第4章：理賠額和理賠次數(shù)的分布

第4章

理賠額和理賠次數(shù)的分布

【考試內(nèi)容】

4.1

損失額分布理賠額與損失額常見(jiàn)的損失額分布

4.2

理賠額分布帶有免賠額的理賠額分布帶有保單限額的理賠額分布帶有免賠額，保單限額和比例賠償?shù)睦碣r額分布通貨膨脹對(duì)理賠額分布的影響

4.3

理賠次數(shù)的分布單個(gè)保單的理賠次數(shù)分布（a，b，0）分布類和（a，b，1）分布類保單組合的理賠次數(shù)分布相關(guān)性保單組合的理賠次數(shù)分布免賠額對(duì)理賠次數(shù)的影響

【要點(diǎn)詳解】

§4.1

損失額分布

1．理賠額與損失額（1）相關(guān)概念：損失額：是指承保標(biāo)的發(fā)生實(shí)際損失金額的大小。

理賠額：是指保險(xiǎn)公司按照保單條款所實(shí)際支付的金額，也可稱為“賠付額”。

理賠額通常小于實(shí)際損失額。

（2）理賠類型：

①完全理賠，其理賠額就是保險(xiǎn)事故的實(shí)際損失額。

②部分理賠，其理賠額可能會(huì)低于實(shí)際損失額。部分理賠涉及的基本概念如下：

?免賠額：是指保單規(guī)定的最低起賠額，當(dāng)損失額低于這一額度時(shí)，保險(xiǎn)公司不賠償，保險(xiǎn)公司只賠償高出的部分。

?保單限額：是指保單約定的最高賠償金額。當(dāng)損失金額超過(guò)保單限額時(shí)，被保險(xiǎn)人將只獲得最高賠償額，超出部分由被保險(xiǎn)人承擔(dān)。

?比例賠付：是指在保單中約定一個(gè)比例常數(shù)k，0<k<1，當(dāng)保險(xiǎn)事故的實(shí)際損失額為X時(shí)，保險(xiǎn)公司支付賠償金額kX，剩余的損失額(1-k)X由被保險(xiǎn)人自己承擔(dān)。當(dāng)保單中同時(shí)設(shè)有免賠額d、保單限額D和賠付比例k時(shí)，被保險(xiǎn)人最終得到的理賠額最高為k(D-d)。

【例題4.1】已知某險(xiǎn)種的實(shí)際損失額X的分布函數(shù)為：

FX（x）=1－0.8e-0.02x－0.2e-0.001x，x≥0若保單規(guī)定：損失額低于1000元就全部賠償，若損失額高于1000元?jiǎng)t只賠償1000元。則被保險(xiǎn)人所獲得的實(shí)際賠付額期望為（）。

A．40.0

B．126.4

C．166.4

D．206.8

E．246.8

【答案】C

【解析】解法①：記Y為實(shí)際賠付額隨機(jī)變量，則

所以

解法②：fX（x）=0.016e-0.02x+0.0002e-0.001x由題意得保單限額l為1000，則保險(xiǎn)人所獲得的實(shí)際賠付額期望為：

2．常見(jiàn)的損失額分布（1）單個(gè)保單損失額的分布特征

①損失額是非負(fù)的，因此P(X≥0)=1；

②損失額應(yīng)該是連續(xù)變化的，因此f(x)是連續(xù)的；

③損失額較小的保險(xiǎn)事故發(fā)生的可能性較大，而損失額較大的保險(xiǎn)事故發(fā)生的可能性較小，但不可以忽略。直觀看來(lái)，損失額概率密度函數(shù)的尾部較厚。

（2）矩母函數(shù)及其性質(zhì)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(X)，其矩母函數(shù)為

矩母函數(shù)的性質(zhì)為：

①在|t|<r內(nèi)，X的分布函數(shù)由矩母函數(shù)唯一確定，比如有兩個(gè)分布函數(shù)F1(X)和F2(X)，若它們對(duì)應(yīng)的矩母函數(shù)相同，則有F1(X)=F2(X)；

②X的k（k=1，2，…）階原點(diǎn)矩為，則有矩母函數(shù)可做Taylor展開(kāi)

③若X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，S=X1+X2+…+Xn，則S的矩母函數(shù)為

④若Y=aX+b，a，b為常數(shù)，則隨機(jī)變量Y的矩母函數(shù)為

【例題4.2】隨機(jī)變量U的矩母函數(shù)為MU（t）=（1－2t）-9，t<0.5，則U的方差為（）。

A．33

B．34

C．35

D．36

E．37

【答案】D

【解析】解法①：由已知條件得：

E（U）=M

′U

（t）｜t=0=18（1－2t）-10｜t=0=18

E（U2）=

（t）｜t=0=360（1－2t）-11｜t=0=360故Var（U）=E（U2）－E2（U）=360－182=36。解法②：由隨機(jī)變量U的矩母函數(shù)可知，U服從分布，所以

E（U）=9×2=18，Var（U）=9×22=36

（3）常見(jiàn)的損失額分布及其矩母函數(shù)

①正態(tài)分布

?密度函數(shù)為

?矩母函數(shù)為

?顯然，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布隨機(jī)變量的矩母函數(shù)為

②指數(shù)分布

?密度函數(shù)為

?矩母函數(shù)為

③伽馬分布

?密度函數(shù)為其中，

?矩母函數(shù)為

④帕累托分布

?密度函數(shù)為

?它的矩母函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)單表達(dá)式，其k階原點(diǎn)矩為

⑤對(duì)數(shù)正態(tài)分布

?密度函數(shù)為

?它的矩母函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)單表達(dá)式，其k階原點(diǎn)矩為

⑥韋伯分布

?密度函數(shù)為

?它的矩母函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)單表達(dá)式，其k階原點(diǎn)矩為

§4.2

理賠額分布

1．帶有免賠額的理賠額分布記X為保險(xiǎn)事故造成的損失額，其分布函數(shù)為；Y為保險(xiǎn)公司根據(jù)條款約定對(duì)保單支付的理賠額，其分布函數(shù)為。

左截?cái)啵杭僭O(shè)保單規(guī)定了免賠額d，理賠額Y可以看做對(duì)損失額X的截?cái)啵?/p>

Y=（X-d）︱(X>d)

則可得Y的分布函數(shù)，當(dāng)y>0時(shí)，因此Y的密度函數(shù)為

【例題4.3】某醫(yī)療保險(xiǎn)保單的免賠額為100元，其每次實(shí)際損失額X的分布如下表所示。則平均理賠額為（）。

A．30

B．100

C．150

D．200

E．250

【答案】D

【解析】令，并且

,,則，所以理賠額的期望為：

2．帶有保單限額的理賠額分布（1）右刪失

l為保單限額，若規(guī)定了保單限額為l，有：（2）有限期望函數(shù)設(shè)X是隨機(jī)變量，給定實(shí)數(shù)l，有限期望函數(shù)定義為：其中X∧l含義為X與l中最小值。

對(duì)于非負(fù)隨機(jī)變量X，顯然，當(dāng)d趨于無(wú)窮時(shí)，。（3）剩余期望函數(shù)設(shè)X是隨機(jī)變量，給定實(shí)數(shù)d，剩余期望函數(shù)定義為：

3．帶有免賠額，保單限額和比例賠償?shù)睦碣r額分布設(shè)X表示實(shí)際損失額，分布函數(shù)為F(X)。若保單規(guī)定了免賠額為d，保單限額為1以及賠付比例為，則平均理賠額為：

【例題4.4】一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)的損失額服從均值為3的泊松分布。一份保單為這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)提供保險(xiǎn)保障，約定免賠額為2；另一份保單的賠付比例為α。假設(shè)這兩份保單的平均成本相同，則α為（

）。

A．0.22

B.0.32

C．0.42

D．0.52

E．0.72

【答案】B

【解析】設(shè)X是損失額，X~P（3）。第一份保單的理賠額第二份保單的理賠額X2=αX。則這兩份保單的平均成本分別為由題意知：，可得α=0.42。

4．通貨膨脹對(duì)理賠額分布的影響（1）通脹率是確定的實(shí)數(shù)

①設(shè)X表示某險(xiǎn)種今年的每次實(shí)際損失額，分布函數(shù)為FX(x)，預(yù)計(jì)通脹率為r，Z為該險(xiǎn)種明年的預(yù)計(jì)損失額，則Z=(1+r)X。

②分布函數(shù)為：

③密度函數(shù)為：

④預(yù)計(jì)理賠額的分布假設(shè)免賠額d，保單限額l以及賠付比例α在通脹前后保持不變，設(shè)X為損失額，定義Y*如下:則通脹后預(yù)計(jì)的每次理賠額為:。通脹后的平均理賠額為：

【例題4..5】已知損失服從參數(shù)為α=3和θ=2000的Pareto分布，如果考慮10％的通貨膨脹且保單限額是3000時(shí)的平均賠付額與保單限額為3000時(shí)的平均賠付額之差為（）．

A．60

B．63

C．67

D．72

E．78

【答案】B

【解析】對(duì)于Pareto分布，保單限額為3000時(shí)的平均賠付額為通貨膨脹調(diào)整后的平均賠付額為：則通脹下與僅有限額情況下的的平均賠付額之差為：903.11-840=63.11。

（2）通脹率是隨機(jī)變量

①設(shè)X表示某險(xiǎn)種今年的每次實(shí)際損失額，通貨膨脹率隨機(jī)變量為C，隨機(jī)變量C和X獨(dú)立，Y為該險(xiǎn)種明年的預(yù)計(jì)損失額，則Y=CX。

②設(shè)X的分布函數(shù)為FX(x，θ)，θ為參數(shù)，C的分布函數(shù)為FC(c)，密度為fC(c)。假設(shè)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)c，X的分布滿足FcX(x，θ)=FX(x，cθ)。則Y的分布函數(shù)為

③密度函數(shù)為

④第二年損失額Y的期望和方差為

【例題4.6】假設(shè)今年的實(shí)際損失額為X，X服從均值為10的指數(shù)分布。預(yù)測(cè)明年將會(huì)發(fā)生通貨膨脹，且通貨膨脹C的密度函數(shù)為：若明年的保單約定保單限額為20，則明年理賠額的期望為（）。

A．1.04

B．8.48

C．10.54

D．11.40

E．12.60

【答案】D

【解析】明年的損失額Y=CX的分布為：令，令，則，得：因此，從而明年的理賠額期望為：

§4.3

理賠次數(shù)的分布

概率母函數(shù)：離散隨機(jī)變量N的概率分布函數(shù)為pk=P(N=k)，k=0，1，2，…，其概率母函數(shù)為PN(t)=E(tN)=。

概率母函數(shù)與矩母函數(shù)的關(guān)系：

1．單個(gè)保單的理賠次數(shù)分布（1）泊松分布與泊松過(guò)程：

①泊松分布的概率分布函數(shù)為

概率母函數(shù)、期望和方差為：

②可以假定它的損失次數(shù)過(guò)程N(yùn)(t)具有如下特性(隨機(jī)過(guò)程N(yùn)(t)表示區(qū)間[0，t]內(nèi)發(fā)生的損失次數(shù))：

?當(dāng)t=0時(shí)，保單損失次數(shù)為0，即N(0)=0；

?在[t，t+△t]內(nèi)保單發(fā)生損失這一事件與時(shí)刻t以前的損失事件相互獨(dú)立，而且發(fā)生的損失次數(shù)只與時(shí)間長(zhǎng)度△t有關(guān)，與時(shí)間的起始位置無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，N(t)是一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程；

?在充分小的時(shí)間間隔△t中，至多有一次損失，且發(fā)生一次損失的概率與此時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān)，而發(fā)生兩次或兩次以上的損失概率是△t的無(wú)窮小量。即滿足上述三個(gè)條件的隨機(jī)過(guò)程稱為泊松過(guò)程。

③相關(guān)定理：

?設(shè)N1，N2，…，Nn是獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量，參數(shù)分別為λ1，λ2，…，λn，則N=N1+N2+…+Nn服從泊松分布，參數(shù)為λ=λ1+λ2+…+λn。

?若N服從參數(shù)為λ的泊松分布，則N1，N2，…，Nm相互獨(dú)立，且服從泊松分布，參數(shù)分別是λpi，i=1，2，…，m。

（2）負(fù)二項(xiàng)分布

①概率分布函數(shù)為

當(dāng)r=1時(shí)，稱N服從參數(shù)為p的幾何分布。

②概率母函數(shù)為

③均值和方差為

【例題4.7】假設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)的損失X服從Pareto分布，α＝3，θ＝1000，即若保單規(guī)定免賠額為d=250。假設(shè)損失次數(shù)N服從負(fù)二項(xiàng)分布，k＝2，p＝1/4。設(shè)N*表示理賠次數(shù)，則Var（N*）=（

）。

A．4.79

B．5.79

C．7.79

D．8.79

E．9.79

【答案】C

【解析】以N*表示免賠額為250時(shí)的理賠次數(shù)，則其概率母函數(shù)為所以理賠次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)為2和p=125/371，

（3）二項(xiàng)分布

①概率分布函數(shù)為

②概率母函數(shù)為

③均值和方差為

（4）泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布的關(guān)系

①如果理賠次數(shù)N服從均值為λ的泊松分布，參數(shù)λ是隨機(jī)的，記做Λ，設(shè)Λ的概率密度函數(shù)為u(λ)，λ>0，也就是說(shuō)，當(dāng)Λ取定為某個(gè)值λ后，N服從參數(shù)為λ的泊松分布，運(yùn)用全概率法則，可得N的最終(無(wú)條件)分布：

②命題：設(shè)X和Y是任意的隨機(jī)變量，而且數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則有

③結(jié)合①與②，可得N的期望、方差和矩母函數(shù)為

④定理：若已知當(dāng)Λ取定為某個(gè)值λ后，N服從參數(shù)為Λ的泊松分布，而且Λ服從伽瑪分布，參數(shù)為(α，θ)，則N的無(wú)條件分布為奇異負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)分別為：r=a，β=θ。

【例題4.8】一個(gè)保險(xiǎn)人承保的保險(xiǎn)標(biāo)的索賠次數(shù)隨機(jī)變量N服從參數(shù)為λ的泊松分布，假設(shè)λ服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，那么P（N≤1）=（）。

A．1/4

B．2/5

C．2/4

D．3/5

E．3/4

【答案】E

【解析】已知索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布，且λ服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，即服從α=1，θ＝1的Γ分布，所以N服從參數(shù)r=1，p＝=0.5的負(fù)二項(xiàng)分布。所以

因此，P（N=0）=0.5，P（N=1）=0.52=0.25，故

P（N≤1）=P（N=0）+P（N=1）=0.5+0.25=0.75

2．（a，b，0）分布類和（a，b，1）分布類（1）（a，b，0）分布類

①定義：計(jì)數(shù)隨機(jī)變量N的概率分布函數(shù)為pk，若存在常數(shù)使得下式成立：

則稱隨機(jī)變量N屬于（a，b，0）分布類。（a，b，0）分布類是一個(gè)兩參數(shù)分布族，參數(shù)分別是a和b。

②泊松分布、負(fù)二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布和幾何分布都是（a，b，0）分布類。

（2）（a，b，1）分布類

①定義：設(shè)計(jì)數(shù)隨機(jī)變量N的概率分布函數(shù)為pk，k≥0。若存在常數(shù)使得下式成立；

則稱隨機(jī)變量N屬于（a，b，1）分布類。

②（a，b，1）分布類與（a，b，0）分布類的區(qū)別：

?（a，b，1）分布類與（a，b，0）分布類唯一的區(qū)別是遞推從p1而非從p0開(kāi)始，即（a，b，1）分布類只在從k=1到k=∞的概率值之間存在遞推關(guān)系，而（a，b，0）分布類卻在從k=0到k=∞的概率值之間存在遞推關(guān)系。

?從另一角度看，（a，b，1）分布類與（a，b，0）分布類的本質(zhì)區(qū)別就是分布在零點(diǎn)的取值p0，這個(gè)值使得（a，b，1）分布類成為三參數(shù)的分布：a，b，p0，而（a，b，0）分布類只是含兩個(gè)參數(shù)a和b。

?當(dāng)p0=0時(shí)，隨機(jī)變量N的取值從k=1開(kāi)始，從概率分布函數(shù)的圖形上看，相當(dāng)于在（a，b，0）分布類的基礎(chǔ)上再截去零點(diǎn)的值，這一分布類稱為“零點(diǎn)截?cái)喾植肌逼涓怕史植己瘮?shù)由表示；

當(dāng)p0>0時(shí)，隨機(jī)變量N在各店的取值是由（a，b，0）分布類修正得到的，因此稱為“零點(diǎn)修正分布”，其概率分布函數(shù)由表示。

③定理：

?任一零點(diǎn)修正分布是零點(diǎn)截?cái)喾植己秃銥?的隨機(jī)變量的混合。

?任一零點(diǎn)修正分布是（a，b，0）分布和恒為O的隨機(jī)變量的混合。

（3）（a，b，k）分布類

定義：設(shè)計(jì)數(shù)隨機(jī)變量N，若存在常數(shù)使得下式成立則稱N屬于（a，b，k）分布類，（a，b，k）分布類具有2+k個(gè)參數(shù)。

【例題4.9】X是一個(gè)屬于（a，b，0）分布類的離散隨機(jī)變量。已知：（1）P（X=0）=P（X=1）=0.25；（2）P（X=2）=0.1875。則P（X=3）=（）。

A．0.125

B．0.187

C．0.253

D．0.754

E．0.812

【答案】A

【解析】根據(jù)（a，b，0）分布類的定義，可以得到如下兩式：從而解得。所以

3．保單組合的理賠次數(shù)分布（1）對(duì)于保單組合，可以分為同質(zhì)性和非同質(zhì)性兩種情況。同質(zhì)性是指所有的保單相互獨(dú)立，且都有相同的風(fēng)險(xiǎn)水平，即各保單的損失額分布相同，損失次數(shù)的分布也相同。但事實(shí)上沒(méi)有任何兩份保單具有相同的風(fēng)險(xiǎn)水平，對(duì)于完全非同質(zhì)性的保單組合，可以考慮混合損失次數(shù)模型。（2）混合泊松分布

①定義：對(duì)于較大的保單組合，可以假設(shè)其中的泊松參數(shù)服從連續(xù)分布。以u(píng)(λ)表示Λ的密度函數(shù)，通常稱為“結(jié)構(gòu)函數(shù)”，則從保單組合中隨機(jī)抽取一份保單的損失次數(shù)分布為：即稱為混合泊松分布。

②條件期望與方差：

③混合泊松分布的特點(diǎn)是方差大于均值。因此，當(dāng)保單組合損失次數(shù)觀察值的樣本方差大于其均值時(shí)，可以判斷保單組合中存在某種程度的非同質(zhì)性，而且，方差越大于均值，這種非同質(zhì)性就越嚴(yán)重。

【例題4.10】某人在一年內(nèi)感冒的概率服從混合泊松分布，參數(shù)λ服從（0，5）上的均勻分布，則他在一年內(nèi)感冒的次數(shù)不少于2次的概率是（）。

A．0.21

B．0.41

C．0.61

D．0.81

E．0.91

【答案】C

【解析】λ服從（0，5）上的均勻分布，故感冒次數(shù)N的概率分布為：，k=0，1，2，…所以

故P（N≥2）=1－P（N=0）－P（N=1）=1－0.1987－0.1919=0.61。

（3）常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)函數(shù)

①離散結(jié)構(gòu)函數(shù)

?假設(shè)保單組合由n種不同的風(fēng)險(xiǎn)水平構(gòu)成，泊松參數(shù)Λ取值于{λ1，…，λn}，λ1<…<λn，稱為“n元結(jié)構(gòu)模型”。

?設(shè)P(Λ=λi)=ai，i=0，1，2，…，n，當(dāng)Λ=λi時(shí)，保單的損失次數(shù)就服從參數(shù)為λi的泊松分布，則從保單組合中任一抽取一份保單，其理賠次數(shù)的概率分布函數(shù)為：

?n=2時(shí)，即為常用的二元結(jié)構(gòu)模型，設(shè)保單組合由兩類風(fēng)險(xiǎn)水平組成，其中低風(fēng)險(xiǎn)的比例為a1，高風(fēng)險(xiǎn)的比例為a2=1-a1，于是其均值、方差和三階中心距為

②伽瑪結(jié)構(gòu)函數(shù)假設(shè)個(gè)體保單的損失次數(shù)服從泊松分布，其中參數(shù)Λ隨保單不同而不同；再假設(shè)Λ服從伽瑪分布，參數(shù)為（α，θ）。則N服從負(fù)二項(xiàng)分布。

③逆高斯結(jié)構(gòu)函數(shù)

?概率密度函數(shù)為

?保單組合中任意一份保單損失次數(shù)分布為泊松—逆高斯分布：

?均值、方差和偏度系數(shù)r為

4．相關(guān)性保單組合的理賠次數(shù)分布（1）相關(guān)性保單：一次保險(xiǎn)事故的發(fā)生可能導(dǎo)致多份保單同時(shí)發(fā)生損失。（2）復(fù)合隨機(jī)變量

①S由隨機(jī)變量Mi與N復(fù)合而成，稱其為復(fù)合隨機(jī)變量，即

S=M1+…+MN

其中，N表示保單組合在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù)；Mi，i=1，2，…，N表示第i次事故中產(chǎn)生的索賠數(shù)，為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且與事故次數(shù)N獨(dú)立。

②S的概率分布函數(shù)其中稱為pm的n重卷積。

③S的概率母函數(shù)

④S的均值和方差

【例題4.11】一個(gè)四口之家，每人每年看病的次數(shù)服從均值為1.5的幾何分布。每年每個(gè)家庭成員看病的次數(shù)相互獨(dú)立。這個(gè)家庭購(gòu)買了一份保險(xiǎn)，從該家庭第4次看病起，這份保險(xiǎn)每次可以支付100元。則這個(gè)家庭每年得到的平均賠付額為（

）。

A．300

B．319

C．329

D．420

E．600

【答案】C

【解析】設(shè)該家庭每年看病的次數(shù)為N，則N~NB（4，p），E（N）==1.5，可得p=0.4。該家庭每