數值計算方法上機試驗報告

華北電力大學試驗報告||試驗名稱 數值計算方法》上機試驗課程名稱 數值計算方法 專業(yè)班級：電力實08 指導教師：郝育黔教師學號：202301001008 學生姓名：李超然成績： 試驗日期：2023年04月數值計算方法上機試驗報告一、各算法的算法原理及計算機程序框圖1、牛頓法求解非線性方程(1)算法原理：* k kf(x)0X的一個近似值X，將f(x)X處開放成一階泰勒公* k k式” f“() 2f(X)f(Xk)f(Xk)(XXk)----------------------(xXk)2!無視高次項，有f(X)f(Xk)f”(Xk)(XXk)* 右端是直線方程，用這個直線方程來近似非線性方程 f(X)。將非線性方程f(X)0的根X代入f(X) 0* f(Xk)f”(Xk)(x*Xk)0解出將右端取為Xk1，則Xk 1是比Xk更接近于X的近似值，即X X f(Xk)kk1k這就是牛頓迭代公式。計算機程序框圖：(見)

f”(Xk)輸入變量、輸出變量說明：o輸入變量：X迭代初值，迭代精度，N迭代最大次數輸出變量：k當前迭代次數，X1當前迭代值o具體算例及求解結果：完畢例：導出計算匸〔c0〕的牛頓迭代公式，并計算115?！睵392-16〕求解結果：10.75000010.72383710.72380510.7238052、列主元素消去法求解線性方程組算法原理：高斯消去法是利用現(xiàn)行方程組初等變換中的一種變換，即用一個不為零的數乘一個方程后加只另一個方程，使方程組變成同解的上三角方程組，然后再自下而上對上三角方程組求解。kk列選主元是當高斯消元到第k步時，從k列的a 以下〔包括a 〕的各元素中選出絕對kkkk值最大的，然后通過行交換將其交換到akk的位置上。交換系數矩陣中的兩行〔包括常數項〕，只相當于兩個方程的位置交換了，因此，列選主元不影響求解的結果。計算機程序框圖：〔見下頁〕輸入變量、輸出變量說明：輸入變量：aj系數矩陣元素，b常向量元素輸出變量：bi,b2bn解向量元素具體算例及求解結果：例：用列選主元法求解以下線性方程組〔課本P653-3〕0.50x11.10x23.10X36.002.00x14.50x20.36X30.0205.00x10.96X26.50X30.96求解結果：x12.600000x21.000000x32.0000003、LU分解法求解線性方程組算法原理：AxbALULUxb，這時可歸用遞推計算相繼求解兩個三角形〔系數矩陣為三角矩陣〕方程組，用順代，由LybyUxyx。

結為利計算機程序框圖：〔見下頁〕輸入變量、輸出變量說明：輸入變量：aj系數矩陣元素，b常向量元素從主程序來開頭i,j1,2,..,n

讀入數據,a j a U1idi,i1,2,...,nU1idi,i1,2,...,nli1i,-U2,3,...,n1Ur1riarilU,irr kir,r1,..,nlir(ak1r1.irlU)/U,iik krrrr 1,r2,...,nk1yi1yib,ybik1n

2,3,...,nX y/U ,X (% UXj/uJ n1,,...,2,1n n nn

ikki1完畢n,輸出變量：b1,b2,...,b解向量元素n,(4)具體算例及求解結果:例：用杜里特爾分解法求解方程組(課本P743-8)2 2 3 x1 34 7 7 x2 12 4 5 x3 7求解結果：x12.000000X22.000000x31.0000004、拉格朗日插值法(1)算法原理：|構造基函數|k

(x)

i0xkik

,可以證明基函數滿足以下條件:xxlk(x)

0 ik1ik，1對于給定(n1)個節(jié)點, n次拉格朗日插值多項式由下式給出:XXkXXL(x) nn ykXXk0i0 k iklk(x)xnL(x)xn次的代數多項式。xXi時，L(xJy，滿足插值條件。計算機程序框圖：(見下頁)輸入變量、輸出變量說明:輸入變量：(x，%)插值節(jié)點輸出變量：y插值所得到被插函數在插值點的近似值具體算例及求解結果:f(x)sinx的值如下表所示。f(x)sinx的值XX06丄2432sinx0占212sin—的估量值12求解結果：0.2585885、最小二乘法的曲線擬合(1)算法原理：對于給定的一組數據(x，f(xj),i 1,2,...,m，要在給定的函數空間Span{ , }0 1,…，

n*(x)a；o(x)a；i(x)...a；n(x)

na；i(x)n使(x)滿足m2 *(X)f(X)]mi2

m(X)f(X)] 22 i i i i的

〔X〕的方法稱為曲線擬合的最小二乘法，〔X〕稱為最小二乘法最小二乘解。計算機程序框圖:輸入變量、輸出變量說明:輸入變量：〔x，yj數據點輸出變量：ai擬合多項式的系數(4)具體算例及求解結果：yf(x)的實例數據表，試用最小二乘法求二次擬合多項式。P1863)Xi0123456yi15141414141516求解結果:a014.928572

(課本a,0.892857a,a2 0.178571y1.3181713.431811x0.386363X26、變步長梯形求積分算法原理:設將積分區(qū)間［a,b］nnXk步長

akh,k0,1,...,n，其中XkXn對于子區(qū)間［Xk,Xk1］，利用體型求其積分近似值對于子區(qū)間［a,b］有

2【f(Xk) f(Xk1)]T n1h[f(X)f(X)]n 2k0 k k1對于子區(qū)間［Xk,Xk1］再取其中點1(X X )rk k k1作節(jié)點，此時區(qū)間數增加了一倍為 ，2n對子區(qū)間［Xk,Xk1］，其積分近似值4[f(x

) 2f(x )mk k1k2對區(qū)間［a,b］有

n1h山

4[5)

2f(x)g)]0 k2h()n1 f(X()

h)] n1 f(x )計算機程序框圖:

[fX ki k124ko k k2bah,￡[f(a) f(b)] T>0S,ahx2T1T22 2Sf(x)T1T22 2完畢輸入變量、輸出變量說明：輸入變量：［a,b］積分區(qū)間，精度輸出變量：T2積分結果具體算例及求解結果:例：用變步長梯形公式求積法計算sin例：用變步長梯形公式求積法計算sinx10x求解結果：0.94608277、改進歐拉法〔1〕算法原理：h取值較小時，讓梯形法的迭代公式只迭代一次就完畢。這樣先用歐拉公式求得初步近似值n〔〕，稱之為預報值，預報值的精度不高，用它替代梯形法右端的ni，yn1，并稱之為校正值，這時得到預報-校正公式。將預報-校正公式Yn1Yn1〔0〕 nYhf〔X,y〕n nYn1 nhYf〔X,Y〕fX ,Y〕2nn1n1〔0〕稱為改進歐拉公式?！?〕計算機程序框圖：〔見下頁〕〔3〕輸入變量、輸出變量說明：輸入變量：〔X,Y〕處置點，h區(qū)間長度，N計算次數0 0輸出變量：〔論,力〕初值問題的數值解法結果〔4〕具體算例及求解結果：例：求解初值問題〔課本P2427-2〕2xyy——,0x1YY〔0〕1求解結果:XnYny(Xn)XnYny(Xn)0.1P1.095909:1.0959090.61.4859561.4859550.21.1840971.1840970.71.5625141.5525140.3[1.2662011.2662010.81.6164751.6164740.4r1.343360:1.3433600.91.6783201.6781660.51.4164021.4164021.01.7378671.737867C始)1 1讀入C始)1 1讀入X,y,h,N011ony。hf(Xo,y°)yy。hf] p c(X,y)y] p cp (yp ]]/Xy7]]r / -------------1 n1n完畢8四階龍格-庫塔法求解常微分方程的初值問題算法原理：Yn1Ynh(X)4k4kYn1Ynh(X)4k4k1f(X,y)2k23k：3n nk2f(Xn1h,ynk11k1h)3f(Xn2h,yn21 ikhk22k2h)4f(Xn3h,yn31k1h32k2h33k3h)k ki其中，i,i,j(i1,2,3,j1,2,...,i)均為待定系數。k2,k3,k4Xnhyni并進展花間，然后與y(X )在X點上的泰勒開放式比較，使其兩式比較，使其兩式右端直到h的系數相等，ni n 4經過簡潔的數學演算可得到關于i,i,ij的一組特解1211221221313203121122122131320333143211613從而得到以下常用的經典公式y(tǒng)iyn2k3k)412k2kif(X,y)n nk2f(x,y1 nn2k3f(x』n1 nk4f(X ,yn1 nhk)35

截斷誤計算機程序框圖：(見下頁)輸入變量、輸出變量說明：o輸入變量：(x,y。)處置點，h區(qū)間長度，N計算次數輸出變量：(xi,yi)初值問題的數值解法結果o具體算例及求解結果：h0.2x0x1，用經典公式求解初值問題2xy(0)iXnyXnyny(X)n0.20.40.60.81.01.1832291.3416671.4832811.6125141.7321421.1832291.3416671.4832811.6125141.732142二、上機體驗與收獲本次上機內容為牛頓法求解非線性方程、列主元素消去法求解線性方程組、LU分解法求解線性方程組、拉格朗日插值、最小二乘法的曲線擬合、變步長梯形求積分、改進歐拉方法求 5解常微分方程的初值問題、四階龍格—庫塔法求解常微分方程的初值問題在各個算法程序的編制中，我生疏到從一個數值計算方法到一個具體程序的簡潔過程，使我對各種數值計算方法有了更深的了解。同時，補充了C++吾言的應用，把握了C++吾言中文件的操作，這是原先