北師大版選擇性342用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系課件（21張）

4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系第三章內(nèi)容索引0102自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、空間中平行、垂直關(guān)系的向量表示1.空間中平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)向量l,m分別是直線l,m的方向向量,n1,n2分別是平面α,β的法向量,則表3-4-12.(1)若直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則可能使l∥α的是(

).A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)(2)若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則(

).A.α∥β

B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正確解析:(1)A中,m·n=-2≠0,所以排除A;B中,m·n=1+5=6≠0,所以排除B;C中,m·n=-1,所以排除C;D中,m·n=0,所以m⊥n,可能使l∥α.(2)因?yàn)閚1與n2不是平行向量,且n1·n2≠0,所以α,β相交但不垂直.答案:(1)D

(2)C二、三垂線定理1.(1)三垂線定理:若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的投影

垂直,則它也和這條斜線垂直.(2)三垂線定理的逆定理:若平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的

投影

垂直.2.如圖3-4-5,PA垂直于☉O所在平面,AB為圓的直徑,C為圓上的任意一點(diǎn)(不同于點(diǎn)A,B),則圖中有

個(gè)直角三角形.

解析:有4個(gè),分別是△PAB,△PAC,△ACB,△PCB.答案:4圖3-4-5合作探究釋疑解惑探究一用空間向量證明平行【例1】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是棱BB1,DD1的中點(diǎn).求證:FC1∥平面ADE.答圖3-4-4(變問法)在本例條件下,求證:平面ADE∥平面B1C1F.答圖3-4-5證明線、面平行問題的方法(1)用向量法證明線面平行:①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi);②證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi);③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi).(2)利用空間向量證明面面平行,通常證明兩平面的法向量平行.探究二用空間向量證明垂直【例2】

如圖如圖3-4-6,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.圖3-4-6證明:如答圖3-4-6,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,所以AO⊥平面BCC1B1.由題意知四邊形BCC1B1為正方形,取B1C1的中點(diǎn)O1,連接OO1,則OB,OO1,OA兩兩垂直.答圖3-4-6(變條件)若本例增加條件:E,F分別是BC,BB1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面ADE.證明:取B1C1的中點(diǎn)N,連接EN.由題意得EB,EN,EA兩兩垂直.以E為原點(diǎn),EB,EN,EA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,如答圖3-4-7,,則A(0,0,),D(-1,1,0),E(0,0,0),F(1,1,0),所以答圖3-4-7用向量法證明空間中垂直關(guān)系的方法(1)證明線線垂直,只需證兩直線的方向向量垂直.設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a,b,則要證l1⊥l2,只需證a⊥b,即a·b=0.(2)證明線面垂直①證明直線的方向向量與平面的法向量平行.②證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量垂直.(3)證明面面垂直:可證兩平面的法向量相互垂直.探究三三垂線定理及逆定理的應(yīng)用【例3】

如圖3-4-7,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接BD1,AC,CB1,B1A,求證:BD1⊥平面AB1C.圖3-4-7證明:如答圖3-4-8,連接BD,A1B.∵DD1⊥平面ABCD,∴BD是斜線D1B在平面ABCD內(nèi)的投影.∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,即AC垂直于斜線D