)力使圓軸沿橫截面剪斷；對于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉(zhuǎn)破壞時，通常沿與Me45o

x-45oA

DB

Cσ3σ1σ1σ3解：1)圍繞圓軸外表面一點取單元體ABCD：2)求主應(yīng)力和主單元體§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析軸線成45o的螺旋面拉斷。17第17頁/共59頁q§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力跡線作法將一點的主拉(壓)應(yīng)力方

向延長與相鄰橫截面相交，再求出交點的主拉(壓)應(yīng)

力方向，依次得到一條曲

線——主拉(壓)應(yīng)力跡線。主應(yīng)力跡線的特征18第18頁/共59頁同一類主應(yīng)力跡線不能相交；兩類主應(yīng)力跡線若相交，則必然正交；所有主應(yīng)力跡線與軸線相交的夾角均為45o；所有主應(yīng)力跡線與梁的上或下邊緣垂直相交；主應(yīng)力跡線只反映主應(yīng)力方向，不反映大小。以σ、τ為坐標(biāo)軸，則任意α

斜截面上的應(yīng)力σα、τα為§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法——應(yīng)力圓1．理論依據(jù)19第19頁/共59頁Oστσxσxτxyτyxτxyτyxσyσyx2．應(yīng)力圓的繪制yC2α0B1σ

"A1σ

'2α(σα

,τα)EG1τ

'2G

τ

"D'(σy,

τyx)BAD(σx,

τxy)nασατα§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析選定坐標(biāo)及比例尺；取x面的兩個應(yīng)力值，定出D(σx

,τxy)點，取y面的兩個應(yīng)力值，定出D'(σy

,τyx)點；連DD‘交σ

軸于C點，以C為圓心，DD’為直徑作圓。20第20頁/共59頁應(yīng)力圓的應(yīng)用點面對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上一點坐標(biāo)代表單元體某個面上的應(yīng)力；角度對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過2α，單元體上的面轉(zhuǎn)過α

；轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑的轉(zhuǎn)OσC2α(σα

,τα

)ED'(σy,

τyx)BAx

xyD(σ

,

τ

)xσxσxτxyτyxτxyτyxσyσyynσαατα向與單元體上面的旋向相同；τ4)求外法線與x軸夾角為α

斜截面上的應(yīng)力，只要以D為起點，按α

轉(zhuǎn)動方向同向轉(zhuǎn)過2α

到E點，E點坐標(biāo)即為所求應(yīng)力值?！?-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析21第21頁/共59頁0

1度為2α

*，轉(zhuǎn)至σ軸負向B

點代表σ"所在主平面；στCB1O

σ

"G1τ

'2G

τ

"D'(σy,

τyx)B2α0*

A1A

σ

'D(σx,

τxy)σxτxyτyx5)應(yīng)力圓確定主平面、主應(yīng)力

由主平面上切應(yīng)力τ=0，確定D轉(zhuǎn)過的角度；D轉(zhuǎn)至σ軸正向A1

τxy點代表σ'所在主平面，其轉(zhuǎn)過角

σxτyxσyσy6)確定極值切應(yīng)力及其作用面應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點為τ'，縱軸坐標(biāo)最小的G2點為τ"，作用面確定方法同主應(yīng)力?！?-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析22第22頁/共59頁4)作應(yīng)力圓，并由幾何關(guān)系算出或由比例尺量出：60o解：一、圖解法1)由豎直面BE上的應(yīng)力得到應(yīng)力圓上的D點：σOτ17.34080D120olC例7

-

3

平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試用應(yīng)力圓和解析法分別求出主應(yīng)力和斜截面AB上的切應(yīng)力τ。(應(yīng)力單位：MPa)B5080A

D'5080ττ60oE2)由AB面上的正應(yīng)力作直線s：則應(yīng)力圓上代表AB面應(yīng)力的點一定在該直線上3)作直線l，使其滿足：與σ軸正向逆時針夾角120o，交直線s于D'，交σ軸于C，|CD'|=|CD|50s§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析23第23頁/共59頁5080A508060oτBτE解：二、解析法建立坐標(biāo)系截取微塊ABC將AB看成斜截面，求解其上應(yīng)力由于AC面為主平面，其上切應(yīng)力為零，則根據(jù)切應(yīng)力互

等定理BC面上切應(yīng)力也為零，只有主應(yīng)力σy。xy50σy60oτB80

AC§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析24第24頁/共59頁例7-4

圖示單元體，試求：①α=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。σαατα解：1)α=30o斜截面上的應(yīng)力2)主應(yīng)力并畫出主單元體τD'(-40,20)CO60o(29.8,20.3)σ35.3D(30,-20)-45.329.8oσ

"

40

4020

σ

'1340.9o30σ

'單位：σ

M"Pa3)極值切應(yīng)力：40.3-40.3§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析25第25頁/共59頁三、幾種應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓單向拉伸和壓縮應(yīng)力狀態(tài)單向拉伸σσ2)單向壓縮σσOτCσDD'C'EE'σ圓心C：(σ/2,0)極值切應(yīng)力點：D(σ/2,

σ/2)D'(σ/2,

-σ/2)主應(yīng)力：σ圓心C'：(-σ/2,0)極值切應(yīng)力點：

E(-σ/2,

σ/2)E'(-σ/2,

-σ/2)主應(yīng)力：§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析26第26頁/共59頁2．純剪切應(yīng)力狀態(tài)OστττττC圓心C：(0,0)極值切應(yīng)力點：

D(0,τ)D'(0,-τ)主應(yīng)力：DD'§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析27第27頁/共59頁pppOστσ

σ3．兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)σ主應(yīng)力：σ

Cpppσ兩任向意均形勻狀壓平(面拉，)應(yīng)只力要狀邊態(tài)界各點的承應(yīng)受力大圓小為相σ同軸垂上直的作一用點于。邊界因的此力其，任則意其方內(nèi)向部均任為意主一應(yīng)點均為力兩方向向均，勻任壓意(拉平)面應(yīng)均力為狀主態(tài)，同平樣面對于三維構(gòu)件(如圓球)，就為三向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析p28第28頁/共59頁§7-3

三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力σ3σ2一、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓1．三向面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓σ2σ1

σ1σ2σ1σ3Oσ3τσC2σ3C1C3σ1σ21)平行σ3斜截面上應(yīng)力由σ1、σ2作出應(yīng)力圓上的點確定；

2)平行σ1斜截面上應(yīng)力由σ2、σ3作出應(yīng)力圓上的點確定；

3)平行σ2斜截面上應(yīng)力由σ1、σ3作出應(yīng)力圓上的點確定；29第29頁/共59頁τ23OτσC2σ3C1C3σ1σ2τ13τ124)由彈性力學(xué)知，任意斜截面上的應(yīng)力點落在陰影區(qū)內(nèi)。2．三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力τmax所在平面與σ1和σ3兩個主平面夾角為45o?！?-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力30第30頁/共59頁1)[σij]、[σij']分別是老、新坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣；Ox1

112)[λ]為新老坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣：x3x3'x2'cos?1λ13x1'cos?1λ12x2cos?1λλ

為新坐標(biāo)i對老坐ij標(biāo)j的方向余弦3)任意斜截面上的應(yīng)力：λ1j為斜截面外法線對老坐標(biāo)j的方向余弦§7-3

三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力二、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換及主應(yīng)力1．三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力轉(zhuǎn)換31第31頁/共59頁三向應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和主軸方向研究方法線性代數(shù)中求實對稱矩陣特征值和特征向量。特征值即為所求主應(yīng)力，特征向量即為主應(yīng)力所在方位；主應(yīng)力大小和方向求解α的三個實根，即為應(yīng)力矩陣σij的三個主應(yīng)力，求出α后可求出三個特征向量，即為各主應(yīng)力所對應(yīng)的方位?！?-3

三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力32第32頁/共59頁σy=140xA視三、例題例7-5

試確定圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并確定主平面和最大切應(yīng)力作用面位置。解法一：1)已知一個主應(yīng)力：σz=90MPa。2)將單元體沿z方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)：x90300150y140單位：MPaxy

1根據(jù)τ

方向，σ

與x逆時針夾角為31o，σ3與x軸夾角121o，均在xoy平面內(nèi)最大切應(yīng)力所在平面σ

=300x法線與主平面夾角45o即與x軸夾角76o或-14o。zyσ2y'31oτxy=15031oσ1x'σ3zA§7-3

三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力33第33頁/共59頁解法二：1)應(yīng)力狀態(tài)的矩陣形式為：xz90300150y140單位：MPa2)求解主應(yīng)力：展開整理得：3)主應(yīng)力方向：σ1=390MPa時有求解方程，并注意到 得：同理，分別求出σ2=90MPa、σ3=50MPa時的n1、n2、n3，得到：4)最大切應(yīng)力及方向求解同解法一。轉(zhuǎn)換矩陣：§7-3

三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力34第34頁/共59頁BAC§7-4

任意點的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一、任意點的應(yīng)變1．平面應(yīng)變狀態(tài)：z方向位移為零。應(yīng)變僅在x、y平面內(nèi)產(chǎn)生。假設(shè)直角增大為鈍角時的切應(yīng)變γ為正uvO0xydydxyxO'A'B'C'βα35第35頁/共59頁2．推廣到三向應(yīng)變狀態(tài)定義切應(yīng)變分量：則任意點的應(yīng)變分量可寫成矩陣形式：二、應(yīng)變的坐標(biāo)變換[λ]與前相同為空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣§7-4

任意點的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換36第36頁/共59頁§7-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析一、平面應(yīng)變分析研究問題：平面應(yīng)變狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點O的應(yīng)變分量為εx、εy、γxy，其余應(yīng)變?nèi)珵榱?，求該點在xy平面內(nèi)任意方向的應(yīng)變εx'、εy'、γx'y'。任意方向應(yīng)變平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：代入：展開得37第37頁/共59頁3)分別用εα和γα表示上式中的εx'和γx'y'=-2εx'y'，并進行三角函數(shù)化簡，得到：主應(yīng)變與主應(yīng)變方向由于相似性，可完全借用平面應(yīng)力分析的結(jié)論。主應(yīng)變方向主應(yīng)變大小：§7-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析38第38頁/共59頁二、應(yīng)用舉例1．因切應(yīng)變γxy不宜測量，用應(yīng)變儀直接測量應(yīng)變時，一般先測出在三個α1、α2、α3方向上的線應(yīng)變εα

1、εα

2、εα

3，再求得εx、εy、γxy進行計算。2．工程實測中α1、α2、α3取為便于計算的值。例如使三個應(yīng)變片的方向分別為α1=0o，α2＝45o，α3=90o，就得到了45o—3直角應(yīng)變花?！?-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析39第39頁/共59頁例7-6

用45o—3直角應(yīng)變花測得一點處的三個線應(yīng)變?yōu)棣?=-300μ，ε45=-200μ，ε90=200μ，試求主應(yīng)變及其方向。y45o45oε90xOε45解：1)求εx、εy、γxy令α1=0o，α2＝45o，α3=90o：解得：2)求主應(yīng)變及其方向ε0因εx<εy，故最大線應(yīng)變在105o30'方向上?！?-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析40第40頁/共59頁§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析3．應(yīng)變測量實例中科院等離子體所HT-7U支撐試驗臺41第41頁/共59頁§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U支撐的應(yīng)變測量42第42頁/共59頁§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U波紋管的應(yīng)變測量43第43頁/共59頁§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)變測量儀器——7V13數(shù)據(jù)采集儀44第44頁/共59頁§7-6

廣義胡克定律一、廣義胡克定律有關(guān)概念主應(yīng)變：沿主應(yīng)力方向的應(yīng)變，分別用ε

1≥ε

2≥ε

3表 示；正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變；廣義胡克定律廣義胡克定律：應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，又稱本構(gòu)關(guān)系；推導(dǎo)方法：利用疊加原理和第一章里討論的拉壓和 剪切胡克定律。45第45頁/共59頁σ1σ2σ3Iσ2IIσ3σσ1

1Iσ1

σ1σ22IIσ2IIIσ3σ1方向上的應(yīng)變：

σ2方向上的應(yīng)變：

σ3方向上的應(yīng)變：3)主應(yīng)力與主應(yīng)變的關(guān)系：§7-6廣義胡克定律46第46頁/共59頁4)一般情況：5)用應(yīng)變表示應(yīng)力：§7-6廣義胡克定律47第47頁/共59頁6)平面應(yīng)力狀態(tài)下：σz、τyz

、τxz

為零?！?-6廣義胡克定律48第48頁/共59頁形前體積：二、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系體積應(yīng)變長a、寬b、高c的單元體變2)在主應(yīng)力σ1、σ2、σ3作用下，單元體體積變?yōu)椋?)體積改變率(體積應(yīng)變)abcσ3σ2b(1+ε2)a(1+ε1)c(1+ε3)σ1§7-6廣義胡克定律49第49頁/共59頁4)體積應(yīng)變的應(yīng)力表達式：代入胡克定律§7-6

廣義胡克定律——平均應(yīng)力——體積模量2．廣義胡克定律的體積應(yīng)變表達式——拉梅常數(shù)式中：——Kronecker符號50第50頁/共59頁三、例題例7-7

在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取

E=200GPa，ν

=0.30。Fpσ3=F/Aσθ=

pσr=ppp解：1)圓柱橫截面上的應(yīng)力2)圓柱徑向應(yīng)變3)截取單元體如圖4)由廣義胡克定律5)圓柱內(nèi)任意點主應(yīng)力為：§7-6廣義胡克定律51第51頁/共59頁§7-7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能：一、總應(yīng)變比能有關(guān)概念應(yīng)變能(變形能)：伴隨彈性體的變形而儲存在彈性體的能量，用U表示；比能：單位體積內(nèi)儲存的應(yīng)變能，用u表示；克拉貝依隆原理