《機械制圖（第2版）》第8課 作形體的截交線與相貫線

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課題第8課作形體的截交線與相貫線（1）課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）分析立體和回轉體被不同截平面切割后截交線的形狀（2）掌握平面立體和回轉體被不同截平面切割后截交線的畫法素質目標：（1）樹立將個人奮斗融入黨和國家事業(yè)的人生理想（2）弘揚勞模精神和工匠精神教學重難點教學重點：平面立體截交線與回轉體截交線的畫法教學難點：平面立體截交線與回轉體截交線的畫法教學方法案例分析法、問答法、討論法、講授法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計→→→傳授新知（53min）→任務實施（10min）→學以致用（15min）→課堂小結（3min）→作業(yè)布置（2min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖課前任務【教師】布置課前任務，和學生負責人取得聯(lián)系，讓其提醒同學通過文旌課堂APP或其他學習軟件，完成課前任務請大家查閱截交線的相關資料，思考什么是截交線，分析截交線和相關的投影可能是什么樣的，并完成“任務工單——截交線與相貫線的投影與作圖練習”中關于截交線的引導問題?！緦W生】完成課前任務通過課前任務，讓學生了解本次課的主要內容，增加學生的學習興趣考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況任務引入（5min）【教師】講述“任務引入”中的相關內容，展示“一種常見組合體的立體圖及其俯視圖與左視圖”圖片（詳見教材），并提出以下問題：觀察圖片，試根據(jù)組合體的立體圖及俯視圖與左視圖，分析其形體?！緦W生】觀察、思考、回答通過問題導入的方法，引導學生主動思考，激發(fā)學生的學習興趣傳授新知

（53min）【教師】通過學生的回答引入要講的知識，講解截交線的投影與作圖的基礎知識一、截交線的投影與作圖?【教師】展示圖4-5（詳見教材），提問：“思考立體被平面切割后的截面是什么樣子的？”，安排學生小組討論并派代表回答問題?【學生】聆聽、分組、觀察、思考、討論、回答問題?【教師】播放圖4-5動畫（詳見教材），總結學生的回答，引出截交線、截平面、截斷面的相關知識用一個平面切割立體，平面與立體表面所形成的交線稱為截交線，用來截切立體的平面稱為截平面，立體被截切后的斷面稱為截斷面。當立體表面形狀和截平面的位置不同時，截交線的形狀也不同，但任何形狀的截交線都具有以下兩個基本性質。封閉性：由于任何立體都有一定的范圍，所以截交線為封閉的平面圖形。共有性：因為截交線既屬于截平面，又屬于立體表面，所以截交線是截平面和立體表面的共有線。由此可見，求作截交線的實質，就是求截平面與立體表面的共有點和共有線。1．平面立體截交線的畫法平面立體截交線是一個封閉的平面多邊形，該多邊形的各邊是截平面與平面立體表面的交線，多邊形的頂點是截平面與平面立體各棱邊的交點。因此，求平面立體截交線的投影，關鍵是找到這些交點，然后作同面投影連線?！纠?-1】已知正六棱柱被正垂面所切割，如圖4-6（a）所示（詳見教材），補畫其左視圖?！痉治觥空庵徽姑媲懈顣r，正垂面與正六棱柱的六個側面相交，所以截交線是一個六邊形，六邊形的頂點為各棱邊與正垂面的交點。截交線在水平面的投影與棱柱的水平投影重合，在正面的投影積聚為一直線，在側面的投影是一個六邊形?！咀鲌D步驟】（1）畫出被切割前正六棱柱的左視圖，如圖4-6（b）所示（詳見教材）。（2）在主視圖和俯視圖上分別找出正垂面與六棱柱各棱邊的交點，并用相應數(shù)字或字母標注，然后根據(jù)點的兩面投影，找出這些交點在側面中的投影點1″、2″、3″、4″、5″、6″，最后用直線順次連接各交點，如圖4-6（c）所示（詳見教材）。（3）檢查左視圖并畫出遺漏的虛線，然后擦去被切去部分的投影線并加深圖線，結果如圖4-6（d）所示（詳見教材）。需要注意的是，正六棱柱最右側棱線的投影在左視圖中被截斷面擋住了，因此要用虛線畫出被擋住部分的投影。?【教師】播放“圖4-6二維動畫”和“圖4-6三維動畫”（詳見教材），幫助學生更直觀的理解正六棱柱被正垂面切割后左視圖的畫法【例4-2】已知圖4-7（a）所示（詳見教材）四棱錐被正垂面P截切，補畫被切割后四棱錐的截交線及其左視圖?！痉治觥坑蓤D4-7（a）可知，截平面P與四棱錐的四條棱邊都相交，所以截交線為四邊形，四邊形的四個頂點為各棱線與截平面P的交點（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）。截平面的正面投影具有積聚性，因此可直接求出各交點的正面投影，進而求得這些交點的水平投影和側面投影，最后依次連接這四個交點的同面投影即可?！咀鲌D步驟】（1）先畫出未切割前四棱錐的左視圖，然后在截平面具有積聚性的投影面上找出四棱錐各棱邊與截平面P的交點的投影，即1′、2′、3′、4′，如圖4-7（b）所示（詳見教材）。（2）利用直線上點的投影特性，求出各交點分別在水平面和側面上的投影，如圖4-7（c）所示（詳見教材）。（3）依次連接這四個交點的同面投影，擦去被截去部分的圖線，然后加深其余圖線即完成作圖，結果如圖4-7（d）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-7二維動畫”和“圖4-7三維動畫”（詳見教材），幫助學生更直觀的理解四棱錐截交線的畫法【例4-3】如圖4-8（a）所示（詳見教材），在四棱柱上方切割一個矩形通槽，試完成四棱柱矩形通槽的水平投影和側面投影。【分析】如圖4-8（b）所示（詳見教材），四棱柱上方的矩形通槽是由三個特殊位置平面切割而成的。槽底是水平面，其正面投影和側面投影均積聚成水平方向的直線，水平投影反映實形。兩側壁是側平面，其正面投影和水平投影均積聚成豎直方向的直線，側面投影反映實形且重合在一起?！咀鲌D步驟】（1）根據(jù)矩形通槽的主視圖，先在俯視圖中作出兩側壁的積聚投影；再按“高平齊、寬相等”的投影規(guī)律，作出通槽的側面投影，如圖4-8（c）所示（詳見教材）。（2）擦去作圖線，校核切割后的圖形輪廓，加深描粗，如圖4-8（d）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-8二維動畫”和“圖4-8三維動畫”（詳見教材），幫助學生更直觀的理解四棱柱開槽的畫法?【小貼士】教師補充知識點因四棱柱的最前、最后兩條側棱均在開槽部位被切去，故左視圖中的外形輪廓線在開槽部位向內“收縮”。其收縮程度與槽寬有關，槽越寬收縮越大。要注意區(qū)分槽底側面投影的可見性，即槽底的側面投影積聚成直線，中間一段不可見，應畫成虛線。2．回轉體截交線的畫法用平面切割回轉體時，截交線的形狀取決于被截回轉體的表面形狀，以及截平面與回轉體的相對位置。回轉體截交線一般是封閉的平面曲線，或平面曲線與直線段相連的平面圖形，特殊情況下也可能是平面多邊形。1）圓柱的截交線截平面與圓柱軸線的相對位置不同，圓柱的截交線的形狀也不同。當截平面平行于圓柱軸線時，截交線是矩形；當截平面垂直于圓柱軸線時，截交線是一個直徑等于圓柱直徑的圓周；當截平面傾斜于圓柱軸線時，截交線是橢圓，橢圓的大小隨截平面與圓柱軸線的傾斜角度不同而變化，但短軸與圓柱的直徑相等。具體可歸納為表4-2（詳見教材）。?【教師】提問：“分析如何求圓柱被切割后的投影？”，安排學生小組討論，并派代表回答問題?【學生】聆聽、分組、思考、討論、回答問題?【教師】總結學生的回答求圓柱被切割后的投影，主要是求截交線的投影。求截交線的投影時，應先根據(jù)截平面和圓柱軸線的位置關系，判斷截交線的形狀，然后利用在圓柱表面上取點的方法來作圖。取點時，應先取特殊位置點，再取一般位置點，最后順次連接各點即可。?【小貼士】教師補充知識點特殊位置點包括截交線上最高、最低、最前、最后、最左、最右的點，以及能決定截交線位置的點，如橢圓的長、短軸端點，轉向輪廓線上的點等?！纠?-4】如圖4-9（a）所示（詳見教材），求作帶切口圓柱的側面投影?！痉治觥咳鐖D4-9（a）所示（詳見教材），圓柱切口由水平面P和側平面Q切割而成。（1）由水平面P截切圓柱面所產(chǎn)生的交線是一段圓弧，其正面投影是一段水平線（積聚在p′上），水平投影是一段圓?。ㄅc圓柱的水平投影重合）。（2）截平面P與Q的交線是一條正垂線BD，其正面投影積聚成點b′（d′），水平投影bd重合于側平面Q的積聚投影q上。（3）由側平面Q截切圓柱面所產(chǎn)生的交線是兩段鉛垂線AB和CD（圓柱面上兩段素線）。它們的正面投影a′b′與c′d′重合在q′上，水平投影分別積聚為圓周上的點a（b）、點c（d）。側平面Q與圓柱上底面的交線是一條正垂線AC，其正面投影a′c′積聚成點，水平投影投影ac與bd重合，也在積聚投影q上?！咀鲌D步驟】（1）作出未切割前圓柱的左視圖，由p′向右引輔助線，從俯視圖上量取寬度定出b″、d″，如圖4-9（b）所示（詳見教材）。（2）由b″、d″分別向上作豎直線與頂面交于a″、c″，即得由側平面Q所產(chǎn)生的截交線AB、CD的側面投影a″b″、c″d″，如圖4-9（c）所示（詳見教材）。（3）連接各點，擦掉多余圖線，加深描粗，即得出圓柱切口的側面投影，如圖4-9（d）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-9二維動畫”和“圖4-9三維動畫”（詳見教材），幫助學生更直觀的理解帶切口圓柱側面投影的畫法，然后提出問題：“如果擴大切割圓柱的范圍，使水平面P切過圓柱的軸線，會得到什么樣的側面投影？”，隨機抽取學生回答問題?【學生】聆聽、思考、回答問題?【教師】總結學生的回答，展示圖4-10（詳見教材），公布正確答案因為水平面P已切過圓柱軸線，所以圓柱面的最前和最后部分的輪廓已被切去。?【教師】繼續(xù)提問：“切割位置不同會引起側面投影的什么變化？”，安排學生分組討論并派代表回答問題?【學生】聆聽、分組、思考、討論、回答問題?【教師】播放“圖4-10動畫”的視頻（詳見教材），總結學生的回答由于切割位置不同，側面的投影不同，會形成的不同形狀的側面投影?！纠?-5】如圖4-11（a）所示，已知圓柱被切口開槽，求作圓柱切口開槽的三視圖?！痉治觥咳鐖D4-11（b）所示，開槽部分的側壁由兩個側平面截切而成，槽底由一個水平面截切而成，圓柱面上的截交線分別位于被切出的各個平面上。由于這些平面均為投影面平行面，其投影具有積聚性或真實性，因此截交線的投影應依附于這些面的投影，不用另行求出?！咀鲌D步驟】（1）根據(jù)開槽圓柱的主視圖，先在俯視圖中作出兩側壁的積聚投影；再按“高平齊、寬相等”的投影規(guī)律，作出通槽的側面投影，如圖4-11（c）所示（詳見教材）。（2）擦去作圖線，校核切割后的圖形輪廓，加深描粗，如圖4-11（d）所示（詳見教材）。注意槽底在左視圖的投影不可見，應用虛線表示。?【教師】播放“圖4-11二維動畫”和“圖4-11三維動畫”（詳見教材）的視頻，幫助學生更直觀的理解圓柱切口開槽的畫法【例4-6】如圖4-12（a）所示（詳見教材），已知圓柱被正垂面P所截，求作該切割體的三視圖?！痉治觥坑捎谡姑鍼與圓柱軸線傾斜，故截交線是橢圓。橢圓在主視圖中積聚為一直線，在俯視圖中與圓柱的水平投影圓重合，在左視圖中為橢圓的類似形?！咀鲌D步驟】（1）繪制圓柱的三視圖。根據(jù)圓柱的投影規(guī)律，先畫出未切割前圓柱的三視圖，然后畫主視圖中的截交線（一條斜線段），如圖4-12（b）所示（詳見教材）。（2）求特殊位置點的投影。分別取橢圓長軸的兩個端點Ⅰ、Ⅲ和短軸的兩個端點Ⅱ、Ⅳ。其中，點Ⅰ是截交線上的最低點和最左點；點Ⅲ是截交線上的最高點和最右點；點Ⅱ是截交線上的最前點；點Ⅳ是截交線上的最后點。由于這些點都是轉向輪廓線上的點，可利用積聚性先在主視圖中標出這些點，然后求出其在左視圖中的投影1″、2″、3″、4″。（3）求適當數(shù)量的一般位置點的投影。為了使左視圖中的曲線更加精確，可在截交線上取適量的一些點，如俯視圖中的點5、6、7、8（可在投影為圓的投影圖上取8等分點或12等分點），然后求出這些點在主視圖中的投影5′、6′、7′、8′，最后求出其在左視圖中的投影5″、6″、7″、8″，如圖4-12（b）所示（詳見教材）。（4）用光滑的曲線順次連接左視圖中的各投影點，擦掉多余輔助線，最后加深圖線，即可得到圓柱被斜截后的投影圖，如圖4-12（c）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-12二維動畫”和“圖4-13三維動畫”（詳見教材）的視頻，幫助學生更直觀的理解圓柱被正垂面斜截的三視圖畫法2）圓錐的截交線圓錐被平面切割時，錐面的截交線可分為如表4-3所示（詳見教材）的5種情況。?【教師】展示“圖4-13”（詳見教材），并播放“圖4-13動畫”（詳見教材）的視頻，詳細講解例4-7的相關知識點【例4-7】如圖4-13所示，已知圓錐被正平面P所截，補畫其正面投影?！痉治觥坑捎诮仄矫鏋檎矫?，且與圓錐的軸線平行，因此截交線為雙曲線，其水平投影和側面投影分別積聚為線段，只需要求出其正面投影即可。【作圖步驟】（1）根據(jù)投影關系，用細實線畫出未切割前圓錐的正面投影，如圖4-14（a）所示（詳見教材）。（2）求特殊位置點。點C為截交線上的最高點，在最前素線上，因此可由點c″直接作出點c和點c′；點A和點B為最低點，其水平投影a、b和側面投影a″、b″可在俯視圖和左視圖中直接找到，根據(jù)投影關系可在主視圖上找到點a′和點b′，如圖4-14（a）所示（詳見教材）。（3）求一般位置點。為了使雙曲線更加精確，可利用輔助圓法求得一系列一般位置點。在正面投影c′與a′、b′之間畫一條與圓錐軸線垂直的水平線（即平面M在正平面上的投影），該水平線與圓錐最左、最右素線正面投影的交點為3′、4′，以3′4′為直徑，在水平投影中畫一圓，它與截交線的積聚投影（直線）相交于點1和點2，由此可得到1′、2′及1″、2″，如圖4-14（a）所示（詳見教材）。（4）用光滑曲線依次連接點a′、點1′、點c′、點2′、點b′，然后擦去多余輔助線并加深其余圖線，結果如圖4-14（b）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-14動畫”（詳見教材）的視頻，幫助學生更直觀的理解圓錐被正平面所截的過程及其被截后三視圖的畫法【例4-8】如圖4-15（a）所示（詳見教材），圓錐被傾斜于軸線的平面截切，試補全被截圓錐的水平投影和側面投影?！痉治觥咳鐖D4-15（b）所示（詳見教材），截交線上任一點M，可看成是圓錐表面某一素線與截平面的交點。因點M在素線上，故點M的三面投影分別在該素線的同面投影上。由于截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚為一直線，故需要求作截交線的水平投影和側面投影?！咀鲌D步驟】（1）根據(jù)投影關系，用細實線畫出未切割前圓錐的投影，如圖4-15（c）所示（詳見教材）。（2）求特殊位置點。點C為最高點，在最右素線上，根據(jù)點c′，可作出點c及點c″；點A為最低點，在最左素線上，根據(jù)點a′可作出點a及點a″；點B、點D為前后對稱點，在最前、最后素線上，根據(jù)點b′（d′），可作出點b″、點d″，進而求出點b、點d，如圖4-15（c）所示（詳見教材）。（3）利用輔助線法求一般位置點。過錐頂作輔助線s′1′（2′）與截交線的正面投影相交，得點m′（n′），求出輔助線的其余兩投影s1、s″1″以及s2、s″2″，進而作出點m、點m″和點n、點n″，如圖4-15（d）所示（詳見教材）。（4）連點成線。去掉多余圖線，將各點依次連成光滑的曲線，即為截交線的投影，如圖4-15（e）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-15動畫”（詳見教材）的視頻，幫助學生更直觀的理解如何用輔助線法求圓錐的截交線3）圓球的截交線?【教師】提問：“思考圓球被平面切割后，它截面的形狀是什么樣的？”，隨機抽取學生回答問題?【學生】聆聽、思考、回答問題?【教師】總結學生答案，引出圓球截交線的繪制方法圓球被平面切割，不論截平面處于什么位置，空間交線總為圓。當圓球被投影面平行面切割時，截斷面在與其平行的投影面上的投影為圓，在其他兩個投影面上的投影為直線；當截平面與投影面傾斜時，其投影為橢圓，如表4-4所示（詳見教材）。繪制被截圓球的三面投影時，應先分析截平面與投影面的位置關系，確定截交線的形狀，然后根據(jù)投影規(guī)律進行繪制。【例4-9】已知半圓球切槽的立體圖如圖4-16（a）所示（詳見教材），求其三面投影?！痉治觥堪雸A球被兩個對稱的側平面P和一個水平面Q所截切，兩個側平面P與球面的截交線各為一段平行于側面的圓弧，水平面Q與球面的截交線為兩段水平圓弧?！咀鲌D步驟】（1）在主視圖中作切槽的投影。先畫出完整半圓球的三視圖，然后根據(jù)槽口的寬度和深度在主視圖中畫出切槽的投影（切槽由兩個側平面和一個水平面組成，因此在主視圖中均積聚為直線），如圖4-16（b）所示（詳見教材）。（2）在左視圖上作切槽的投影。切槽的兩個側平面P與球面的交線在左視圖上的投影為圓弧，其半徑為；切槽底面在左視圖上積聚為直線，中間部分不可見，故畫成虛線，如圖4-16（b）所示（詳見教材）。（3）在俯視圖上作切槽的投影。切槽的兩個側平面P在俯視圖中的投影積聚為兩段直線，水平面Q在俯視圖中的投影為兩段半徑相等且對稱的圓弧，其圓弧半徑為，作圖方法如圖4-16（b）所示（詳見教材）。（4）擦去多余圖線并加深其余圖線，結果圖4-16（c）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-16二維動畫”和“圖4-16三維動畫”（詳見教材）的視頻，幫助學生更直觀的理解半圓球切槽的三面投影繪制方法【例4-10】如圖4-17（a）所示（詳見教材），完成球被正垂面截切后的俯視圖?！痉治觥繄A球被正垂面截切，截交線為圓且在正面積聚為直線，在水平面為橢圓?！咀鲌D步驟】（1）先求特殊點。俯視圖為橢圓，先找出橢圓軸徑上的四個點的投影1、2、3、4，如圖4-17（b）所示（詳見教材）。（2）確定截交線與轉向輪廓線的交點。截交線與轉向輪廓線的交點在主視圖中為截交線與水平軸線的交點5′（6′），其俯視圖中的投影落在大圓上，如圖4-17（c）所示（詳見教材）。（3）依次光滑連接各點的水平投影，擦去多余圖線并加深其余圖線，結果圖4-17（d）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-17動畫”（詳見教材）的視頻，幫助學生更直觀的理解球被正垂面截切后俯視圖的畫法，并布置課堂任務“嘗試在俯視圖的基礎上，補畫左視圖”，安排學生分組討論，派代表展示繪制結果?【學生】聆聽、分組、思考、繪制、展示結果?【教師】分析學生的繪制情況【例4-11】如圖4-18所示（詳見教材），繪制頂尖的三視圖?！痉治觥宽敿忸^部由同軸（側垂線）的圓錐和圓柱被水平面P和正垂面Q切割而成。平面P與圓錐面的交線為雙曲線，與圓柱面的交線為兩條側垂線（AB、CD）。平面Q與圓柱面的交線為橢圓弧，水平面P與正垂面Q的交線BD為正垂線。由于水平面P和正垂面Q的正面投影，以及水平面P和圓柱面的側面投影都有積聚性，因此只要作出截交線以及水平面P和正垂面Q交線的水平投影即可?！咀鲌D步驟】（1）作出同軸回轉體完整的三視圖，在主視圖上作出水平面P、正垂面Q有積聚性的正面投影和側面投影，如圖4-19（a）所示（詳見教材）。（2）參照如圖4-19（b）所示的方法作出水平面P與圓錐面的交線（雙曲線）。按投影關系作出水平面P與圓柱的交線AB、CD的水平投影ab、cd，以及水平面P與正垂面Q交線BD的水平投影bd，如圖4-19（b）所示（詳見教材）。（3）正垂面Q與圓柱面的交線（橢圓?。┑恼嫱队胺e聚為直線，側面投影積聚為圓。由點e′做出點e和點e″，在橢圓弧正面投影的適當位置定出點f′（g′），直接作出側面投影f″、g″，再由點f″、點g″和點f′（g′）作出點f、點g。依次連接點b、點f、點e、點g、點d，可得到正垂面Q與圓柱面交線的水平投影，如圖4-19（c）所示（詳見教材）。（4）擦去多余圖線并加深其余圖線，注意不要漏掉虛線，結果如圖4-19（d）所示（詳見教材）。?【教師】播放“圖4-18動畫”和“圖4-19動畫”（詳見教材）的視頻，幫助學生更直觀的理解頂尖的三視圖繪制方法【學生】聆聽、記錄、理解運用多媒體課件，結合問題引導、案例分析、分組討論等方式幫助學生了解截交線的投影原理與作圖方法，采用例題分析的方式幫助學生更加明確平面立體和回轉體截交線的畫法，最后通過實踐練習，加強學生對立體圖形分析的能力，提升學生的學習