行列式的計算技巧與方法總結

PAGE11．行列式的概念及性質1.1n階行列式的定義我們知道，二、三階行列式的定義如下：=，從二、三階行列式的內在規(guī)律引出n階行列式的定義．設有個數(shù)，排成行列的數(shù)表，即n階行列式．這個行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積⑴的代數(shù)和，這里是的一個排列,每一項⑴都按下列規(guī)則帶有符號：當是偶排列時,⑴帶正號；當是奇排列時,⑴帶負號．即=，這里表示對所有級排列求和.1.2行列式的性質性質1行列互換，行列式不變．即.性質2一個數(shù)乘行列式的一行（或列），等于用這個數(shù)乘此行列式．即k.性質3如果行列式的某一行（或列）是兩組數(shù)的和，那么該行列式就等于兩個行列式的和，且這兩個行列式除去該行（或列）以外的各行（或列）全與原來行列式的對應的行（或列）一樣．即性質4如果行列式中有兩行（或列）對應元素相同或成比例，那么行列式為零．即=0.性質5把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變．即.性質6對換行列式中兩行的位置，行列式反號.即=-.性質7行列式一行（或列）元素全為零，則行列式為零．即.2、行列式的幾種常見計算技巧和方法2.1定義法適用于任何類型行列式的計算，但當階數(shù)較多、數(shù)字較大時，計算量大，有一定的局限性．例1計算行列式.解析：這是一個四級行列式，在展開式中應該有項，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不等于零的項數(shù)就大大減少．具體的說，展開式中的項的一般形式是．顯然，如果，那么，從而這個項就等于零．因此只須考慮的項，同理只須考慮的這些項，這就是說，行列式中不為零的項只有，而，所以此項取正號．故=.2.2利用行列式的性質即把已知行列式通過行列式的性質化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式．2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分別如下：，.例2計算行列式.解析：觀察行列式的特點，主對角線下方的元素與第一行元素對應相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主對角線下方的元素全部變?yōu)榱悖矗夯癁樯先切危猓簩⒃撔辛惺降谝恍械谋斗謩e加到第2,3…（）行上去，可得.2.2.2連加法這類行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使該行（或列）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式的計算．這類計算行列式的方法稱為連加法．例3計算行列式.解：.2.2.3滾動消去法當行列式每兩行的值比較接近時，可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍，這種方法叫滾動消去法．例4計算行列式.解：從最后一行開始每行減去上一行，有.2.2.4逐行相加減對于有些行列式，雖然前行的和全相同，但卻為零．用連加法明顯不行，這是我們可以嘗試用逐行相加減的方法．例5計算行列式.解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得：.2.3降階法將高階行列式化為低階行列式再求解．2.3.1按某一行（或列）展開例6解行列式.解：按最后一行展開，得.2.3.2按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設在行列式D中任意選定了個行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.即，其中是子式對應的代數(shù)余子式．即，.例7解行列式.解：從第三行開始，每行都減去上一行；再從第三列開始，每列都加到第二列，得.2.4升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質化簡算出結果，這種計算行列式的方法叫做升階法或加邊法．升階法的最大特點就是要找每行或每列相同的因子,那么升階之后，就可以利用行列式的性質把絕大多數(shù)元素化為0，這樣就達到簡化計算的效果．其中，添加行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8解行列式D=.解：使行列式D變成階行列式，即.再將第一行的倍加到其他各行，得：D=.從第二列開始，每列乘以加到第一列，得：.2.5數(shù)學歸納法有些行列式，可通過計算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出假設，再利用數(shù)學歸納法去證明．對于高階行列式的證明問題，數(shù)學歸納法是常用的方法．例9計算行列式.解:用數(shù)學歸納法證明.當時，.當時，.猜想，.由上可知，當，時，結論成立．假設當時，結論成立．即：.現(xiàn)證當時，結論也成立．當時，.將按最后一行展開，得.因為，，所以.這就證明了當時也成立，從而由數(shù)學歸納法可知，對一切的自然數(shù)，結論都成立．即：.2.6遞推法技巧分析：若階行列式滿足關系式.則作特征方程.若，則特征方程有兩個不等根，則．若，則特征方程有重根，則．在①②中，A，B均為待定系數(shù)，可令求出．例10計算行列式.解：按第一列展開，得.即．作特征方程.解得.則.當時，；當時，.解得，所以.3、行列式的幾種特殊計算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及計算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個或若干個行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項之和，可直接利用性質拆項；二是所給行列式中行（列）沒有兩項之和，這時需保持行列式之值不變，使其化為兩項和．3.1.2例題解析例11計算行列式.解：把第一列的元素看成兩項的和進行拆列，得上面第一個行列式的值為1，所以.這個式子在對于任何都成立，因此有.3.2構造法3.2.1概念及計算方法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時可同時構造一個容易求解的行列式，從而求出原行列式的值．3.2.2例題解析例12求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構造階的范德蒙德行列式來間接求出的值．構造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結果知.由上式可求得的系數(shù)為.故有.3.3特征值法3.3.1概念及計算方法設是級矩陣的全部特征值，則有公式.故只要能求出矩陣的全部特征值，那么就可以計算出的行列式．3.3.2例題解析例13若是級矩陣的全部特征值，證明：可逆當且僅當它的特征值全不為零．證明：因為，則可逆.即可逆當且僅當它的特征值全不為零．4、幾類特殊的行列式的巧妙計算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形如，這樣的行列式，形狀像個三角形，故稱為“三角形”行列式．4.1.2計算方法由行列式的定義可知，,.4.2“爪”字型行列式4.2.1概念形如，，，這樣的行列式，形狀像個“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺剑?.2.2計算方法利用對角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可歸納為：“爪”字對角消豎橫．4.2.3例題解析例14計算行列式，其中分析：這是一個典型的“爪”字型行列式，計算時可將行列式的第列元素乘以后都加到第一列上，原行列式可化為三角形行列式．解:.4.3“么”字型行列式4.3.1概念形如，，，，，，，這樣的行列式，形狀像個“么”字，因此常稱它們?yōu)椤懊础弊中托辛惺剑?.3.2計算方法利用“么”字的一個撇消去另一個撇，就可以把行列式化為三角形行列式．此方法可以歸納為：“么”字兩撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用消去，然后再用消去，依次類推．4.3.3例題解析例15計算階行列式.解：從最后一行開始后一行加到前一行（即消去第一撇），得.4.4“兩線”型行列式4.4.1概念形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式．4.4.2計算方法對于這樣的行列式，可通過直接展開法求解．4.4.3例題解析例16求行列式.解：按第一列展開，得.4.5“三對角”型行列式4.5.1概念形如這樣的行列式，叫做“三對角型”行列式．4.5.2計算方法對于這樣的行列式，可直接展開得到兩項遞推關系式，然后變形進行兩次遞推或利用數(shù)學歸納法證明．4.5.3例題解析例17求行列式.解：按第一列展開，得.變形，得.由于，從而利用上述遞推公式得.故.4.6Vandermonde行列式4.6.1概念形如這樣的行列式，成為級的范德蒙德行列式．4.6.2計算方法通過數(shù)學歸納法證明，可得.4.6.3例題解析例18求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構造階的范德蒙德行列式來間接求出的值．構造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結果知.由上式可求得的系數(shù)為,故有.5、行列式的計算方法的綜合運用有些行列式如果只使用一種計算方法不易計算，這時就需要結合多種計算方法，使計算簡便易行．下面就列舉幾種行列式計算方法的綜合應用．5.1降階法和遞推法例19計算行列式.分析：乍一看該行列式，并沒有什么規(guī)律．但仔細觀察便會發(fā)現(xiàn)，按第一行展開便可得到階的形式．解：將行列式按第一行展開，得.即.∴.∴.5.2逐