2021-2022學(xué)年河南省中原聯(lián)盟高二下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

20212022學(xué)年河南省中原聯(lián)盟高二下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．在下列函數(shù)中，從到的平均變化率為定值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依次計算各個選項中的平均變化率即可.【詳解】對于A，平均變化率，A正確；對于B，平均變化率，不是定值，B錯誤；對于C，平均變化率，不是定值，C錯誤；對于D，平均變化率，不是定值，D錯誤.故選：A.2．一質(zhì)點在單位圓上作勻速圓周運動，其位移滿足的方程為，其中h表示位移（單位：m），t表示時間（單位：s），則質(zhì)點在時的瞬時速度為（

）A．sin2m/s B．cos2m/s C．2sin2m/s D．2cos2m/s【答案】D【分析】求出可求質(zhì)點在時的瞬時速度，從而可得正確的選項.【詳解】因為，所以，所以質(zhì)點在時的瞬時速度為2cos2m/s．故選：D.3．給出如下“三段論”的推理過程：“因為指數(shù)函數(shù)（，且）是增函數(shù)（大前提），而是指數(shù)函數(shù)（小前提），所以是增函數(shù)（結(jié)論）．”下列說法正確的是（

）A．大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤B．小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤C．推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤D．大前提和小前提都錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤【答案】A【分析】根據(jù)三段論以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的知識確定正確選項.【詳解】（，且）是增函數(shù)這個大前提是錯誤的．故選：A4．對于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：①當(dāng)時，，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，．故當(dāng)時，不等式成立．則下列說法正確的是（

）A．過程全部正確 B．當(dāng)時的驗證不正確C．當(dāng)時的歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明基本過程判斷即可.【詳解】在證明當(dāng)時的結(jié)論中，沒有應(yīng)用時的假設(shè)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過程可知：從到的推理不正確．故選：D.5．已知，，若，則P，Q的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．由x的取值確定【答案】C【分析】先根據(jù)特殊值判斷出，然后結(jié)合分析法，通過平方的方法確定正確選項.【詳解】取，則，，此時．要證，只要證，只要證，只要證，只要證，只要證，只要證．顯然成立，所以成立．故選：C6．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則，，（

）A．都不大于6 B．都不小于6C．至多有一個不大于6 D．至少有一個不小于6【答案】D【分析】結(jié)合基本不等式判斷出正確選項.【詳解】因為①，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.如果，，都小于，則不符合①，所以，，至少有一個不小于6．故選：D7．已知點P為正四面體ABCD內(nèi)任意的一點，且P到該正四面體四個面的距離分別為，，，，正四面體ABCD的高為h，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拆分成的四個小四面體的體積和等于正四面體的體積，利用體積計算公式，求得高即可判斷和選擇.【詳解】由點P是正四面體ABCD內(nèi)任意的一點，連接PA，PB，PC，PD，可得到四個小四面體，設(shè)正四面體ABCD每個面的面積為S，由，可以得到．故選：.8．對于函數(shù)圖象上的任意一點，都存在另外一點，使得函數(shù)的圖象在這兩個不同點處的切線互相平行，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將問題等價于對于導(dǎo)函數(shù)值域中任意的值，至少有兩個不同的解，令，結(jié)合二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)可確定的解的個數(shù)，由此可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)具有性質(zhì)，等價于對于導(dǎo)函數(shù)值域中任意的值，至少有兩個不同的解．令，對于A，，當(dāng)，即時，有唯一解，不合題意，A錯誤；對于B，，令，解得：，即有唯一解，不合題意，B錯誤；對于C，，當(dāng)時，令，即有無數(shù)個解，符合題意，C正確；對于D，，當(dāng)時，令，解得：，即有唯一解，不合題意，D錯誤.故選；C.9．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若方程存在兩個不同的實根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可求得；令，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，由方程有兩個不同實根可知，解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，；令，是圖象關(guān)于對稱的，開口方向向上的二次函數(shù)，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時，方程有兩個不同的實根，由得：，即的取值范圍為.故選：B.10．觀察下面（a），（b），（c），（d）四個平面圖形，找出每一個平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的關(guān)系，比如圖形（d）的頂點數(shù)為10，邊數(shù)為15，區(qū)域數(shù)為6．若某個平面圖形有2021個頂點，且圍成了2022個區(qū)域，則這個平面圖形的邊數(shù)為（

）A．4043 B．4042 C．2023 D．2022【答案】B【分析】利用條件可得頂點數(shù)＋區(qū)域數(shù)－邊數(shù)＝1，即得.【詳解】由題意可得下表：頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)（a）463（b）8125（c）694（d）10156由圖表，我們可以推斷，任何平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間，都有如下關(guān)系：頂點數(shù)＋區(qū)域數(shù)－邊數(shù)＝1．則所求邊數(shù)＝頂點數(shù)＋區(qū)域數(shù)－1＝2021＋2022－1＝4042．故選：B.11．已知奇函數(shù)的定義域為R，其函數(shù)圖象連續(xù)不斷，當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可知其在上單調(diào)遞增，由可知AB錯誤，同時得到，，，結(jié)合奇偶性知C錯誤，D正確.【詳解】對于AB，令，則，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，即，，，AB錯誤；對于C，由A的推理過程知：當(dāng)時，，則當(dāng)時，，，，又為奇函數(shù)，，，C錯誤．對于D，由A的推理過程知：，又，，，則，D正確．故選：D.12．已知無窮項實數(shù)列滿足，且，則（

）A．存在，使得 B．存在，使得C．存在，使得 D．至多有2047個不同的t，使得【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對于A，當(dāng)時，，猜想．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：若，則．當(dāng)時，符合，假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，，故當(dāng)時，結(jié)論成立．由數(shù)學(xué)歸納法可得．當(dāng)時，，所以為遞增數(shù)列，則不成立，故A錯誤．對于B，當(dāng)時，，，猜想當(dāng)時，．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)且時，．當(dāng)時，符合，假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，，故當(dāng)時，結(jié)論成立．由數(shù)學(xué)歸納法可知當(dāng)時，．故當(dāng)時，，且，故為遞增數(shù)列，由，可得．設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以，故方程無解，即也無解，故B錯誤．對于C，當(dāng)時，，，，，…，，即有，故C正確．對于D，當(dāng)時，由A選項推理過程知為遞增數(shù)列，不存在t，使得成立．當(dāng)時，由B選項推理過程知為遞增數(shù)列，不存在t，使得成立．當(dāng)時，令，，由數(shù)學(xué)歸納法可得，又因為，則，所以或，即或，所以有或，或，即或，所以有個不同的t使得，故D錯誤．故選：.【點睛】本題考察數(shù)列的性質(zhì)，涉及數(shù)學(xué)歸納法，三角換元，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性，屬綜合困難題.二、填空題13．若點M（1，1）在曲線上，則曲線在點M處的切線方程是______．【答案】【分析】將點的坐標(biāo)代入方程，求得，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：因為點M（1，1）在曲線上，所以，得，所以，，當(dāng)時，，所以曲線在點M處的切線方程是，即．故答案為：．14．已知函數(shù)，則函數(shù)的極小值為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，根據(jù)極小值定義可知所求極小值為.【詳解】，令，解得：，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值為.故答案為：.15．英國數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)聞名于世．由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，，，其拉格朗日余項是．可以看出，e的表達式右邊的項用得越多，計算得到的e的近似值也就越精確．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項，且不超過時，則正整數(shù)n的最小值是______．【答案】5【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于的不等式，結(jié)合階乘的運算，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，可得，即．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以n的最小值是5．故答案為：.16．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是______．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負(fù)得單調(diào)性，由可求得的范圍.【詳解】，在上單調(diào)遞增，在上恒成立；令，則；①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，解得：，；②當(dāng)時，令，解得：，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，解得：；綜上所述：的取值范圍為.三、解答題17．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)，.【分析】（1）根據(jù)可構(gòu)造方程組求得，進而得到，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)單調(diào)性可確定，，由此可求得最值.【詳解】(1)，在處取得極值，，，解得：，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)由（1）知：，，又，，.18．已知函數(shù)的定義域為R，對于任意的x，都有，且．(1)求．(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用賦值法即得；（2）由題可得，進而可得，即得.【詳解】(1)在中，令，可得，因為，所以．(2)在中，令，得，因為，所以，即，由于y的任意性，則．19．已知數(shù)列滿足，，.(1)求的通項公式.(2)證明.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，利用累加法求解；（2）由，利用裂項相消法求解.【詳解】(1)解：由，得，，…，，由累加法得，所以，又滿足，又因為，所以.(2)因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，成立，所以.20．已知a，，證明：，，這三個數(shù)中至少有一個大于或等于．【答案】證明見解析.【分析】利用反證法即得.【詳解】假設(shè)，，，則①，②，③，由①＋③得，所以，這與②式矛盾，所以假設(shè)錯誤，從而結(jié)論成立．21．已知函數(shù)．(1)若的圖象與x軸相切于原點，求的零點個數(shù)；(2)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．【答案】(1)兩個(2)【分析】(1)根據(jù)求導(dǎo)公式和運算法則求出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，求出a，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出，結(jié)合函數(shù)零點的存在性定理即可得出結(jié)果；(2)由(1)可知在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為R，．因為的圖象與x軸相切于原點，所以，即，故，此時，令，解得，．x－1（－1，0）000極小值極大值而，，則，所以在內(nèi)有一個零點，又，所以此時有兩個零點．(2)由（1）知，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立．又，所以恒成立．所以．當(dāng)時，，所以，即a的取值范圍為．22．已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）恒成立，等價于恒成立，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出答案；（2），即為函數(shù)的兩個零點，即為方程的兩個根，由（1）知，且，則要證，只需證，即證，令，則要證，令，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】(1)解：因為函數(shù)的定義域為，所以恒成立，等價于恒成立，所以，令