兩個基本計數原理(加法原理和乘法原理)

世界杯足球賽共有32個隊參賽．它們先分成8個小組進行循環(huán)賽，決出16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名．問一共安排了多少場比賽？前4名有多少不同的結果？實際問題

要回答這個問題，就要用到排列、組合的知識．在運用排列、組合方法時，經常要用到分類計數原理與分步計數原理．第一頁第二頁，共49頁。問題1：從甲地到乙地，有3條公路，2條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？問題2：從甲地到乙地，有3條道路，從乙地到丙地有2條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種不同的走法

？你能說出這兩個問第二頁第三頁，共49頁。問題1：從甲地到乙地，有3條公路，2條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？因為每一種走法都能完成從甲地到乙地這件事，有3條公路，2條鐵路，所以共有：

3＋2＝5（種）甲地乙地公路1公路2公路3鐵路1鐵路2第三頁第四頁，共49頁。一、分類計數原理

完成一件事，有n類辦法.在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類方法中有m2種不同的方法，……，在第n類方法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有:2）首先要根據具體的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數.1）各類辦法之間相互獨立,都能獨立的完成這件事，要計算方法種數,只需將各類方法數相加,因此分類計數原理又稱加法原理說明N=m1+m2+…+mn

種不同的方法第四頁第五頁，共49頁。問題2：從甲地到乙地，有3條道路，從乙地到丙地有2條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種不同的走法

？這個問題與前一個問題不同．在這個問題中，必須經過先從甲地到乙地、再從乙地到丙地兩個步驟，才能從甲地到丙地．因為從甲地到乙地有3種走法，從乙地到丙地有2種走法，所以從甲地到丙地，共有不同的走法：3×2＝6（種）．甲地乙地丙地第五頁第六頁，共49頁。二、分步計數原理

完成一件事，需要分成n個步驟。做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有

2）首先要根據具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數.1）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數相乘得到完成這件事的方法總數,又稱乘法原理說明N=m1×m2×…×mn種不同的方法第六頁第七頁，共49頁。例1.

書架第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架中取1本書,有多少種不同取法?有3類方法,根據分類加法計數原理N=4+3+2=9(2)從書架第1,2,3層各取1本書,有多少種不同取法?分3步完成,根據分步乘法計數原理N=4×3×2=24解題關鍵：從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”.再根據其對應的計數原理計算.學案P46-1第七頁第八頁，共49頁。練習

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法?分兩步完成左邊右邊甲乙丙乙丙甲丙甲乙32第一步第二步×第八頁第九頁，共49頁。學案P46-2第九頁第十頁，共49頁。AB該電路從A到B共有多少條不同的線路可通電？第十頁第十一頁，共49頁。第十一頁第十二頁，共49頁。第十二頁第十三頁，共49頁。第十三頁第十四頁，共49頁。第十四頁第十五頁，共49頁。第十五頁第十六頁，共49頁。第十六頁第十七頁，共49頁。第十七頁第十八頁，共49頁。第十八頁第十九頁，共49頁。第十九頁第二十頁，共49頁。第二十頁第二十一頁，共49頁。第二十一頁第二十二頁，共49頁。第二十二頁第二十三頁，共49頁。第二十三頁第二十四頁，共49頁。第二十四頁第二十五頁，共49頁。分類完成分步完成第二十五頁第二十六頁，共49頁。解:從總體上看由A到B的通電線路可分二類,第一類,m1=4條第二類,m3=2×2=4,條所以,根據加法原理,從A到B共有N=4+4=8條不同的線路可通電.第二十六頁第二十七頁，共49頁?！瑼Bm1m2mn…...ABm1m2mn點評:乘法原理看成“串聯(lián)電路”加法原理看成“并聯(lián)電路”;第二十七頁第二十八頁，共49頁。如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？練習學案P47-s4第二十八頁第二十九頁，共49頁。解:從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法,第一類,由甲經乙去丙,又需分兩步,所以

m1=2×3=6種不同的走法;第二類,由甲經丁去丙,也需分兩步,所以

m2=4×2=8種不同的走法;所以從甲地到丙地共有N=6+8=14種不同的走法。第二十九頁第三十頁，共49頁。

問題3：加法原理和乘法原理的共同點是什么？不同點什么？加法原理乘法原理相同點它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法不同點方式的不同分類完成任何一類辦法中的任何一個方法都能完成這件事分步完成這些方法需要分步,各個步驟順次相依,且每一步都完成了,才能完成這件事情第三十頁第三十一頁，共49頁。問題4：何時用加法原理、乘法原理呢?加法原理完成一件事情有n類方法,若每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成.乘法原理完成一件事情有n個步驟,若每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分,并且必須且只需完成互相獨立的這n步后,才能完成這件事.分類要做到“不重不漏”分步要做到“步驟完整”第三十一頁第三十二頁，共49頁。練習：三個比賽項目，六人報名參加。１）每人參加一項有多少種不同的方法？２）每項１人，且每人至多參加一項，有多少種不同的方法？３）每項１人，每人參加的項數不限，有多少種不同的方法？第三十二頁第三十三頁，共49頁。例1用0,1,2,3,4,5這六個數字,(1)可以組成多少個各位數字不允許重復的三位的奇數?(2)可以組成多少個各位數字不重復的小于1000的自然數?(3)可以組成多少個大于3000,小于5421且各位數字不允許重復的四位數?一、排數字問題第三十三頁第三十四頁，共49頁。二、映射個數問題:例2設A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},從A到B共有多少種不同的映射?第三十四頁第三十五頁，共49頁。三、染色問題:例3有n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色,要求在①②③④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)區(qū)域中不用同一種顏色.(1)若n=6,為(1)著色時共有多少種方法?(2)若為(2)著色時共有120種不同方法,求n①③①④③④②②(1)(2) 第三十五頁第三十六頁，共49頁。２、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？第三十六頁第三十七頁，共49頁。解:

按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,所以根據乘法原理,得到不同的涂色方案種數共有N=3×2×1×1=6種。第三十七頁第三十八頁，共49頁。２、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

若用2色、4色、5色等,結果又怎樣呢？

答:它們的涂色方案種數分別是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180種等。思考：第三十八頁第三十九頁，共49頁。３.如圖,用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色,規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有

種。ABCD分析：如圖，A、B、C三個區(qū)域兩兩相鄰，A與D不相鄰，因此A、B、C三個區(qū)域的顏色兩兩不同，A、D兩個區(qū)域可以同色，也可以不同色，但D與B、C不同色。由此可見我們需根據A與D同色與不同色分成兩大類。解：先分成兩類：第一類，D與A不同色，可分成四步完成。第一步涂A有5種方法，第二步涂B有4種方法；第三步涂C有3種方法；第四步涂D有2種方法。根據分步計數原理，共有5×4×3×2＝120種方法。根據分類計數原理，共有120+60＝180種方法。第二類，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5種方法，第二步涂B有4種方法；第三步涂C有3種方法。根據分步計數原理，共有5×4×3＝60種方法。第三十九頁第四十頁，共49頁。5、將３種作物種植在如圖所示的５塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有

種（以數字作答）424、如圖，是5個相同的正方形，用紅、黃、藍、白、黑5種顏色涂這些正方形，使每個正方形涂一種顏色，且相鄰的正方形涂不同的顏色。如果顏色可反復使用，那么共有多少種涂色方法？第四十頁第四十一頁，共49頁。四、子集問題規(guī)律：n元集合的不同子集有個。例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集個數為

，真子集個數為

，非空子集個數為

，非空真子集個數為

。第四十一頁第四十二頁，共49頁。五、綜合問題:

例4若直線方程ax+by=0中的a,b可以從0,1,2,3,4這五個數字中任取兩個不同的數字,則方程所表示的不同的直線共有多少條?第四十二頁第四十三頁，共49頁。例5、75600有多少個正約數?有多少個奇約數?解:由于75600=24×33×52×775600的每個約數都可以寫成的形式,其中,,,

于是,要確定75600的一個約數,可分四步完成,即i,j,k,l分別在各自的范圍內任取一個值,這樣i有5種取法,j有4種取法,k有3種取法,l有2種取法,根據分步計數原理得約數的個數為5×4×3×2=120個.第四十三頁第四十四頁，共49頁。

一個三位密碼鎖,各位上數字由0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9十個數字組成,可以設置多少種三位數的密碼(各位上的數字允許重復)?首位數字不為0的密碼數是多少?首位數字是0的密碼數又是多少?

分析:

按密碼位數,從左到右

依次設置第一位、第二位、第三

位,需分為三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3=10.根據乘法原理,共可以設置

N=10×10×10=103種三位數的密碼。練習首位數字不為0的密碼數?首位數字是0的密碼數?第四十四頁第四十五頁，共49頁。

一個三位密碼鎖,各位上數字由0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9十個數字組成,可以設置多少種三位數的密碼(各位上的數字允許重復)?首位數字不為0的密碼數是多少?首位數字是0的密碼數又是多少?

分析:

按密碼位數,從左到右

依次設置第一位、第二位、第三

位,需分為三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3=10.根據乘法原理,共可以設置

N=10×10×10=103種三位數的密碼。練習變式訓練：各位上的數字不允許重復又怎樣?第四十五頁第四十六頁，共