半無限空間體文學界空間體文學界問題的一種求解方法

半無限空間體文學界空間體文學界問題的一種求解方法

在設計中，通常需要分析非無限區(qū)域的張力分析，如水平負荷單元和垂直負荷單元的靜力分析。目前,彈性理論用于解決半無限彈性體邊界上一點在集中水平力或垂直力作用的問題上較成熟,解決半無限彈性體內一點在集中水平力或垂直作用下計算問題也有一些理論成果,但其公式較復雜,不便于應用。鑒此,本文嘗試利用對稱關系提出半無限彈性體內一點在集中水平力作用下計算問題的新解法,并以此建立半無限彈性體地基上水平荷載群樁的力學模型。1半無限彈簧的水平和垂直集中力的分析1.1集中水平力作用下半空間體內力的變化根據(jù)彈性力學理論,半空間體在其邊界上受切向集中力P的作用即塞路提(Cerruti)問題的解為:u(x,y,z)=Ρ4πGR{1+x2R2+(1-2μ)[RR+z-x2(R+z)2]}(1)v(x,y,z)=Ρ4πGR[xyR2-(1-2μ)xy(R+z)2](2)w(x,y,z)=Ρ4πGR[xzR2-(1-2μ)xR+z](3)其中R=√x2+y2+z2;G=E0/[2(1+μ)]式中,u、v、w分別為x、y、z方向的位移;μ為泊松系數(shù);P為半空間體在其邊界上受的切向集中力;R為計算點至荷載P作用點的距離;G為前切模量;E0為地基彈性模量。坐標系見圖1(a)。利用對稱關系,式(1)可用于半無限彈性體內一點在集中水平力作用下的計算。根據(jù)對稱關系,圖1(a)與圖1(b)等價,這樣半無限彈性體內一點在集中水平力作用下的計算,就可轉變?yōu)?/4無限彈性體邊界上一點在集中水平力作用下的計算,將內力轉化為邊界面力。但此計算問題仍難以解決,為此利用對稱關系,將圖1(b)等價地轉化為圖2,即將此計算轉化為半無限彈性體邊界上兩對應點在集中水平力作用下的計算。設圖1(a)中P到邊界面的距離為a,則由式(1)得半空間體在其邊界上受切向集中力P作用的解為:u(x,y,z)=Ρ8πGΜ{1+x2Μ2+(1-2μ)(1-x2Μ2)+(1-2μ)[ΜΜ+z-a-x2(Μ+z-a)2]}+Ρ8πGΝ?{1+x2Ν2+(1-2μ)(1-x2Ν2)+(1-2μ)?[ΝΝ+z+a-x2(Ν+z+a)2]}(4)w(x,y,z)=Ρ8πGΜ[xyΜ2-(1-2μ)?xy(Μ+z-a)2]+Ρ8πGΝ[xyΝ2-(1-2μ)?xy(Ν+z+a)2](5)v(x,y,z)=Ρ8πGΜ(xyΜ2-(1-2μ)xΜ+z-a)+Ρ8πGΝ(xyΝ2-(1-2μ)xΝ+z+a)(6)其中Μ=√r2+(z-a)2;Ν=√r2+(z+a)2;r=√x2+y2式(4)～(6)為半無限彈性體內一點在集中水平力作用下的位移計算公式。1.2無限空間彈性體內作用一垂直集中力p0z方向的位移根據(jù)彈性力學理論,開爾文問題——無限空間彈性體內一點受集中力作用時,作用力方向即z方向的位移為:ur=Ρ016πG(1-μ)rzR3(7)w=Ρ016πG(1-μ)R[(3-4μ)+z2R2](8)其中R=√r2+z2;G=E0/[2(1+μ)]式中,ur、w分別為r、z方向的位移;P0為無限空間彈性體內作用于坐標原點(采用柱坐標)沿z方向的集中力;w為無限空間彈性體內各點(r,θ,z)沿z方向的位移。半無限空間體內(z≥0)作用一垂直集中力P0(z方向,z=a處),即與邊界垂直的集中力作用下的情況見圖3。根據(jù)對稱關系,它等價于無限空間體內一對集中力P0(z方向,分別在z=a和z=-a處)作用的情況,如圖4所示。則由式(3)可得,半無限空間體內(z≥0)作用一垂直集中力P0(z方向,z=a處),半無限空間體內各點(r,θ,z)的位移計算公式為:ur=Ρ016πG(1-μ)[r(z-a)Μ3+r(z+a)Ν3](9)w=Ρ016πG(1-μ)Μ[(3-4μ)+(z-a)2Μ2]+Ρ016πG(1-μ)Ν[(3-4μ)+(z+a)2Ν2](10)2在水平負荷場的靜力分析中的應用2.1z樁身的撓曲方程假設有n根基礎樁,沿xy平面布置,樁位分別為(xi,yi),在水平荷載(x方向)作用下各樁的地基反力為pi,i=1,2,…,n。同時,假設pi為沿樁直徑與樁長分布的面力(設分布在0≤y≤d,0≤z≤L,d為樁身直徑,L為樁身長度),且pi與x、y無關,僅為z的函數(shù)即pi(z),則在pi(z)作用下,樁身沿x方向的位移可按式(4)計算,其中r=rij=√(xi-xj)2+(yi-yj)2為常數(shù)。則總位移為:u(xi,yi,z)=n∑j=1uj(xi,yi,z)(11)uj(xi,yi,z)=∫d0∫L0pj(a)8πGA{1+x2iA2+(1-2μ)?(1-x2iA2)+(1-2μ)[AA+z-a-x2i(A+z-a)2]}?dady+∫d0∫L0pj(a)8πGB{1+x2B2+(1-2μ)(1-x2B2)+(1-2μ)[BB+z+a-x2i(B+z+a)2]}dady(12)其中A=√r2ij+(z-a)2;B=rij2+(z+a)2樁身的撓曲方程按彈性地基梁計算,基本方程為:EΙd4wi(z)dz4=-pi(z)(13)式中,wi為樁身的撓曲變形;EI為樁剛度。變形協(xié)調方程為:u(xi,yi,z)=wi(z)(14)pi(z)還應滿足平衡方程:∫ol[∑i=1npi(z)]dz=Ρ(15)式(11)～(15)為水平荷載群樁靜力分析的基本方程,可采用級數(shù)法求解。2.2變形協(xié)調方程某基礎樁地面以下長度為L=18.0m,樁身直徑d=0.8m,1根樁樁位xi=0、yi=0,樁頂固嵌。地基彈性模量E0=3×103MPa,樁身混凝土彈性模量E=1.6×104MPa,μ=0.25,總水平荷載P=200kN。采用級數(shù)法求解各樁的地基反力,設樁身的地基反力為:p=az+bz2+cz3(16)代入式(12),因y的取值范圍很小,可簡化為:u(z)=∫00.8∫-1818(2.5-3μ)p(β)8πGy2+(z-β)2dβdy=∫-1818(2.5-3μ)p(β)8πG{ln[0.8+0.64+(z-β)2]-ln[(z-β)2]}dβ(17)將z=6.0、12.0m代入式(17),可得:u(6)=2.5-3μ8πG(35.98a+445.72b+2552.91c)(18)u(12)=2.5-3μ8πG(67.47a+953.22b+10507c)(19)邊界條件為:當z=0時,w′=0;當z=18.0時,w=w″=wue087=0,由式(13)可得:EΙw(z)=-a120z5-b360z6-c840z7+(a12l2+b18l3+c24l4)z3-(a6l3+b8l4+c10l5)z2+(11120al5+13180bl6+584cl7)(20)將z=6.0、12.0m代入式(20),可得:w(6)=1EΙ(143985.6a+114091.2b+94385.8c)(21)w(12)=1EΙ(77824.8a+61905.6b+51525.3c)(22)由變形協(xié)調方程,且8πG=93.7428EI,可得:13497577.31a+10684782.83b+8845438.95c=0(23)7295447.19a+5802251.06b+4819614.875c=0(24)由式(16)代入式(15),可得:162a+1944b+26244c=200(25)聯(lián)立式(23)～(25),解得:a=0.00659148、b=-0.015540